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18.我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式,由图①,可以得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
基于此,请解答下列问题:
[直接应用](1)若$x+y=3,x^2+y^2=5$,求$xy$的值。
[类比应用](2)①若$x(3-x)=1$,则$x^2+(x-3)^2=$
②若$(x-3)(4-x)=-1$,则$(x-3)^2+(x-4)^2=$
[知识迁移](3)两块大小、形状完全相同的特制直角三角板($∠AOB=∠COD=90°$)按图②方式放置,其中点$A,O,D$在一条直线上,连接$AC,BD$。若$AD=16,S_{△AOC}+S_{△BOD}=68$,求一块直角三角板的面积。
假期作业4
年月日 星期
基于此,请解答下列问题:
[直接应用](1)若$x+y=3,x^2+y^2=5$,求$xy$的值。
[类比应用](2)①若$x(3-x)=1$,则$x^2+(x-3)^2=$
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;②若$(x-3)(4-x)=-1$,则$(x-3)^2+(x-4)^2=$
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。[知识迁移](3)两块大小、形状完全相同的特制直角三角板($∠AOB=∠COD=90°$)按图②方式放置,其中点$A,O,D$在一条直线上,连接$AC,BD$。若$AD=16,S_{△AOC}+S_{△BOD}=68$,求一块直角三角板的面积。
假期作业4
年月日 星期
答案
18.解:(1)因为$x+y=3$,
所以$(x+y)^2=3^2$,
所以$x^2+2xy+y^2=9$,
所以$2xy=9-(x^2+y^2)$。
又因为$x^2+y^2=5$,
所以$2xy=9-5=4$,
所以$xy=2$。
(2)①7 ②3
(3)设$OA=OC=x$,$OB=OD=y$。
因为$∠AOB=∠COD=90°$,点$A,O,D$在一条直线上,
所以$S_{△AOC}=\dfrac{1}{2}OA·OC=\dfrac{1}{2}x^2$,$S_{△BOD}=\dfrac{1}{2}OB·OD=\dfrac{1}{2}y^2$。
因为$S_{△AOC}+S_{△BOD}=68$,
所以$\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}y^2=68$,
所以$x^2+y^2=136$。
因为$AD=16$,
所以$x+y=16$,
所以$(x+y)^2=16^2$,
即$x^2+y^2+2xy=256$,
所以$2xy=256-(x^2+y^2)=120$,
所以$xy=60$,
所以$S_{△AOB}=\dfrac{1}{2}OA·OB=\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{1}{2}×60=30$。
所以一块直角三角板的面积为30。
所以$(x+y)^2=3^2$,
所以$x^2+2xy+y^2=9$,
所以$2xy=9-(x^2+y^2)$。
又因为$x^2+y^2=5$,
所以$2xy=9-5=4$,
所以$xy=2$。
(2)①7 ②3
(3)设$OA=OC=x$,$OB=OD=y$。
因为$∠AOB=∠COD=90°$,点$A,O,D$在一条直线上,
所以$S_{△AOC}=\dfrac{1}{2}OA·OC=\dfrac{1}{2}x^2$,$S_{△BOD}=\dfrac{1}{2}OB·OD=\dfrac{1}{2}y^2$。
因为$S_{△AOC}+S_{△BOD}=68$,
所以$\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}y^2=68$,
所以$x^2+y^2=136$。
因为$AD=16$,
所以$x+y=16$,
所以$(x+y)^2=16^2$,
即$x^2+y^2+2xy=256$,
所以$2xy=256-(x^2+y^2)=120$,
所以$xy=60$,
所以$S_{△AOB}=\dfrac{1}{2}OA·OB=\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{1}{2}×60=30$。
所以一块直角三角板的面积为30。
解析
【分析】
(1) 利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知的$x+y$和$x^2+y^2$代入公式变形，即可求出$xy$的值。
(2) ① 把$x$和$3-x$看作两个整体，二者和为3、乘积为1，利用$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$即可计算结果；② 把$x-3$和$4-x$看作两个整体，二者和为1、乘积为-1，结合$(x-4)^2=(4-x)^2$，代入完全平方公式变形即可求解。
(3) 采用数形结合的思路，设直角三角板的直角边$OA=OC=x$，$OB=OD=y$，先根据$AD$的长度得到$x+y$的值，再结合两个三角形的面积和求出$x^2+y^2$的值，最后利用完全平方公式求出$xy$，即可算出直角三角板的面积。
【解析】
(1) 因为$x+y=3$，
所以$(x+y)^2=3^2$，
所以$x^2+2xy+y^2=9$，
所以$2xy=9-(x^2+y^2)$。
又因为$x^2+y^2=5$，
所以$2xy=9-5=4$，
所以$xy=2$。
(2) ① 设$a=x$，$b=3-x$，则$a+b=3$，$ab=x(3-x)=1$，
$x^2+(x-3)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×1=7$。
② 设$m=x-3$，$n=4-x$，则$m+n=1$，$mn=(x-3)(4-x)=-1$，
$(x-3)^2+(x-4)^2=m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=1^2-2×(-1)=3$。
(3) 设$OA=OC=x$，$OB=OD=y$。
因为$∠ AOB=∠ COD=90°$，点$A,O,D$在一条直线上，
所以$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}OA· OC=\dfrac{1}{2}x^2$，$S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}OB· OD=\dfrac{1}{2}y^2$。
因为$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=68$，
所以$\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}y^2=68$，
所以$x^2+y^2=136$。
因为$AD=16$，$AD=OA+OD=x+y$，
所以$x+y=16$，
所以$(x+y)^2=16^2$，
即$x^2+y^2+2xy=256$，
所以$2xy=256-(x^2+y^2)=256-136=120$，
所以$xy=60$，
所以$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{1}{2}×60=30$。
【答案】
(1) $xy=2$；(2) ①$\boxed{7}$；②$\boxed{3}$；(3) $\boxed{30}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，数形结合
【点评】
本题以完全平方公式的几何推导为切入点，由浅入深设置分层问题，既考查了公式的基础变形应用，又渗透了换元、数形结合的数学思想，能有效检验学生对公式的灵活运用能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知的$x+y$和$x^2+y^2$代入公式变形，即可求出$xy$的值。
(2) ① 把$x$和$3-x$看作两个整体，二者和为3、乘积为1，利用$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$即可计算结果；② 把$x-3$和$4-x$看作两个整体，二者和为1、乘积为-1，结合$(x-4)^2=(4-x)^2$，代入完全平方公式变形即可求解。
(3) 采用数形结合的思路，设直角三角板的直角边$OA=OC=x$，$OB=OD=y$，先根据$AD$的长度得到$x+y$的值，再结合两个三角形的面积和求出$x^2+y^2$的值，最后利用完全平方公式求出$xy$，即可算出直角三角板的面积。
【解析】
(1) 因为$x+y=3$，
所以$(x+y)^2=3^2$，
所以$x^2+2xy+y^2=9$，
所以$2xy=9-(x^2+y^2)$。
又因为$x^2+y^2=5$，
所以$2xy=9-5=4$，
所以$xy=2$。
(2) ① 设$a=x$，$b=3-x$，则$a+b=3$，$ab=x(3-x)=1$，
$x^2+(x-3)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×1=7$。
② 设$m=x-3$，$n=4-x$，则$m+n=1$，$mn=(x-3)(4-x)=-1$，
$(x-3)^2+(x-4)^2=m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=1^2-2×(-1)=3$。
(3) 设$OA=OC=x$，$OB=OD=y$。
因为$∠ AOB=∠ COD=90°$，点$A,O,D$在一条直线上，
所以$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}OA· OC=\dfrac{1}{2}x^2$，$S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}OB· OD=\dfrac{1}{2}y^2$。
因为$S_{△ AOC}+S_{△ BOD}=68$，
所以$\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}y^2=68$，
所以$x^2+y^2=136$。
因为$AD=16$，$AD=OA+OD=x+y$，
所以$x+y=16$，
所以$(x+y)^2=16^2$，
即$x^2+y^2+2xy=256$，
所以$2xy=256-(x^2+y^2)=256-136=120$，
所以$xy=60$，
所以$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{1}{2}×60=30$。
【答案】
(1) $xy=2$；(2) ①$\boxed{7}$；②$\boxed{3}$；(3) $\boxed{30}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，数形结合
【点评】
本题以完全平方公式的几何推导为切入点，由浅入深设置分层问题，既考查了公式的基础变形应用，又渗透了换元、数形结合的数学思想，能有效检验学生对公式的灵活运用能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
