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1. 用规格为 $50\ \mathrm{cm} × 50\ \mathrm{cm}$ 的地板砖密铺客厅恰好需要 60 块. 若改用规格为 $x\ \mathrm{cm} × x\ \mathrm{cm}$ 的地板砖 $y$ 块,恰好也能将客厅铺完(不考虑铺设地砖之间的缝隙),那么 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为
（
A.$y=\dfrac{150\ 000}{x}$
B.$y=\dfrac{150\ 000}{x^{2}}$
C.$y=150\ 000x$
D.$y=150\ 000x^{2}$
（
B
）A.$y=\dfrac{150\ 000}{x}$
B.$y=\dfrac{150\ 000}{x^{2}}$
C.$y=150\ 000x$
D.$y=150\ 000x^{2}$
答案
1. B 解析:由题意设 y 与 x 之间的关系式为 $y=\dfrac{k}{x^2}$,由于用规格为 50 cm×50 cm 的地板砖密铺客厅恰好需要 60 块,则 $k=50×50×60=150\ 000$,$\therefore y=\dfrac{150\ 000}{x^2}$,故选 B.
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是抓住客厅的总面积不变。首先计算出客厅的总面积，再根据新地砖的面积和块数的乘积等于客厅总面积，推导y与x的关系式。具体步骤：先算出原地砖的单块面积，乘以块数得到客厅总面积；再计算新地砖的单块面积，用总面积除以新地砖面积得到所需块数y，进而得出关系式。
【解析】
1. 计算客厅总面积：原地砖规格为$50\ \mathrm{cm}×50\ \mathrm{cm}$，单块面积为$50×50 = 2500\ \mathrm{cm^2}$，共需60块，因此客厅总面积为$2500×60 = 150000\ \mathrm{cm^2}$。
2. 建立y与x的关系：新地砖规格为$x\ \mathrm{cm}×x\ \mathrm{cm}$，单块面积为$x^2\ \mathrm{cm^2}$，需y块，因此总面积可表示为$x^2 · y$。由于客厅总面积固定，可得等式$x^2 · y = 150000$，整理得$y = \dfrac{150000}{x^2}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用、面积计算
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用，关键是利用“总面积不变”这一等量关系推导关系式，难度较低，主要考查学生对实际问题中函数关系的转化能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，核心是抓住客厅的总面积不变。首先计算出客厅的总面积，再根据新地砖的面积和块数的乘积等于客厅总面积，推导y与x的关系式。具体步骤：先算出原地砖的单块面积，乘以块数得到客厅总面积；再计算新地砖的单块面积，用总面积除以新地砖面积得到所需块数y，进而得出关系式。
【解析】
1. 计算客厅总面积：原地砖规格为$50\ \mathrm{cm}×50\ \mathrm{cm}$，单块面积为$50×50 = 2500\ \mathrm{cm^2}$，共需60块，因此客厅总面积为$2500×60 = 150000\ \mathrm{cm^2}$。
2. 建立y与x的关系：新地砖规格为$x\ \mathrm{cm}×x\ \mathrm{cm}$，单块面积为$x^2\ \mathrm{cm^2}$，需y块，因此总面积可表示为$x^2 · y$。由于客厅总面积固定，可得等式$x^2 · y = 150000$，整理得$y = \dfrac{150000}{x^2}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用、面积计算
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的基础应用，关键是利用“总面积不变”这一等量关系推导关系式，难度较低，主要考查学生对实际问题中函数关系的转化能力。
【难度系数】
0.7
2. (2025·中山模拟)某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.现测得不同时刻的$y$与$x$的数据如表:
则下列图象中,能表示$y$与$x$的函数关系的图象可能是（
则下列图象中,能表示$y$与$x$的函数关系的图象可能是（
D
）答案
2. D 解析:观察表格可得当 $x ≤ 8$ 时,$y$ 与 $x$ 的比值为定值,成正比例关系,当 $x＞8$ 时,$y$ 与 $x$ 的乘积为定值,成反比例关系,故选 D.
解析
【分析】
要确定y与x的函数关系，需分两段分析：先判断x≤8时的函数类型，通过计算y与x的比值是否为定值，确定是否为正比例函数；再判断x＞8时的函数类型，通过计算x与y的乘积是否为定值，确定是否为反比例函数，据此选出符合的图象。
【解析】
1. 当x≤8时，观察表格数据，计算y与x的比值，发现比值为定值，符合正比例函数的特征，因此此段为正比例函数；
2. 当x＞8时，观察表格数据，计算x与y的乘积，发现乘积为定值，符合反比例函数的特征，因此此段为反比例函数；
综上，y与x的函数关系是分段函数，前半段为正比例函数，后半段为反比例函数，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数、反比例函数、分段函数
【点评】
本题结合实际消毒场景考查函数类型的判断，核心是利用正比例函数（比值定值）和反比例函数（乘积定值）的定义，属于基础应用题型，需掌握两种函数的基本特征。
【难度系数】
0.5
要确定y与x的函数关系，需分两段分析：先判断x≤8时的函数类型，通过计算y与x的比值是否为定值，确定是否为正比例函数；再判断x＞8时的函数类型，通过计算x与y的乘积是否为定值，确定是否为反比例函数，据此选出符合的图象。
【解析】
1. 当x≤8时，观察表格数据，计算y与x的比值，发现比值为定值，符合正比例函数的特征，因此此段为正比例函数；
2. 当x＞8时，观察表格数据，计算x与y的乘积，发现乘积为定值，符合反比例函数的特征，因此此段为反比例函数；
综上，y与x的函数关系是分段函数，前半段为正比例函数，后半段为反比例函数，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数、反比例函数、分段函数
【点评】
本题结合实际消毒场景考查函数类型的判断，核心是利用正比例函数（比值定值）和反比例函数（乘积定值）的定义，属于基础应用题型，需掌握两种函数的基本特征。
【难度系数】
0.5
3. 已知近视眼镜的度数$D$(度)与镜片焦距$f$(米)成反比例关系,且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米.小慧原来戴400度的近视眼镜,经过一段时间的矫正治疗后,现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了,则小慧所戴眼镜的度数降低了
150
度.答案
3. 150 解析:设函数的表达式为 $f=\dfrac{k}{D}(D＞0)$,$\because$ 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25 米,$\therefore k=400×0.25=100$,$\therefore$ 表达式为 $f=\dfrac{100}{D}$,$\therefore$ 当 $f=0.4$ 时,$D=\dfrac{100}{0.4}=250$.$\because$ 小慧原来戴 400 度的近视眼镜,$\therefore$ 小慧所戴眼镜的度数降低了 $400-250=150$(度).
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路为：①根据“度数D与焦距f成反比例”设出反比例函数表达式；②利用已知的400度对应焦距0.25米，求出反比例函数的比例系数k，确定函数解析式；③将现在的焦距0.4米代入解析式，求出当前眼镜的度数；④用原来的度数减去当前度数，得到度数降低的数值。
【解析】
设近视眼镜度数$ D $与镜片焦距$ f $的反比例函数表达式为$ f=\dfrac{k}{D}(D＞0) $，将$ D=400 $、$ f=0.25 $代入表达式，得$ k=D× f=400×0.25=100 $，因此函数表达式为$ f=\dfrac{100}{D} $。
当$ f=0.4 $时，代入函数表达式得$ 0.4=\dfrac{100}{D} $，解得$ D=\dfrac{100}{0.4}=250 $（度）。
原来度数为400度，所以度数降低了$ 400-250=150 $（度）。
【答案】
150
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数在实际生活中的应用，核心是先确定反比例函数解析式，再代入求值，属于基础应用题，解题关键是准确求出函数解析式。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路为：①根据“度数D与焦距f成反比例”设出反比例函数表达式；②利用已知的400度对应焦距0.25米，求出反比例函数的比例系数k，确定函数解析式；③将现在的焦距0.4米代入解析式，求出当前眼镜的度数；④用原来的度数减去当前度数，得到度数降低的数值。
【解析】
设近视眼镜度数$ D $与镜片焦距$ f $的反比例函数表达式为$ f=\dfrac{k}{D}(D＞0) $，将$ D=400 $、$ f=0.25 $代入表达式，得$ k=D× f=400×0.25=100 $，因此函数表达式为$ f=\dfrac{100}{D} $。
当$ f=0.4 $时，代入函数表达式得$ 0.4=\dfrac{100}{D} $，解得$ D=\dfrac{100}{0.4}=250 $（度）。
原来度数为400度，所以度数降低了$ 400-250=150 $（度）。
【答案】
150
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数在实际生活中的应用，核心是先确定反比例函数解析式，再代入求值，属于基础应用题，解题关键是准确求出函数解析式。
【难度系数】
0.6
4. 在制作拉面的过程中,用一定体积的面团做拉面,面条的总长度 $y$（单位:cm）与面条的横截面积 $x$(单位:$\mathrm{cm}^2$)成反比例函数关系,其图
象如图所示,则该面团的体积为
象如图所示,则该面团的体积为
128
$\mathrm{cm}^3$;若要使得面条的横截面积不超过 $0.8\ \mathrm{cm}^2$,则面条总长度最少为160
$\mathrm{cm}.$答案
4. 128 160 解析:设面团的体积为 $k\ \mathrm{cm}^3$,则 $y=\dfrac{k}{x}$,将 $(4,32)$ 代入得 $k=128$,$\therefore y=\dfrac{128}{x}$,则该面团的体积为 $128\ \mathrm{cm}^3$.将 $x=0.8$ 代入 $y=\dfrac{128}{x}$ 得 $y=160$,则要使得面条的横截面积不超过 $0.8\ \mathrm{cm}^2$,面条总长度最少为 $160\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
题目中明确面条总长度$ y $与横截面积$ x $成反比例函数关系，因此先设反比例函数解析式，利用图象上的已知点求出解析式中的$ k $，$ k $即为面团体积；再结合“横截面积不超过$ 0.8\ \mathrm{cm}^2 $”的条件，利用反比例函数的性质求出对应总长度的最小值。
【解析】
解：因为$ y $与$ x $成反比例函数关系，设解析式为$ y = \frac{k}{x} (k≠0) $，其中$ k $表示面团的体积。
将点$(4, 32)$代入解析式，得：
$ 32 = \frac{k}{4} $，解得$ k = 32×4 = 128 $，即面团的体积为$ 128\ \mathrm{cm}^3 $，此时函数解析式为$ y = \frac{128}{x} $。
当横截面积不超过$ 0.8\ \mathrm{cm}^2 $，即$ x ≤ 0.8 $，由于$ k=128＞0 $，反比例函数$ y = \frac{128}{x} $在$ x＞0 $时，$ y $随$ x $的减小而增大，因此当$ x $取最大值$ 0.8 $时，$ y $取最小值。将$ x=0.8 $代入解析式得：
$ y = \frac{128}{0.8} = 160 $，即面条总长度最少为$ 160\ \mathrm{cm} $。
【答案】
128；160
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是理解反比例函数中$ k $的实际意义，以及利用反比例函数的增减性解决最值问题，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
题目中明确面条总长度$ y $与横截面积$ x $成反比例函数关系，因此先设反比例函数解析式，利用图象上的已知点求出解析式中的$ k $，$ k $即为面团体积；再结合“横截面积不超过$ 0.8\ \mathrm{cm}^2 $”的条件，利用反比例函数的性质求出对应总长度的最小值。
【解析】
解：因为$ y $与$ x $成反比例函数关系，设解析式为$ y = \frac{k}{x} (k≠0) $，其中$ k $表示面团的体积。
将点$(4, 32)$代入解析式，得：
$ 32 = \frac{k}{4} $，解得$ k = 32×4 = 128 $，即面团的体积为$ 128\ \mathrm{cm}^3 $，此时函数解析式为$ y = \frac{128}{x} $。
当横截面积不超过$ 0.8\ \mathrm{cm}^2 $，即$ x ≤ 0.8 $，由于$ k=128＞0 $，反比例函数$ y = \frac{128}{x} $在$ x＞0 $时，$ y $随$ x $的减小而增大，因此当$ x $取最大值$ 0.8 $时，$ y $取最小值。将$ x=0.8 $代入解析式得：
$ y = \frac{128}{0.8} = 160 $，即面条总长度最少为$ 160\ \mathrm{cm} $。
【答案】
128；160
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是理解反比例函数中$ k $的实际意义，以及利用反比例函数的增减性解决最值问题，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. 某文具店以4元/件的价格购进某物品,为制定该物品合理的销售价格,对该物品进行试销调查.发现每天调整不同的销售价,其销售总金额为定值,其中某天该物品的售价为6元/件时,销售量为50件.
(1)设该物品的售价为x元/件时,销售量为y件,请写出y与x的函数表达式(不用写出x的取值范围);
(2)若文具店考虑学生的消费实际,计划将该物品每天的销售利润定为60元,则该物品的售价应定为多少?
(1)设该物品的售价为x元/件时,销售量为y件,请写出y与x的函数表达式(不用写出x的取值范围);
(2)若文具店考虑学生的消费实际,计划将该物品每天的销售利润定为60元,则该物品的售价应定为多少?
答案
5. (1)依题意得 $xy=50×6=300$,则 $y=\dfrac{300}{x}$.
(2)设该物品的售价应定为 $x$ 元/件,依题意得 $60=\dfrac{300}{x}(x-4)$,解得 $x=5$,经检验,$x=5$ 是方程的根且符合题意.
答:该物品的售价应定为 5 元/件.
(2)设该物品的售价应定为 $x$ 元/件,依题意得 $60=\dfrac{300}{x}(x-4)$,解得 $x=5$,经检验,$x=5$ 是方程的根且符合题意.
答:该物品的售价应定为 5 元/件.
解析
【分析】
首先，题目明确销售总金额为定值，已知售价6元时销量50件，先计算总销售金额，再根据“总销售金额=售价×销售量”的关系，推导y与x的函数表达式；对于第二问，利润的计算逻辑是“总利润=每件利润×销售量”，每件利润为售价减进价，销售量用第一问的表达式代入，结合利润60元的条件列方程，最后检验解的合理性即可。
【解析】
(1) 由题意，销售总金额为定值，当售价为6元/件时，销售量为50件，因此总销售金额 = $6×50 = 300$元。
因为总销售金额 = 售价×销售量，即$xy = 300$，所以y与x的函数表达式为：$y=\dfrac{300}{x}$。
(2) 设该物品的售价应定为$x$元/件。
每件的利润为$(x - 4)$元，销售量为$y=\dfrac{300}{x}$件，根据总利润=每件利润×销售量，结合利润为60元，列方程：
$60 = \dfrac{300}{x}(x - 4)$
解方程：
两边同乘$x$得：$60x = 300(x - 4)$
展开得：$60x = 300x - 1200$
移项合并得：$240x = 1200$
解得：$x = 5$
经检验，$x=5$是原方程的根，且符合实际销售的意义。
【答案】
该物品的售价应定为5元/件。
【知识点】
反比例函数应用；分式方程应用；利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景，考查数学知识在生活中的运用，关键是理清总销售金额、利润的数量关系，难度适中，注重对学生逻辑推导和方程求解能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确销售总金额为定值，已知售价6元时销量50件，先计算总销售金额，再根据“总销售金额=售价×销售量”的关系，推导y与x的函数表达式；对于第二问，利润的计算逻辑是“总利润=每件利润×销售量”，每件利润为售价减进价，销售量用第一问的表达式代入，结合利润60元的条件列方程，最后检验解的合理性即可。
【解析】
(1) 由题意，销售总金额为定值，当售价为6元/件时，销售量为50件，因此总销售金额 = $6×50 = 300$元。
因为总销售金额 = 售价×销售量，即$xy = 300$，所以y与x的函数表达式为：$y=\dfrac{300}{x}$。
(2) 设该物品的售价应定为$x$元/件。
每件的利润为$(x - 4)$元，销售量为$y=\dfrac{300}{x}$件，根据总利润=每件利润×销售量，结合利润为60元，列方程：
$60 = \dfrac{300}{x}(x - 4)$
解方程：
两边同乘$x$得：$60x = 300(x - 4)$
展开得：$60x = 300x - 1200$
移项合并得：$240x = 1200$
解得：$x = 5$
经检验，$x=5$是原方程的根，且符合实际销售的意义。
【答案】
该物品的售价应定为5元/件。
【知识点】
反比例函数应用；分式方程应用；利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景，考查数学知识在生活中的运用，关键是理清总销售金额、利润的数量关系，难度适中，注重对学生逻辑推导和方程求解能力的考查。
【难度系数】
0.7
6. (2026·南通期末)如图①,区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的限速区间$AB$段的平均行驶速度$v(\mathrm{km/h})$与行驶时间$t(\mathrm{h})$是反比例函数关系(如图②),已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过$120\ \mathrm{km/h}$,最低车速不得低于$60\ \mathrm{km/h}$,小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间$AB$段的时间可能是（
A.$0.1\ \mathrm{h}$
B.$0.35\ \mathrm{h}$
C.$0.45\ \mathrm{h}$
D.$0.5\ \mathrm{h}$
B
）A.$0.1\ \mathrm{h}$
B.$0.35\ \mathrm{h}$
C.$0.45\ \mathrm{h}$
D.$0.5\ \mathrm{h}$
答案
6. B 解析:由题图②得,限速区间 $AB$ 段的总路程为 $80×0.3=24(\mathrm{km})$,$\because$ 最高车速为 $120\ \mathrm{km/h}$,$\therefore$ 在最高车速 $120\ \mathrm{km/h}$ 下的行驶时间 $t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{24}{120}=0.2(\mathrm{h})$,同理可得,在最低车速 $60\ \mathrm{km/h}$ 下的行驶时间 $t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{24}{60}=0.4(\mathrm{h})$,$\therefore$ 通过限速区间 $AB$ 段的行驶时间应该在 $0.2∼0.4\ \mathrm{h}$ 之间.
$\because 0.2\ \mathrm{h}＜0.35\ \mathrm{h}＜0.4\ \mathrm{h}$,$\therefore$ B 选项符合题意.故选 B.
$\because 0.2\ \mathrm{h}＜0.35\ \mathrm{h}＜0.4\ \mathrm{h}$,$\therefore$ B 选项符合题意.故选 B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确v与t是反比例函数关系，先通过图像中的已知点求出测速区间AB的总路程；再根据限速的最高、最低车速，计算出对应的最短和最长行驶时间，从而确定通过时间的范围；最后对比选项选出符合范围的答案。
【解析】
1. 求测速区间AB的总路程：
因为v与t成反比例关系，根据图②中数据，当v=80km/h时，t=0.3h，总路程$ s = v × t = 80 × 0.3 = 24\ \mathrm{km} $。
2. 计算对应限速的时间范围：
已知最高车速为120km/h，此时行驶时间最短，$ t_{\mathrm{最小}} = \frac{s}{v_{\mathrm{最大}}} = \frac{24}{120} = 0.2\ \mathrm{h} $；
最低车速为60km/h，此时行驶时间最长，$ t_{\mathrm{最大}} = \frac{s}{v_{\mathrm{最小}}} = \frac{24}{60} = 0.4\ \mathrm{h} $；
因此通过AB段的时间范围是$ 0.2\ \mathrm{h} ＜ t ＜ 0.4\ \mathrm{h} $。
3. 对比选项：
A选项0.1h ＜ 0.2h，不符合；B选项0.2h ＜ 0.35h ＜ 0.4h，符合；C选项0.45h ＞ 0.4h，不符合；D选项0.5h ＞ 0.4h，不符合。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数应用、行程问题
【点评】
本题结合实际区间测速场景，考查反比例函数与行程问题的结合应用，核心是利用反比例关系求出总路程，再根据限速确定时间范围，难度适中，需学生掌握反比例函数的实际意义及行程公式的应用。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先需明确v与t是反比例函数关系，先通过图像中的已知点求出测速区间AB的总路程；再根据限速的最高、最低车速，计算出对应的最短和最长行驶时间，从而确定通过时间的范围；最后对比选项选出符合范围的答案。
【解析】
1. 求测速区间AB的总路程：
因为v与t成反比例关系，根据图②中数据，当v=80km/h时，t=0.3h，总路程$ s = v × t = 80 × 0.3 = 24\ \mathrm{km} $。
2. 计算对应限速的时间范围：
已知最高车速为120km/h，此时行驶时间最短，$ t_{\mathrm{最小}} = \frac{s}{v_{\mathrm{最大}}} = \frac{24}{120} = 0.2\ \mathrm{h} $；
最低车速为60km/h，此时行驶时间最长，$ t_{\mathrm{最大}} = \frac{s}{v_{\mathrm{最小}}} = \frac{24}{60} = 0.4\ \mathrm{h} $；
因此通过AB段的时间范围是$ 0.2\ \mathrm{h} ＜ t ＜ 0.4\ \mathrm{h} $。
3. 对比选项：
A选项0.1h ＜ 0.2h，不符合；B选项0.2h ＜ 0.35h ＜ 0.4h，符合；C选项0.45h ＞ 0.4h，不符合；D选项0.5h ＞ 0.4h，不符合。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数应用、行程问题
【点评】
本题结合实际区间测速场景，考查反比例函数与行程问题的结合应用，核心是利用反比例关系求出总路程，再根据限速确定时间范围，难度适中，需学生掌握反比例函数的实际意义及行程公式的应用。
【难度系数】
0.5
