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8. 如图，直线 a，b，c 两两相交，∠1 = 3∠3，∠2 = 75°，则∠4 =
$ 25 ^ { \circ } $
。答案
8. $ 25 ^ { \circ } $
解析
解：由对顶角相等，得∠1=∠2=75°。
因为∠1=3∠3，所以∠3=∠1÷3=75°÷3=25°。
由对顶角相等，得∠4=∠3=25°。
故∠4=25°。
因为∠1=3∠3，所以∠3=∠1÷3=75°÷3=25°。
由对顶角相等，得∠4=∠3=25°。
故∠4=25°。
9. 一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA 垂直于地面 AE，CD 平行于地面 AE，则∠ABC + ∠BCD 的度数为
$ 270 ^ { \circ } $
。答案
9. $ 270 ^ { \circ } $
解析
解：过点C作CG⊥AE于点G，
∵BA⊥AE，CG⊥AE，
∴BA//CG，
∴∠ABC+∠BCG=180°，
∵CD//AE，CG⊥AE，
∴CG⊥CD，
∴∠GCD=90°，
∴∠ABC+∠BCD=∠ABC+∠BCG+∠GCD=180°+90°=270°。
270°
∵BA⊥AE，CG⊥AE，
∴BA//CG，
∴∠ABC+∠BCG=180°，
∵CD//AE，CG⊥AE，
∴CG⊥CD，
∴∠GCD=90°，
∴∠ABC+∠BCD=∠ABC+∠BCG+∠GCD=180°+90°=270°。
270°
10. 如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于 O 点的灯泡发出的两束光线 OB，OC 经过灯碗反射以后平行射出。如果∠ABO = α，∠DCO = β，那么∠BOC 的度数是
$ α + β $
。答案
10. $ α + β $
解析
解：过点O作OE//AB，
∵AB//CD，
∴OE//CD，
∴∠BOE=∠ABO=α，∠COE=∠DCO=β，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=α+β。
α+β
∵AB//CD，
∴OE//CD，
∴∠BOE=∠ABO=α，∠COE=∠DCO=β，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=α+β。
α+β
三、解答题（共 6 题，共 56 分）
11. （8 分）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，OE ⊥ OF，∠BOD = 40°，求∠COF 的度数。
完成下列说理过程：
解：因为∠AOC = ∠BOD（
又因为∠BOD = 40°（已知），
所以∠AOC = 40°（
因为 OE 平分∠AOC（已知），
所以∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 20°（
因为 OE ⊥ OF（已知），
所以∠EOF =
所以∠COF = ∠EOF - ∠EOC = 90° - 20° = 70°。
11. （8 分）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，OE ⊥ OF，∠BOD = 40°，求∠COF 的度数。
完成下列说理过程：
解：因为∠AOC = ∠BOD（
对顶角相等
），又因为∠BOD = 40°（已知），
所以∠AOC = 40°（
等量代换
）。因为 OE 平分∠AOC（已知），
所以∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 20°（
角平分线的定义
）。因为 OE ⊥ OF（已知），
所以∠EOF =
90
°（垂线的定义
），所以∠COF = ∠EOF - ∠EOC = 90° - 20° = 70°。
答案
11. 对顶角相等 等量代换 角平分线的定义 90 垂线的定义
解析
解：因为∠AOC = ∠BOD（对顶角相等），
又因为∠BOD = 40°（已知），
所以∠AOC = 40°（等量代换）。
因为 OE 平分∠AOC（已知），
所以∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 20°（角平分线的定义）。
因为 OE ⊥ OF（已知），
所以∠EOF = 90°（垂线的定义），
所以∠COF = ∠EOF - ∠EOC = 90° - 20° = 70°。
又因为∠BOD = 40°（已知），
所以∠AOC = 40°（等量代换）。
因为 OE 平分∠AOC（已知），
所以∠EOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 20°（角平分线的定义）。
因为 OE ⊥ OF（已知），
所以∠EOF = 90°（垂线的定义），
所以∠COF = ∠EOF - ∠EOC = 90° - 20° = 70°。
12. （8 分）一个角的补角比这个角的 2 倍还多 30°，求这个角的余角的度数。
答案
解：设这个角为 $ x ^ { \circ } $，则其补角为 $ ( 180 - x ) ^ { \circ } $。
依题意，得 $ 180 - x = 2 x + 30 $，
解得 $ x = 50 $。
$ 90 ^ { \circ } - 50 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ } $。
因此，这个角的余角的度数是 $ 40 ^ { \circ } $。
依题意，得 $ 180 - x = 2 x + 30 $，
解得 $ x = 50 $。
$ 90 ^ { \circ } - 50 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ } $。
因此，这个角的余角的度数是 $ 40 ^ { \circ } $。
解析
【分析】
我们可以按照以下思路逐步解题：首先回忆补角和余角的核心定义：互为补角的两个角之和为180°，互为余角的两个角之和为90°。第二步设这个未知角的度数为未知数，用含未知数的代数式表示出它的补角。第三步根据题干给出的“补角比这个角的2倍还多30°”的等量关系，列出一元一次方程，求解得到这个角本身的度数。最后再根据余角的定义，用90°减去求出的原角度数，就能得到题目要求的余角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，根据补角的定义，它对应的补角的度数为$(180-x)°$。
根据题干描述的等量关系列方程：
$180 - x = 2x + 30$
移项合并同类项可得：$3x = 150$
解得：$x = 50$，即这个角本身的度数为$50°$。
再根据余角的定义计算它的余角度数：$90° - 50° = 40°$。
【答案】
这个角的余角的度数是$40°$
【知识点】
补角定义，余角定义，一元一次方程应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心考查互余、互补的基础概念，解题时要注意不要求出原角的度数就直接作答，题目要求的是该角的余角，避免出现答非所问的失误，只要熟练掌握相关基础概念就能顺利完成求解。
【难度系数】
0.8
我们可以按照以下思路逐步解题：首先回忆补角和余角的核心定义：互为补角的两个角之和为180°，互为余角的两个角之和为90°。第二步设这个未知角的度数为未知数，用含未知数的代数式表示出它的补角。第三步根据题干给出的“补角比这个角的2倍还多30°”的等量关系，列出一元一次方程，求解得到这个角本身的度数。最后再根据余角的定义，用90°减去求出的原角度数，就能得到题目要求的余角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，根据补角的定义，它对应的补角的度数为$(180-x)°$。
根据题干描述的等量关系列方程：
$180 - x = 2x + 30$
移项合并同类项可得：$3x = 150$
解得：$x = 50$，即这个角本身的度数为$50°$。
再根据余角的定义计算它的余角度数：$90° - 50° = 40°$。
【答案】
这个角的余角的度数是$40°$
【知识点】
补角定义，余角定义，一元一次方程应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心考查互余、互补的基础概念，解题时要注意不要求出原角的度数就直接作答，题目要求的是该角的余角，避免出现答非所问的失误，只要熟练掌握相关基础概念就能顺利完成求解。
【难度系数】
0.8
13. （10 分）如图，AB 和 CD 交于点 O，OD 平分∠BOF，OE ⊥ CD 于点 O，∠AOC = 40°，求∠EOF 的度数。
答案
解：因为 $ OD $ 平分 $ ∠ BOF $，
所以 $ ∠ BOD = ∠ DOF = \frac { 1 } { 2 } ∠ BOF $。
又因为 $ ∠ BOD = ∠ AOC = 40 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ DOF = 40 ^ { \circ } $。
因为 $ OE ⊥ CD $ 于点 $ O $，
所以 $ ∠ EOD = 90 ^ { \circ } $。
所以 $ ∠ EOF = ∠ EOD + ∠ DOF = 130 ^ { \circ } $。
所以 $ ∠ BOD = ∠ DOF = \frac { 1 } { 2 } ∠ BOF $。
又因为 $ ∠ BOD = ∠ AOC = 40 ^ { \circ } $，
所以 $ ∠ DOF = 40 ^ { \circ } $。
因为 $ OE ⊥ CD $ 于点 $ O $，
所以 $ ∠ EOD = 90 ^ { \circ } $。
所以 $ ∠ EOF = ∠ EOD + ∠ DOF = 130 ^ { \circ } $。
解析
【分析】
这道题属于相交线相关的角度计算问题，解题思路可以按三步推进：第一步，先利用两条直线相交对顶角相等的性质，把已知的∠AOC的度数转化为和角平分线相关的∠BOD的度数；第二步，结合OD是∠BOF的角平分线的条件，推导得到∠DOF的度数；第三步，根据OE垂直CD得到∠EOD是90°的直角，将所求的∠EOF拆分为∠EOD与∠DOF的和，代入数值相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ OD 平分 ∠BOF，
∴ ∠BOD = ∠DOF = $\frac{1}{2}$∠BOF（角平分线的定义）。
又
∵ 直线AB、CD交于点O，
∴ ∠BOD = ∠AOC = 40°（对顶角相等），
∴ ∠DOF = 40°。
∵ OE ⊥ CD 于点 O，
∴ ∠EOD = 90°（垂直的定义）。
∴ ∠EOF = ∠EOD + ∠DOF = 90° + 40° = 130°。
【答案】
130°
【知识点】
对顶角相等，角平分线定义，垂直的定义
【点评】
本题是相交线板块的基础角度计算题型，核心考察学生对相交线相关基础性质的掌握，解题的关键是理清图中各个角的位置关系，将所求角拆分为两个已知角度的和，避免误判角的组成导致计算错误。
【难度系数】
0.8
这道题属于相交线相关的角度计算问题，解题思路可以按三步推进：第一步，先利用两条直线相交对顶角相等的性质，把已知的∠AOC的度数转化为和角平分线相关的∠BOD的度数；第二步，结合OD是∠BOF的角平分线的条件，推导得到∠DOF的度数；第三步，根据OE垂直CD得到∠EOD是90°的直角，将所求的∠EOF拆分为∠EOD与∠DOF的和，代入数值相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ OD 平分 ∠BOF，
∴ ∠BOD = ∠DOF = $\frac{1}{2}$∠BOF（角平分线的定义）。
又
∵ 直线AB、CD交于点O，
∴ ∠BOD = ∠AOC = 40°（对顶角相等），
∴ ∠DOF = 40°。
∵ OE ⊥ CD 于点 O，
∴ ∠EOD = 90°（垂直的定义）。
∴ ∠EOF = ∠EOD + ∠DOF = 90° + 40° = 130°。
【答案】
130°
【知识点】
对顶角相等，角平分线定义，垂直的定义
【点评】
本题是相交线板块的基础角度计算题型，核心考察学生对相交线相关基础性质的掌握，解题的关键是理清图中各个角的位置关系，将所求角拆分为两个已知角度的和，避免误判角的组成导致计算错误。
【难度系数】
0.8
