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10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千. 如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她. 妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,且$∠ BOC=90°$. 爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是
1.4
m.答案
10.1.4
解析
【分析】
首先从图形中可得到△BDO和△OEC均为直角三角形，结合∠BOC=90°，利用“同角的余角相等”可推出∠OBD=∠COE；秋千的绳长相等即OB=OC，据此可证明△BDO≌△OEC，得到对应边相等的关系；再结合B点距地面的高度，即可计算出C点距地面的高度。
【解析】
解：由题意可知$BD⊥ OA$，$CE⊥ OA$，$OB=OC$（秋千绳长相等），B点距离地面高度为1m。
$\therefore ∠ BDO=∠ OEC=90°$，
$\therefore ∠ OBD + ∠ BOD=90°$。
$\because ∠ BOC=90°$，
$\therefore ∠ BOD + ∠ COE=90°$，
$\therefore ∠ OBD=∠ COE$。
在$△ BDO$和$△ OEC$中：
$\begin{cases}∠ BDO=∠ OEC \\∠ OBD=∠ COE \\OB=OC\end{cases}$
$\therefore △ BDO≌△ OEC(\mathrm{AAS})$。
$\therefore BD=OE=1.4\mathrm{m}$，$CE=OD=1.8\mathrm{m}$。
设O点到地面的高度为$H$，则B点距离地面的高度可表示为$H - OD=1\mathrm{m}$，代入$OD=1.8\mathrm{m}$得：
$H=1+1.8=2.8\mathrm{m}$。
C点距离地面的高度为$H - OE$，代入$OE=1.4\mathrm{m}$、$H=2.8\mathrm{m}$得：
$H - OE=2.8 - 1.4=1.4\mathrm{m}$。
【答案】
1.4
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题结合生活中荡秋千的实际场景考查全等三角形的应用，解题的核心是从实际问题中抽象出几何全等模型，利用全等三角形的性质转化线段的等量关系，进而求解高度，很好地体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.7
首先从图形中可得到△BDO和△OEC均为直角三角形，结合∠BOC=90°，利用“同角的余角相等”可推出∠OBD=∠COE；秋千的绳长相等即OB=OC，据此可证明△BDO≌△OEC，得到对应边相等的关系；再结合B点距地面的高度，即可计算出C点距地面的高度。
【解析】
解：由题意可知$BD⊥ OA$，$CE⊥ OA$，$OB=OC$（秋千绳长相等），B点距离地面高度为1m。
$\therefore ∠ BDO=∠ OEC=90°$，
$\therefore ∠ OBD + ∠ BOD=90°$。
$\because ∠ BOC=90°$，
$\therefore ∠ BOD + ∠ COE=90°$，
$\therefore ∠ OBD=∠ COE$。
在$△ BDO$和$△ OEC$中：
$\begin{cases}∠ BDO=∠ OEC \\∠ OBD=∠ COE \\OB=OC\end{cases}$
$\therefore △ BDO≌△ OEC(\mathrm{AAS})$。
$\therefore BD=OE=1.4\mathrm{m}$，$CE=OD=1.8\mathrm{m}$。
设O点到地面的高度为$H$，则B点距离地面的高度可表示为$H - OD=1\mathrm{m}$，代入$OD=1.8\mathrm{m}$得：
$H=1+1.8=2.8\mathrm{m}$。
C点距离地面的高度为$H - OE$，代入$OE=1.4\mathrm{m}$、$H=2.8\mathrm{m}$得：
$H - OE=2.8 - 1.4=1.4\mathrm{m}$。
【答案】
1.4
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题结合生活中荡秋千的实际场景考查全等三角形的应用，解题的核心是从实际问题中抽象出几何全等模型，利用全等三角形的性质转化线段的等量关系，进而求解高度，很好地体现了数学与实际生活的联系。
【难度系数】
0.7
11. [新课标·情境题]如图,小明家所在的小区有一个池塘,A,B 两点分别位于该池塘的两侧,池塘西边有一座假山 D,在 BD 的中点 C 处有一个雕塑.小明从点 A 出发,沿直线 AC 一直向前经过点 C 走到点 E,并使 $ CE = CA $,然后他测量点 E 到假山 D 的距离,则 DE 的长度就是 A,B 两点之间的距离.
(1)请你说明小明这样做的依据；
(2)如果小明未带测量工具,但是知道点 A 和假山、雕塑分别相距 200 m,120 m,你能帮助他确定 AB 的长度范围吗?
(1)请你说明小明这样做的依据；
(2)如果小明未带测量工具,但是知道点 A 和假山、雕塑分别相距 200 m,120 m,你能帮助他确定 AB 的长度范围吗?
答案
11.解:(1)易证$△ ACB ≌ △ ECD(\mathrm{SAS}), \therefore AB=ED$.
(2)连接AD,由题意得AD=200 m.
∵AC=120 m,
∴AE=240 m,
∴40 m＜DE＜440 m.又由(1)知AB=ED,
∴40 m＜AB＜440 m.
(2)连接AD,由题意得AD=200 m.
∵AC=120 m,
∴AE=240 m,
∴40 m＜DE＜440 m.又由(1)知AB=ED,
∴40 m＜AB＜440 m.
解析
【分析】
（1）要说明DE的长度就是AB的长度，可通过证明△ACB和△ECD全等，利用全等三角形对应边相等推导。首先根据C是BD中点可得BC=DC，结合已知CE=CA，再加上两组边的夹角为对顶角相等，刚好满足SAS全等的判定条件，即可完成证明。
（2）要求AB的长度范围，由（1）可知AB=DE，因此只需在△ADE中利用三角形三边关系求出DE的范围即可。首先根据AC的长度求出AE的总长度，再结合已知AD的长度，利用“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”计算即可得到DE的范围，进而得到AB的范围。
【解析】
(1) 证明：
∵C是BD的中点，
∴$BC=DC$。
在$△ ACB$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}CA=CE \\∠ ACB=∠ ECD\quad(\mathrm{对顶角相等}) \\BC=DC\end{cases}$
∴$△ ACB ≌ △ ECD(\mathrm{SAS})$，根据全等三角形对应边相等可得$AB=ED$，因此测量DE的长度就能得到A、B两点之间的距离。
(2) 解：连接AD，由题意得$AD=200\ \mathrm{m}$。
∵$AC=120\ \mathrm{m}$，$CE=CA$，
∴$AE=AC+CE=2AC=240\ \mathrm{m}$。
在$△ ADE$中，根据三角形三边关系：
$AE-AD ＜ DE ＜ AE+AD$，代入数值得$240-200 ＜ DE ＜ 240+200$，
即$40\ \mathrm{m} ＜ DE ＜ 440\ \mathrm{m}$。
由(1)知$AB=ED$，因此$40\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 440\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等；
(2) $40\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 440\ \mathrm{m}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，通过构造全等三角形将无法直接测量的线段转化为可测量的线段，再利用三角形三边关系确定线段长度范围，贴近生活的情境能帮助学生理解几何知识的实用价值。
【难度系数】
0.75
（1）要说明DE的长度就是AB的长度，可通过证明△ACB和△ECD全等，利用全等三角形对应边相等推导。首先根据C是BD中点可得BC=DC，结合已知CE=CA，再加上两组边的夹角为对顶角相等，刚好满足SAS全等的判定条件，即可完成证明。
（2）要求AB的长度范围，由（1）可知AB=DE，因此只需在△ADE中利用三角形三边关系求出DE的范围即可。首先根据AC的长度求出AE的总长度，再结合已知AD的长度，利用“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”计算即可得到DE的范围，进而得到AB的范围。
【解析】
(1) 证明：
∵C是BD的中点，
∴$BC=DC$。
在$△ ACB$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}CA=CE \\∠ ACB=∠ ECD\quad(\mathrm{对顶角相等}) \\BC=DC\end{cases}$
∴$△ ACB ≌ △ ECD(\mathrm{SAS})$，根据全等三角形对应边相等可得$AB=ED$，因此测量DE的长度就能得到A、B两点之间的距离。
(2) 解：连接AD，由题意得$AD=200\ \mathrm{m}$。
∵$AC=120\ \mathrm{m}$，$CE=CA$，
∴$AE=AC+CE=2AC=240\ \mathrm{m}$。
在$△ ADE$中，根据三角形三边关系：
$AE-AD ＜ DE ＜ AE+AD$，代入数值得$240-200 ＜ DE ＜ 240+200$，
即$40\ \mathrm{m} ＜ DE ＜ 440\ \mathrm{m}$。
由(1)知$AB=ED$，因此$40\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 440\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等；
(2) $40\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 440\ \mathrm{m}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，通过构造全等三角形将无法直接测量的线段转化为可测量的线段，再利用三角形三边关系确定线段长度范围，贴近生活的情境能帮助学生理解几何知识的实用价值。
【难度系数】
0.75
