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7.若$∠ A=34°$,则$∠ A$的补角为________°。
答案
7.146
解析
【分析】
首先回忆补角的定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角。要求∠A的补角，只需用180°减去∠A的度数即可，已知∠A=34°，直接代入数值计算就能得到结果。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角的和为180°，因此∠A的补角 = 180° - ∠A。
将∠A=34°代入算式计算：180° - 34° = 146°。
【答案】
146
【知识点】
补角的定义、角度的减法运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对补角定义的掌握，计算量小，只要熟记补角的和为180°即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先回忆补角的定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角。要求∠A的补角，只需用180°减去∠A的度数即可，已知∠A=34°，直接代入数值计算就能得到结果。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角的和为180°，因此∠A的补角 = 180° - ∠A。
将∠A=34°代入算式计算：180° - 34° = 146°。
【答案】
146
【知识点】
补角的定义、角度的减法运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对补角定义的掌握，计算量小，只要熟记补角的和为180°即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8.如图，直线a，b相交于点O，若∠1+∠2=288°，则∠3=
36
°。答案
8.36
解析
【分析】
解题时首先观察图形，明确直线a、b相交形成的角的关系：①∠1和∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质，二者度数相等；②∠1和∠3互为邻补角，二者之和为180°。已知∠1与∠2的和，先利用对顶角相等求出∠1的度数，再利用邻补角的和为180°即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵直线a，b相交于点O，∠1与∠2是对顶角
∴∠1=∠2（对顶角相等）
∵∠1+∠2=288°
∴2∠1=288°，解得∠1=144°
又
∵∠1与∠3互为邻补角
∴∠1+∠3=180°（邻补角之和为180°）
∴∠3=180°-144°=36°
【答案】
36
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补
【点评】
本题是相交线性质的基础应用题目，只要熟练掌握对顶角、邻补角的性质，按照逻辑逐步推导即可快速得出答案，注意计算不要出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形，明确直线a、b相交形成的角的关系：①∠1和∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质，二者度数相等；②∠1和∠3互为邻补角，二者之和为180°。已知∠1与∠2的和，先利用对顶角相等求出∠1的度数，再利用邻补角的和为180°即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵直线a，b相交于点O，∠1与∠2是对顶角
∴∠1=∠2（对顶角相等）
∵∠1+∠2=288°
∴2∠1=288°，解得∠1=144°
又
∵∠1与∠3互为邻补角
∴∠1+∠3=180°（邻补角之和为180°）
∴∠3=180°-144°=36°
【答案】
36
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补
【点评】
本题是相交线性质的基础应用题目，只要熟练掌握对顶角、邻补角的性质，按照逻辑逐步推导即可快速得出答案，注意计算不要出错。
【难度系数】
0.9
9.如图,已知$AB// CD$,则$∠ A+∠ E+∠ C=$
360
°。答案
9.360
解析
【分析】
本题为平行线间带拐点的角度计算问题，解题思路如下：已知AB//CD，但∠A、∠E、∠C没有直接和平行线建立关联，因此我们可以过拐点E作AB的平行线，根据平行公理的推论，这条辅助线也与CD平行，可将∠E拆分为两个角，分别与∠A、∠C组成平行线间的同旁内角，再利用两直线平行同旁内角互补的性质，将两组同旁内角的和相加，即可求出三个角的总度数。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵EF//AB，
∴∠A + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵EF//CD，
∴∠C + ∠CEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
将上述两个等式相加可得：
∠A + ∠AEF + ∠CEF + ∠C = 180° + 180° = 360°，
又
∵∠AEF + ∠CEF = ∠AEC（即∠E），
∴∠A + ∠E + ∠C = 360°。
【答案】
360
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；同旁内角互补
【点评】
本题是平行线章节的经典常考题型，核心考查平行线性质的灵活应用，解题关键是掌握“过平行线间的拐点作平行线”的辅助线构造方法，该方法可以快速构造出相等或互补的角，解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
本题为平行线间带拐点的角度计算问题，解题思路如下：已知AB//CD，但∠A、∠E、∠C没有直接和平行线建立关联，因此我们可以过拐点E作AB的平行线，根据平行公理的推论，这条辅助线也与CD平行，可将∠E拆分为两个角，分别与∠A、∠C组成平行线间的同旁内角，再利用两直线平行同旁内角互补的性质，将两组同旁内角的和相加，即可求出三个角的总度数。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵EF//AB，
∴∠A + ∠AEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵EF//CD，
∴∠C + ∠CEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
将上述两个等式相加可得：
∠A + ∠AEF + ∠CEF + ∠C = 180° + 180° = 360°，
又
∵∠AEF + ∠CEF = ∠AEC（即∠E），
∴∠A + ∠E + ∠C = 360°。
【答案】
360
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；同旁内角互补
【点评】
本题是平行线章节的经典常考题型，核心考查平行线性质的灵活应用，解题关键是掌握“过平行线间的拐点作平行线”的辅助线构造方法，该方法可以快速构造出相等或互补的角，解决同类角度计算问题。
【难度系数】
0.7
10.如图，直线AB和CD相交于O点，OM⊥AB，∠BOD：∠COM=1：3，则∠AOD为
157.5
度。答案
10.157.5
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①OM⊥AB可得∠AOM=90°；②直线AB与CD相交于O，可得对顶角∠AOC=∠BOD，邻补角∠AOD+∠BOD=180°。结合给出的∠BOD:∠COM=1:3的比例关系，先推导得出∠BOD与∠COM的和为90°，通过设未知数求出∠BOD的度数，最后利用邻补角的性质算出∠AOD即可。
【解析】
解：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠AOC + ∠COM = 90°。
∵直线AB和CD相交于O点，
∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）。
已知∠BOD:∠COM=1:3，设∠BOD=x，则∠COM=3x，代入上式得：
$x + 3x = 90°$
$4x=90°$
解得$x=22.5°$，即$∠ BOD=22.5°$。
又
∵∠AOD与∠BOD互为邻补角，
∴$∠ AOD=180° - ∠ BOD=180° - 22.5°=157.5°$。
【答案】
157.5
【知识点】
垂直的定义；对顶角相等；邻补角互补
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题型，解题核心是梳理图中各角的位置关系，结合垂直、对顶角、邻补角的性质建立已知条件和待求角之间的联系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①OM⊥AB可得∠AOM=90°；②直线AB与CD相交于O，可得对顶角∠AOC=∠BOD，邻补角∠AOD+∠BOD=180°。结合给出的∠BOD:∠COM=1:3的比例关系，先推导得出∠BOD与∠COM的和为90°，通过设未知数求出∠BOD的度数，最后利用邻补角的性质算出∠AOD即可。
【解析】
解：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠AOC + ∠COM = 90°。
∵直线AB和CD相交于O点，
∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）。
已知∠BOD:∠COM=1:3，设∠BOD=x，则∠COM=3x，代入上式得：
$x + 3x = 90°$
$4x=90°$
解得$x=22.5°$，即$∠ BOD=22.5°$。
又
∵∠AOD与∠BOD互为邻补角，
∴$∠ AOD=180° - ∠ BOD=180° - 22.5°=157.5°$。
【答案】
157.5
【知识点】
垂直的定义；对顶角相等；邻补角互补
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题型，解题核心是梳理图中各角的位置关系，结合垂直、对顶角、邻补角的性质建立已知条件和待求角之间的联系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，CE平分∠ACD，若∠1=30°，∠2=60°，试说明：AB//CD。
答案
11.解:因为CE平分∠ACD,∠1=30°,所以∠ACD=2∠1=60°。
因为∠2=60°,所以∠2=∠ACD,所以AB//CD。
因为∠2=60°,所以∠2=∠ACD,所以AB//CD。
解析
【分析】
要证明AB//CD，可通过“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导。首先观察图形可得∠2和∠ACD是一组同位角，若能证明二者度数相等即可得到平行结论。已知CE平分∠ACD，且给出∠1的度数，可先利用角平分线的定义求出∠ACD的度数，再将其与∠2的度数比较，验证同位角相等即可完成证明。
【解析】
解：
∵ CE平分∠ACD，∠1=30°，
∴ ∠ACD=2∠1=2×30°=60°，
又
∵ ∠2=60°，
∴ ∠2=∠ACD（等量代换），
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
因为CE平分∠ACD,∠1=30°,所以∠ACD=2∠1=60°。因为∠2=60°,所以∠2=∠ACD,所以AB//CD。
【知识点】
1.角平分线定义 2.平行线判定 3.角的计算
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是熟练运用角平分线性质和平行线判定定理，通过角的度数推导得到同位角相等，进而证明两直线平行，逻辑链条清晰，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明AB//CD，可通过“同位角相等，两直线平行”的判定定理推导。首先观察图形可得∠2和∠ACD是一组同位角，若能证明二者度数相等即可得到平行结论。已知CE平分∠ACD，且给出∠1的度数，可先利用角平分线的定义求出∠ACD的度数，再将其与∠2的度数比较，验证同位角相等即可完成证明。
【解析】
解：
∵ CE平分∠ACD，∠1=30°，
∴ ∠ACD=2∠1=2×30°=60°，
又
∵ ∠2=60°，
∴ ∠2=∠ACD（等量代换），
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
因为CE平分∠ACD,∠1=30°,所以∠ACD=2∠1=60°。因为∠2=60°,所以∠2=∠ACD,所以AB//CD。
【知识点】
1.角平分线定义 2.平行线判定 3.角的计算
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是熟练运用角平分线性质和平行线判定定理，通过角的度数推导得到同位角相等，进而证明两直线平行，逻辑链条清晰，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
12.如图，OD为∠AOB的平分线，∠AOC=2∠BOC，AO⊥CO，求∠COD的度数。
第12题图
第12题图答案
12.解:因为AO⊥CO,所以∠AOC=90°。
因为∠AOC=2∠BOC,所以∠BOC=45°,
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=135°。
因为OD是∠AOB的平分线，
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=67.5°,
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=67.5°-45°=22.5°。
因为∠AOC=2∠BOC,所以∠BOC=45°,
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=135°。
因为OD是∠AOB的平分线，
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=67.5°,
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=67.5°-45°=22.5°。
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，根据垂直的定义先得到∠AOC的度数；再结合∠AOC和∠BOC的倍数关系求出∠BOC的度数，进而算出∠AOB的总度数；之后利用角平分线的定义求出∠BOD的度数，最后根据角的差的关系，用∠BOD减去∠BOC即可得到∠COD的度数。
【解析】
解：因为AO⊥CO，所以∠AOC=90°。
因为∠AOC=2∠BOC，所以∠BOC=90°÷2=45°，
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+45°=135°。
因为OD是∠AOB的平分线，
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×135°=67.5°，
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=67.5°-45°=22.5°。
【答案】
22.5°
【知识点】
垂直的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题的关键是梳理清楚各个角之间的数量关系，结合已知条件逐步推导即可得出结果，解题过程中要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手，根据垂直的定义先得到∠AOC的度数；再结合∠AOC和∠BOC的倍数关系求出∠BOC的度数，进而算出∠AOB的总度数；之后利用角平分线的定义求出∠BOD的度数，最后根据角的差的关系，用∠BOD减去∠BOC即可得到∠COD的度数。
【解析】
解：因为AO⊥CO，所以∠AOC=90°。
因为∠AOC=2∠BOC，所以∠BOC=90°÷2=45°，
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+45°=135°。
因为OD是∠AOB的平分线，
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×135°=67.5°，
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=67.5°-45°=22.5°。
【答案】
22.5°
【知识点】
垂直的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题的关键是梳理清楚各个角之间的数量关系，结合已知条件逐步推导即可得出结果，解题过程中要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
