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1. 下列说法错误的是(
A.连接两点的线段的长度叫作两点间的距离
B.经过两点有且只有一条直线
C.两点之间的所有连线中，线段最短
D.线段 AB = 2 cm，BC = 1 cm，则 AC = 3 cm
D
)。A.连接两点的线段的长度叫作两点间的距离
B.经过两点有且只有一条直线
C.两点之间的所有连线中，线段最短
D.线段 AB = 2 cm，BC = 1 cm，则 AC = 3 cm
答案
1. D
解析
【分析】
这道题要求选出四个说法中错误的选项，我们可以逐个对照平面几何的基础定义、公理来判断正误：先回忆每个选项对应的课本知识点，确认A是两点间距离的标准定义，B是直线的基本性质，C是线段的基本事实，这三个都是明确的正确结论，最后重点分析D选项，题目没有说明A、B、C三点的位置关系，不能默认三点共线，因此AC的长度不是固定为3cm，就能快速定位错误选项。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：连接两点的线段的长度叫作两点间的距离，完全符合两点间距离的定义，该说法正确。
2. 选项B：经过两点有且只有一条直线，也就是“两点确定一条直线”的标准表述，属于直线的基本公理，该说法正确。
3. 选项C：两点之间的所有连线中，线段最短，是线段的基本性质，该说法正确。
4. 选项D：已知AB=2cm，BC=1cm，没有说明点C在直线AB上，点C可以在平面内任意位置，此时AC的取值范围是1cm≤AC≤3cm，AC不一定等于3cm，该说法错误。
综上，符合题意的错误说法是D。
【答案】D
【知识点】两点间距离定义；两点确定一条直线；两点之间线段最短
【点评】本题属于平面几何入门的基础概念辨析题，易错点集中在D选项，不少初学者会默认A、B、C三点共线，忽略点的位置的多种可能性，解题时要注意没有明确给出位置约束时，不能自行添加“三点共线”这类额外条件。
【难度系数】0.8
这道题要求选出四个说法中错误的选项，我们可以逐个对照平面几何的基础定义、公理来判断正误：先回忆每个选项对应的课本知识点，确认A是两点间距离的标准定义，B是直线的基本性质，C是线段的基本事实，这三个都是明确的正确结论，最后重点分析D选项，题目没有说明A、B、C三点的位置关系，不能默认三点共线，因此AC的长度不是固定为3cm，就能快速定位错误选项。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：连接两点的线段的长度叫作两点间的距离，完全符合两点间距离的定义，该说法正确。
2. 选项B：经过两点有且只有一条直线，也就是“两点确定一条直线”的标准表述，属于直线的基本公理，该说法正确。
3. 选项C：两点之间的所有连线中，线段最短，是线段的基本性质，该说法正确。
4. 选项D：已知AB=2cm，BC=1cm，没有说明点C在直线AB上，点C可以在平面内任意位置，此时AC的取值范围是1cm≤AC≤3cm，AC不一定等于3cm，该说法错误。
综上，符合题意的错误说法是D。
【答案】D
【知识点】两点间距离定义；两点确定一条直线；两点之间线段最短
【点评】本题属于平面几何入门的基础概念辨析题，易错点集中在D选项，不少初学者会默认A、B、C三点共线，忽略点的位置的多种可能性，解题时要注意没有明确给出位置约束时，不能自行添加“三点共线”这类额外条件。
【难度系数】0.8
2. 如图，小张和小李同时以同样的速度从 A 村庄到 B 村庄办事，不过小张是从 A 村庄直接到 B 村庄，小李是从 A 村庄经过 C 村庄再到 B 村庄，那么(
A.小张先到达 B 村庄
B.小李先到达 B 村庄
C.他们同时到达 B 村庄
D.不能确定谁先到达 B 村庄
A
)。A.小张先到达 B 村庄
B.小李先到达 B 村庄
C.他们同时到达 B 村庄
D.不能确定谁先到达 B 村庄
答案
2. A
解析
【分析】
要判断谁先到达B村庄，已知两人行走速度完全相同，因此到达的先后只由两人的总行走路程决定：路程越短，耗时越少，就会先抵达目的地。接下来对比两人的路程：小张走的是A直接到B的直线路线，总路程就是线段AB的长度；小李走的是A经过C再到B的折线路线，总路程是AC与BC的长度之和。结合三角形的三边性质，就能直接比较出两段路程的大小，进而得到结论。
【解析】
1. 梳理已知条件：小张和小李的行走速度v相等。
2. 表示两人的总路程：小张的总路程$s_1=AB$，小李的总路程$s_2=AC+BC$。
3. 利用三角形三边关系：在$△ ABC$中，三角形任意两边之和大于第三边，因此可得$AC+BC＞AB$，即$s_2＞s_1$。
4. 根据行程公式$t=\frac{s}{v}$，当速度v相同时，总路程s越小，行走所需时间t就越短。因此小张的行走时间更短，会先到达B村庄。
所以本题选A。
【答案】A
【知识点】三角形三边关系，行程基础公式
【点评】本题结合生活化的场景考查三角形的基础性质，本质是利用“两点之间线段最短”的几何结论判断路线长短，不需要复杂计算，重点考查学生对三角形三边关系的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.9
要判断谁先到达B村庄，已知两人行走速度完全相同，因此到达的先后只由两人的总行走路程决定：路程越短，耗时越少，就会先抵达目的地。接下来对比两人的路程：小张走的是A直接到B的直线路线，总路程就是线段AB的长度；小李走的是A经过C再到B的折线路线，总路程是AC与BC的长度之和。结合三角形的三边性质，就能直接比较出两段路程的大小，进而得到结论。
【解析】
1. 梳理已知条件：小张和小李的行走速度v相等。
2. 表示两人的总路程：小张的总路程$s_1=AB$，小李的总路程$s_2=AC+BC$。
3. 利用三角形三边关系：在$△ ABC$中，三角形任意两边之和大于第三边，因此可得$AC+BC＞AB$，即$s_2＞s_1$。
4. 根据行程公式$t=\frac{s}{v}$，当速度v相同时，总路程s越小，行走所需时间t就越短。因此小张的行走时间更短，会先到达B村庄。
所以本题选A。
【答案】A
【知识点】三角形三边关系，行程基础公式
【点评】本题结合生活化的场景考查三角形的基础性质，本质是利用“两点之间线段最短”的几何结论判断路线长短，不需要复杂计算，重点考查学生对三角形三边关系的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.9
3. (1)如果点 M 在线段 AC 上，对于下列等式：① $ AM = MC $；② $ AM = \frac{1}{2}AC $；③ $ AC = 2AM $；④ $ AM + MC = AC $。其中能表示点 M 是线段 AC 的中点的有(
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
(2)对于下列等式：① $ AM = MC $；② $ AM = \frac{1}{2}AC $；③ $ AM = CM = \frac{1}{2}AC $；④ $ AM + MC = AC $。其中能表示点 M 是线段 AC 的中点有(
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
C
)个。A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
(2)对于下列等式：① $ AM = MC $；② $ AM = \frac{1}{2}AC $；③ $ AM = CM = \frac{1}{2}AC $；④ $ AM + MC = AC $。其中能表示点 M 是线段 AC 的中点有(
B
)个。A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案
3. (1) C (2) B
解析
【分析】
我们分两小问逐步推导：首先明确线段中点的核心定义是“在线段上，将线段分成长度相等的两部分的点”。第(1)题已经明确点M在线段AC上，我们只需要逐个验证等式能否推出M把AC分成等长的两部分即可，其中AM+MC=AC是线段上所有点都满足的性质，不能单独说明M是中点。第(2)题没有限定M的位置，此时要考虑M在线段AC外的特殊情况，逐一排查：AM=MC的点可以是AC垂直平分线上的任意点，AM=1/2AC的点可以在AC的延长线上，只有同时满足两段等长且都等于AC一半的等式，才能确定M是AC中点。
【解析】
(1) 已知点M在线段AC上，逐一判断等式：
① $AM = MC$：说明M将AC分为相等的两部分，M是AC中点，符合要求；
② $AM = \frac{1}{2}AC$：结合M在线段AC上，可得$MC=AC-AM=\frac{1}{2}AC$，即$AM=MC$，M是AC中点，符合要求；
③ $AC = 2AM$：变形可得$AM=\frac{1}{2}AC$，同理可推出M是AC中点，符合要求；
④ $AM + MC = AC$：线段AC上任意位置的点M都满足该等式，无法推出$AM=MC$，不能说明M是AC中点，不符合要求。
因此符合条件的等式共3个，答案选C。
(2) 本题未限定点M的位置，逐一判断等式：
① $AM = MC$：点M可以是线段AC垂直平分线上的任意点，不一定在线段AC上，因此M不一定是AC中点，不符合要求；
② $AM = \frac{1}{2}AC$：以A为圆心、$\frac{1}{2}AC$为半径作圆，圆上所有点都满足该等式，点M可以不在AC上，不一定是AC中点，不符合要求；
③ $AM = CM = \frac{1}{2}AC$：既满足M到A、C距离相等，又说明两段长度都等于AC的一半，可确定M必然在线段AC上，且将AC分为等长的两部分，M是AC中点，符合要求；
④ $AM + MC = AC$：仅能说明点M在线段AC上，线段AC上任意点都满足该式，无法推出M是中点，不符合要求。
因此符合条件的等式共1个，答案选B。
【答案】
(1) C；(2) B
【知识点】
线段中点定义，点与线段位置，线段和差
【点评】
本题属于线段中点概念的易错题，核心易错点是第二小问没有给出“点M在线段AC上”的前提，很多同学会默认M在线段AC上直接判断，导致误选。解题时要牢记判定线段中点必须同时满足“点在线段上”和“分线段为等长两部分”两个条件，不能遗漏位置前提。
【难度系数】
0.5
我们分两小问逐步推导：首先明确线段中点的核心定义是“在线段上，将线段分成长度相等的两部分的点”。第(1)题已经明确点M在线段AC上，我们只需要逐个验证等式能否推出M把AC分成等长的两部分即可，其中AM+MC=AC是线段上所有点都满足的性质，不能单独说明M是中点。第(2)题没有限定M的位置，此时要考虑M在线段AC外的特殊情况，逐一排查：AM=MC的点可以是AC垂直平分线上的任意点，AM=1/2AC的点可以在AC的延长线上，只有同时满足两段等长且都等于AC一半的等式，才能确定M是AC中点。
【解析】
(1) 已知点M在线段AC上，逐一判断等式：
① $AM = MC$：说明M将AC分为相等的两部分，M是AC中点，符合要求；
② $AM = \frac{1}{2}AC$：结合M在线段AC上，可得$MC=AC-AM=\frac{1}{2}AC$，即$AM=MC$，M是AC中点，符合要求；
③ $AC = 2AM$：变形可得$AM=\frac{1}{2}AC$，同理可推出M是AC中点，符合要求；
④ $AM + MC = AC$：线段AC上任意位置的点M都满足该等式，无法推出$AM=MC$，不能说明M是AC中点，不符合要求。
因此符合条件的等式共3个，答案选C。
(2) 本题未限定点M的位置，逐一判断等式：
① $AM = MC$：点M可以是线段AC垂直平分线上的任意点，不一定在线段AC上，因此M不一定是AC中点，不符合要求；
② $AM = \frac{1}{2}AC$：以A为圆心、$\frac{1}{2}AC$为半径作圆，圆上所有点都满足该等式，点M可以不在AC上，不一定是AC中点，不符合要求；
③ $AM = CM = \frac{1}{2}AC$：既满足M到A、C距离相等，又说明两段长度都等于AC的一半，可确定M必然在线段AC上，且将AC分为等长的两部分，M是AC中点，符合要求；
④ $AM + MC = AC$：仅能说明点M在线段AC上，线段AC上任意点都满足该式，无法推出M是中点，不符合要求。
因此符合条件的等式共1个，答案选B。
【答案】
(1) C；(2) B
【知识点】
线段中点定义，点与线段位置，线段和差
【点评】
本题属于线段中点概念的易错题，核心易错点是第二小问没有给出“点M在线段AC上”的前提，很多同学会默认M在线段AC上直接判断，导致误选。解题时要牢记判定线段中点必须同时满足“点在线段上”和“分线段为等长两部分”两个条件，不能遗漏位置前提。
【难度系数】
0.5
4. 如图，点 C 是线段 AB 上的点，且 AC = 2BC，则下列式子中，正确的是(
A.$ BC = \frac{1}{2}AB $
B.$ AC = \frac{1}{2}AB $
C.$ BC = \frac{1}{3}AB $
D.$ BC = \frac{1}{3}AC $
C
)。A.$ BC = \frac{1}{2}AB $
B.$ AC = \frac{1}{2}AB $
C.$ BC = \frac{1}{3}AB $
D.$ BC = \frac{1}{3}AC $
答案
4. C
解析
设 $ BC = x $，则 $ AC = 2BC = 2x $。
因为点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，所以 $ AB = AC + BC = 2x + x = 3x $。
因此，$ BC = x = \frac{1}{3}AB $，$ AC = 2x = \frac{2}{3}AB $，$ BC = \frac{1}{2}AC $。
综上，正确的是选项 C。
C
因为点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，所以 $ AB = AC + BC = 2x + x = 3x $。
因此，$ BC = x = \frac{1}{3}AB $，$ AC = 2x = \frac{2}{3}AB $，$ BC = \frac{1}{2}AC $。
综上，正确的是选项 C。
C
5. 如果线段 AB = 5 cm，BC = 4 cm，且 A，B，C 在同一条直线上，那么 A，C 两点间的距离是(
A.1 cm
B.9 cm
C.1 cm 或 9 cm
D.以上答案都不正确
C
)。A.1 cm
B.9 cm
C.1 cm 或 9 cm
D.以上答案都不正确
答案
5. C
解析
当点C在线段AB上时，AC=AB-BC=5-4=1 cm；当点C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=5+4=9 cm。所以A，C两点间的距离是1 cm或9 cm。
C
C
6. 如图，已知 C 为线段 AB 的中点，D 在线段 CB 上。若 DA = 6，DB = 4，则 CD = 
1
。答案
6. 1
解析
解：因为 $DA = 6$，$DB = 4$，所以 $AB = DA + DB = 6 + 4 = 10$。
因为 $C$ 为线段 $AB$ 的中点，所以 $AC = CB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
又因为 $AD = 6$，所以 $CD = AD - AC = 6 - 5 = 1$。
故答案为：$1$
因为 $C$ 为线段 $AB$ 的中点，所以 $AC = CB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
又因为 $AD = 6$，所以 $CD = AD - AC = 6 - 5 = 1$。
故答案为：$1$
7. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄，如图。现在要在公路
AB与l的交点即为汽车站C
l 上建一个汽车站 C，使汽车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置。答案
7. 如图，AB与l的交点即为汽车站C。
解析
【分析】
我们的目标是在直线l上找到点C，使得点C到A、B两点的距离之和AC+BC最小。首先观察A、B的位置，两个点分别在直线l的两侧，根据已经学过的“两点之间所有连线中，线段最短”的基本事实，直接连接A、B两点，这条线段和直线l的交点就是我们要找的点C。如果在直线l上任意取一个不是该交点的点C'，连接AC'、BC'，根据三角形两边之和大于第三边，可得AC'+BC' ＞ AB = AC+BC，因此这个交点对应的距离和是最小的。
【解析】
步骤1：用直尺连接A、B两点，画出线段AB；
步骤2：找到线段AB与直线l的交点，将该交点标记为点C，点C就是满足要求的汽车站的位置。
该作法的依据是两点之间线段最短，此时AC+BC的长度等于线段AB的长度，是直线l上所有点到A、B距离之和的最小值。
【答案】
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题属于直线异侧两点的基础最短路径问题，直接运用线段的基本公理即可求解，注意不要和两点在直线同侧的最短路径（需要作对称点）混淆，区分两类最短路径的适用场景，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
我们的目标是在直线l上找到点C，使得点C到A、B两点的距离之和AC+BC最小。首先观察A、B的位置，两个点分别在直线l的两侧，根据已经学过的“两点之间所有连线中，线段最短”的基本事实，直接连接A、B两点，这条线段和直线l的交点就是我们要找的点C。如果在直线l上任意取一个不是该交点的点C'，连接AC'、BC'，根据三角形两边之和大于第三边，可得AC'+BC' ＞ AB = AC+BC，因此这个交点对应的距离和是最小的。
【解析】
步骤1：用直尺连接A、B两点，画出线段AB；
步骤2：找到线段AB与直线l的交点，将该交点标记为点C，点C就是满足要求的汽车站的位置。
该作法的依据是两点之间线段最短，此时AC+BC的长度等于线段AB的长度，是直线l上所有点到A、B距离之和的最小值。
【答案】
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题属于直线异侧两点的基础最短路径问题，直接运用线段的基本公理即可求解，注意不要和两点在直线同侧的最短路径（需要作对称点）混淆，区分两类最短路径的适用场景，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
