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16.[数形结合思想]对于同一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式。
例如:由图①可以得到$(a+2b)(a+b)=a^2+3ab+2b^2$。
(1)由图②可以得到
(2)利用图②所得的等式解答下列问题:
①若有理数$a,b,c$满足$a+b+c=11,ab+bc+ac=38$,则$a^2+b^2+c^2$的值为
②若有理数$x,y,z$满足$8^x×4^y÷2^z=4,9x^2+4y^2+z^2=44$,求$6xy-3xz-2yz$的值。
假期作业2
年月日 星期
例如:由图①可以得到$(a+2b)(a+b)=a^2+3ab+2b^2$。
(1)由图②可以得到
$(a+b+c)^2=a^2+2ac+c^2+2ab+b^2+2bc$
。(2)利用图②所得的等式解答下列问题:
①若有理数$a,b,c$满足$a+b+c=11,ab+bc+ac=38$,则$a^2+b^2+c^2$的值为
45
;②若有理数$x,y,z$满足$8^x×4^y÷2^z=4,9x^2+4y^2+z^2=44$,求$6xy-3xz-2yz$的值。
假期作业2
年月日 星期
答案
16.解:(1)$(a+b+c)^2=a^2+2ac+c^2+2ab+b^2+2bc$
(2)①45
②因为$8^x×4^y÷2^z=4$,
所以$2^{3x}×2^{2y}÷2^z=2^2$,
所以$2^{3x+2y-z}=2^2$,
所以$3x+2y-z=2$。
因为$9x^2+4y^2+z^2=44$,
所以$(3x)^2+(2y)^2+z^2=44$。
因为$(3x+2y-z)^2=(3x)^2+(2y)^2+z^2+12xy-6xz-4yz$,
所以$12xy-6xz-4yz$
$=(3x+2y-z)^2-(3x)^2-(2y)^2-z^2$
$=4-44$
$=-40$,
所以$6xy-3xz-2yz=-20$。
(2)①45
②因为$8^x×4^y÷2^z=4$,
所以$2^{3x}×2^{2y}÷2^z=2^2$,
所以$2^{3x+2y-z}=2^2$,
所以$3x+2y-z=2$。
因为$9x^2+4y^2+z^2=44$,
所以$(3x)^2+(2y)^2+z^2=44$。
因为$(3x+2y-z)^2=(3x)^2+(2y)^2+z^2+12xy-6xz-4yz$,
所以$12xy-6xz-4yz$
$=(3x+2y-z)^2-(3x)^2-(2y)^2-z^2$
$=4-44$
$=-40$,
所以$6xy-3xz-2yz=-20$。
解析
【分析】
本题考查数形结合思想的应用，解题思路如下：
(1) 计算图②的面积：方法一，整体看是边长为$a+b+c$的正方形，面积为$(a+b+c)^2$；方法二，拆分图形，总面积等于3个小正方形面积加6个小长方形面积，将两种计算结果相等即可得到等式。
(2) ① 利用(1)得到的等式变形，将$a^2+b^2+c^2$用$a+b+c$和$ab+bc+ac$表示，代入数值计算即可。
② 先根据同底数幂的乘除运算法则化简等式$8^x×4^y÷2^z=4$，得到$3x+2y-z$的值，再将$3x、2y、-z$看作整体，套用三数和的平方公式，代入已知条件变形计算即可得到结果。
【解析】
(1) 图②中大正方形的边长为$a+b+c$，整体面积为$(a+b+c)^2$；
拆分图形计算面积：包含1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、1个边长为$b$的正方形（面积$b^2$）、1个边长为$c$的正方形（面积$c^2$）、2个长$a$宽$b$的长方形（总面积$2ab$）、2个长$b$宽$c$的长方形（总面积$2bc$）、2个长$a$宽$c$的长方形（总面积$2ac$），总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
因此可得等式：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
(2) ① 由(1)的等式变形得：$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$，
将$a+b+c=11$，$ab+bc+ac=38$代入得：
$a^2+b^2+c^2=11^2 - 2×38=121-76=45$。
② 先化简幂运算等式：
$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$，$4^y=(2^2)^y=2^{2y}$，$4=2^2$，
因此原式$8^x×4^y÷2^z=4$可转化为：
$2^{3x}×2^{2y}÷2^z=2^2$，
根据同底数幂乘除法则，底数不变指数相加减，得$2^{3x+2y-z}=2^2$，
所以$3x+2y-z=2$。
将$3x、2y、-z$看作三个整体，套用(1)的三数和平方公式：
$(3x+2y-z)^2=(3x)^2+(2y)^2+(-z)^2+2×3x×2y + 2×3x×(-z) + 2×2y×(-z)$，
整理得：$(3x+2y-z)^2=9x^2+4y^2+z^2+12xy-6xz-4yz$，
将$3x+2y-z=2$，$9x^2+4y^2+z^2=44$代入得：
$2^2=44 + 12xy-6xz-4yz$，
解得$12xy-6xz-4yz=4-44=-40$，
两边同时除以2得：$6xy-3xz-2yz=-20$。
【答案】
(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
(2)①$45$；②$-20$
【知识点】
三数和的平方公式，同底数幂的运算，代数式求值
【点评】
本题以几何图形面积为载体，考查公式推导与灵活应用能力，解题的核心是熟练掌握公式变形，以及整体代入思想的运用，能有效考查数形结合和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
本题考查数形结合思想的应用，解题思路如下：
(1) 计算图②的面积：方法一，整体看是边长为$a+b+c$的正方形，面积为$(a+b+c)^2$；方法二，拆分图形，总面积等于3个小正方形面积加6个小长方形面积，将两种计算结果相等即可得到等式。
(2) ① 利用(1)得到的等式变形，将$a^2+b^2+c^2$用$a+b+c$和$ab+bc+ac$表示，代入数值计算即可。
② 先根据同底数幂的乘除运算法则化简等式$8^x×4^y÷2^z=4$，得到$3x+2y-z$的值，再将$3x、2y、-z$看作整体，套用三数和的平方公式，代入已知条件变形计算即可得到结果。
【解析】
(1) 图②中大正方形的边长为$a+b+c$，整体面积为$(a+b+c)^2$；
拆分图形计算面积：包含1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、1个边长为$b$的正方形（面积$b^2$）、1个边长为$c$的正方形（面积$c^2$）、2个长$a$宽$b$的长方形（总面积$2ab$）、2个长$b$宽$c$的长方形（总面积$2bc$）、2个长$a$宽$c$的长方形（总面积$2ac$），总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
因此可得等式：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
(2) ① 由(1)的等式变形得：$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$，
将$a+b+c=11$，$ab+bc+ac=38$代入得：
$a^2+b^2+c^2=11^2 - 2×38=121-76=45$。
② 先化简幂运算等式：
$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$，$4^y=(2^2)^y=2^{2y}$，$4=2^2$，
因此原式$8^x×4^y÷2^z=4$可转化为：
$2^{3x}×2^{2y}÷2^z=2^2$，
根据同底数幂乘除法则，底数不变指数相加减，得$2^{3x+2y-z}=2^2$，
所以$3x+2y-z=2$。
将$3x、2y、-z$看作三个整体，套用(1)的三数和平方公式：
$(3x+2y-z)^2=(3x)^2+(2y)^2+(-z)^2+2×3x×2y + 2×3x×(-z) + 2×2y×(-z)$，
整理得：$(3x+2y-z)^2=9x^2+4y^2+z^2+12xy-6xz-4yz$，
将$3x+2y-z=2$，$9x^2+4y^2+z^2=44$代入得：
$2^2=44 + 12xy-6xz-4yz$，
解得$12xy-6xz-4yz=4-44=-40$，
两边同时除以2得：$6xy-3xz-2yz=-20$。
【答案】
(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
(2)①$45$；②$-20$
【知识点】
三数和的平方公式，同底数幂的运算，代数式求值
【点评】
本题以几何图形面积为载体，考查公式推导与灵活应用能力，解题的核心是熟练掌握公式变形，以及整体代入思想的运用，能有效考查数形结合和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
