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21. 如图所示,在一棵树的 10 m 高 B 处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20 m处的池塘A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,跳跃距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等,那么这棵树高 m.
答案
$\boldsymbol{15}$
解析
【分析】
首先计算第一只猴子经过的总路程，根据两只猴子路程相等可得第二只猴子的总路程。设B到D的长度为未知数，分别表示出树高CD和线段AD的长度，再结合△ACD是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可得到树的高度。
【解析】
解：首先计算第一只猴子经过的路程：$BC+AC=10+20=30(\mathrm{m})$
由题意得，第二只猴子经过的路程$BD+AD=30\mathrm{m}$
设$BD=x\ \mathrm{m}$，则树高$CD=(10+x)\ \mathrm{m}$，$AD=(30-x)\ \mathrm{m}$
$\because ∠ C=90°$，$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2+AC^2=AD^2$
代入得：$(10+x)^2+20^2=(30-x)^2$
展开：$100+20x+x^2+400=900-60x+x^2$
化简得：$80x=400$
解得：$x=5$
$\therefore$ 树高$CD=10+5=15(\mathrm{m})$
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
勾股定理的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题的核心是抓住“两只猴子经过距离相等”的等量关系设未知数，再结合直角三角形的勾股定理构建方程求解，能很好地考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
首先计算第一只猴子经过的总路程，根据两只猴子路程相等可得第二只猴子的总路程。设B到D的长度为未知数，分别表示出树高CD和线段AD的长度，再结合△ACD是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可得到树的高度。
【解析】
解：首先计算第一只猴子经过的路程：$BC+AC=10+20=30(\mathrm{m})$
由题意得，第二只猴子经过的路程$BD+AD=30\mathrm{m}$
设$BD=x\ \mathrm{m}$，则树高$CD=(10+x)\ \mathrm{m}$，$AD=(30-x)\ \mathrm{m}$
$\because ∠ C=90°$，$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2+AC^2=AD^2$
代入得：$(10+x)^2+20^2=(30-x)^2$
展开：$100+20x+x^2+400=900-60x+x^2$
化简得：$80x=400$
解得：$x=5$
$\therefore$ 树高$CD=10+5=15(\mathrm{m})$
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
勾股定理的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题的核心是抓住“两只猴子经过距离相等”的等量关系设未知数，再结合直角三角形的勾股定理构建方程求解，能很好地考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
22. 有一个矩形花池,已知其面积为$48\ \mathrm{m}^2$,其对角线长为$10\ \mathrm{m}$,为建栅栏,要计算这个矩形花池的周长,你能算出来吗?
答案
解：设矩形花池的长为$ x\ \mathrm{m} $，宽为$ y\ \mathrm{m} $。
根据题意可得：
$\begin{cases}xy = 48 \\x^2 + y^2 = 10^2 = 100\end{cases}$
由完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$ xy=48 $、$ x^2+y^2=100 $代入上式：
$(x+y)^2 = 100 + 2×48 = 196$
因为$ x＞0, y＞0 $，所以$ x+y = \sqrt{196} = 14 $。
矩形花池的周长为$ 2(x+y) = 2×14 = 28\ \mathrm{m} $。
答：这个矩形花池的周长为28 m。
根据题意可得：
$\begin{cases}xy = 48 \\x^2 + y^2 = 10^2 = 100\end{cases}$
由完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$ xy=48 $、$ x^2+y^2=100 $代入上式：
$(x+y)^2 = 100 + 2×48 = 196$
因为$ x＞0, y＞0 $，所以$ x+y = \sqrt{196} = 14 $。
矩形花池的周长为$ 2(x+y) = 2×14 = 28\ \mathrm{m} $。
答：这个矩形花池的周长为28 m。
解析
【分析】
要求矩形的周长，需先求出矩形长与宽的和。已知矩形面积可得长×宽的数值，矩形的对角线与长、宽构成直角三角形，结合勾股定理可得到长²+宽²的数值。此时无需单独求解长和宽的具体值，利用完全平方公式，将已知的长×宽、长²+宽²整体代入，即可求出长与宽的和，进而计算出周长。
【解析】
设矩形花池的长为$ x\ \mathrm{m} $，宽为$ y\ \mathrm{m} $。
根据题意可得：
$\begin{cases}xy = 48 \\x^2 + y^2 = 10^2 = 100\end{cases}$
由完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$ xy=48 $、$ x^2+y^2=100 $代入上式：
$(x+y)^2 = 100 + 2×48 = 196$
因为$ x＞0, y＞0 $，所以$ x+y = \sqrt{196} = 14 $。
矩形花池的周长为$ 2(x+y) = 2×14 = 28\ \mathrm{m} $。
【答案】
这个矩形花池的周长为28 m。
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、完全平方公式
【点评】
本题侧重考查整体代入思想的运用，无需单独求解长和宽的数值，结合已知条件和公式即可快速得到结果，能够有效检验学生对相关公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
要求矩形的周长，需先求出矩形长与宽的和。已知矩形面积可得长×宽的数值，矩形的对角线与长、宽构成直角三角形，结合勾股定理可得到长²+宽²的数值。此时无需单独求解长和宽的具体值，利用完全平方公式，将已知的长×宽、长²+宽²整体代入，即可求出长与宽的和，进而计算出周长。
【解析】
设矩形花池的长为$ x\ \mathrm{m} $，宽为$ y\ \mathrm{m} $。
根据题意可得：
$\begin{cases}xy = 48 \\x^2 + y^2 = 10^2 = 100\end{cases}$
由完全平方公式可得：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
将$ xy=48 $、$ x^2+y^2=100 $代入上式：
$(x+y)^2 = 100 + 2×48 = 196$
因为$ x＞0, y＞0 $，所以$ x+y = \sqrt{196} = 14 $。
矩形花池的周长为$ 2(x+y) = 2×14 = 28\ \mathrm{m} $。
【答案】
这个矩形花池的周长为28 m。
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、完全平方公式
【点评】
本题侧重考查整体代入思想的运用，无需单独求解长和宽的数值，结合已知条件和公式即可快速得到结果，能够有效检验学生对相关公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
23. 如图所示,铁路沿线上A,B两点相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A, CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在铁路AB沿线上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处？
答案
解：
设E站距A站的距离为$x$ km，则$BE=(25-x)$ km。
$\because DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 15^2 + x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$CE^2 = BE^2 + BC^2 = (25-x)^2 + 10^2$。
由题意知$DE=CE$，因此$DE^2=CE^2$，即：
$15^2 + x^2 = (25-x)^2 + 10^2$
展开得：$225 + x^2 = 625 - 50x + x^2 + 100$，
消去$x^2$，整理得：$50x=500$，
解得：$x=10$。
答：E站应建在距A站10千米处。
设E站距A站的距离为$x$ km，则$BE=(25-x)$ km。
$\because DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 15^2 + x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$CE^2 = BE^2 + BC^2 = (25-x)^2 + 10^2$。
由题意知$DE=CE$，因此$DE^2=CE^2$，即：
$15^2 + x^2 = (25-x)^2 + 10^2$
展开得：$225 + x^2 = 625 - 50x + x^2 + 100$，
消去$x^2$，整理得：$50x=500$，
解得：$x=10$。
答：E站应建在距A站10千米处。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过方程思想结合勾股定理求解：首先明确题目要求C、D到E的距离相等，即DE=CE。观察图形可知DA⊥AB、CB⊥AB，因此△DAE和△EBC都是直角三角形，DE、CE分别为两个直角三角形的斜边。我们设E站距A站x km，即可表示出BE的长度，再利用勾股定理分别写出DE²和CE²的表达式，根据DE=CE则DE²=CE²列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
设E站距A站的距离为$x$ km，则$BE=(25-x)$ km。
$\because DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 15^2 + x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$CE^2 = BE^2 + BC^2 = (25-x)^2 + 10^2$。
由题意知$DE=CE$，因此$DE^2=CE^2$，即：
$15^2 + x^2 = (25-x)^2 + 10^2$
展开得：$225 + x^2 = 625 - 50x + x^2 + 100$，
消去$x^2$，整理得：$50x=500$，
解得：$x=10$。
【答案】
E站应建在距A站10千米处。
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题型，核心是利用“距离相等”建立等量关系，结合直角三角形的勾股定理列方程求解，解题时注意找准直角三角形的对应边，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过方程思想结合勾股定理求解：首先明确题目要求C、D到E的距离相等，即DE=CE。观察图形可知DA⊥AB、CB⊥AB，因此△DAE和△EBC都是直角三角形，DE、CE分别为两个直角三角形的斜边。我们设E站距A站x km，即可表示出BE的长度，再利用勾股定理分别写出DE²和CE²的表达式，根据DE=CE则DE²=CE²列方程，解方程即可得到结果。
【解析】
设E站距A站的距离为$x$ km，则$BE=(25-x)$ km。
$\because DA⊥ AB$，$CB⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DAE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 15^2 + x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，由勾股定理得：
$CE^2 = BE^2 + BC^2 = (25-x)^2 + 10^2$。
由题意知$DE=CE$，因此$DE^2=CE^2$，即：
$15^2 + x^2 = (25-x)^2 + 10^2$
展开得：$225 + x^2 = 625 - 50x + x^2 + 100$，
消去$x^2$，整理得：$50x=500$，
解得：$x=10$。
【答案】
E站应建在距A站10千米处。
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题型，核心是利用“距离相等”建立等量关系，结合直角三角形的勾股定理列方程求解，解题时注意找准直角三角形的对应边，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
