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24. 旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 m,把绳子的下端拉开5 m后,下端刚好接触地面,求旗杆的高度.
答案
解：设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则绳子的长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
由题意可知，旗杆、地面上拉开的5m线段、拉直的绳子构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右边：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
移项化简得：
$2x = 24$
解得：
$x = 12$
答：旗杆的高度为12m。
由题意可知，旗杆、地面上拉开的5m线段、拉直的绳子构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右边：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
移项化简得：
$2x = 24$
解得：
$x = 12$
答：旗杆的高度为12m。
解析
【分析】
这是勾股定理的实际应用题，解题时首先要将实际场景转化为数学模型：旗杆垂直于地面，因此旗杆、地面拉开的5m线段、拉直的绳子恰好构成直角三角形，其中旗杆和地面的5m线段为两条直角边，绳子为斜边。已知绳子长度比旗杆高度多1m，我们可以设旗杆高度为未知数，用含未知数的式子表示绳子长度，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则绳子的长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
由题意可知，旗杆、地面上拉开的5m线段、拉直的绳子构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右边：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
移项化简得：
$2x = 24$
解得：
$x = 12$
答：旗杆的高度为12m。
【答案】
12m
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程求解；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的基础题型，解题核心是准确识别实际场景中隐含的直角三角形，找准三边的数量关系列方程，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
这是勾股定理的实际应用题，解题时首先要将实际场景转化为数学模型：旗杆垂直于地面，因此旗杆、地面拉开的5m线段、拉直的绳子恰好构成直角三角形，其中旗杆和地面的5m线段为两条直角边，绳子为斜边。已知绳子长度比旗杆高度多1m，我们可以设旗杆高度为未知数，用含未知数的式子表示绳子长度，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，则绳子的长度为$ (x+1) \, \mathrm{m} $。
由题意可知，旗杆、地面上拉开的5m线段、拉直的绳子构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开等式右边：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
移项化简得：
$2x = 24$
解得：
$x = 12$
答：旗杆的高度为12m。
【答案】
12m
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程求解；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的基础题型，解题核心是准确识别实际场景中隐含的直角三角形，找准三边的数量关系列方程，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
25. 如图所示,在四边形ABCD中,AB=3 cm,AD=4 cm,BC=13 cm,CD=12 cm,且∠A=90°,求四边形ABCD的面积.
答案
解：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=3 cm，AD=4 cm，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{cm}$。
∵ $BD=5\ \mathrm{cm}$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，$BC=13\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
∴ $△ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\ (\mathrm{cm}^2)$，
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ (\mathrm{cm}^2)$，
∴ 四边形ABCD的面积 $= S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = 6 + 30 = 36\ (\mathrm{cm}^2)$。
答：四边形ABCD的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$。
∵ ∠A=90°，AB=3 cm，AD=4 cm，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{cm}$。
∵ $BD=5\ \mathrm{cm}$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，$BC=13\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
∴ $△ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\ (\mathrm{cm}^2)$，
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ (\mathrm{cm}^2)$，
∴ 四边形ABCD的面积 $= S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = 6 + 30 = 36\ (\mathrm{cm}^2)$。
答：四边形ABCD的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
本题要求不规则四边形的面积，无法直接套用公式计算，因此考虑用分割法将其转化为两个三角形的面积之和。首先观察到∠A为直角，且AB、AD长度已知，故先连接BD，先在Rt△ABD中用勾股定理求出BD的长度；再结合已知的BC、CD的长度，用勾股定理的逆定理判断△BDC是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=3 cm，AD=4 cm，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{cm}$。
∵ $BD=5\ \mathrm{cm}$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，$BC=13\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
∴ $△ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\ (\mathrm{cm}^2)$，
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ (\mathrm{cm}^2)$，
∴ 四边形ABCD的面积 $= S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = 6 + 30 = 36\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；分割法求面积
【点评】
本题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个三角形求解，同时结合勾股定理及其逆定理判断直角三角形，既考察了基础定理的应用，也体现了转化的数学思想，是几何综合类的常见题型。
【难度系数】
0.7
本题要求不规则四边形的面积，无法直接套用公式计算，因此考虑用分割法将其转化为两个三角形的面积之和。首先观察到∠A为直角，且AB、AD长度已知，故先连接BD，先在Rt△ABD中用勾股定理求出BD的长度；再结合已知的BC、CD的长度，用勾股定理的逆定理判断△BDC是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个三角形的面积后相加，即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=3 cm，AD=4 cm，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∴ $BD = 5\ \mathrm{cm}$。
∵ $BD=5\ \mathrm{cm}$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，$BC=13\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴ $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
∴ $△ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\ (\mathrm{cm}^2)$，
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BD × CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30\ (\mathrm{cm}^2)$，
∴ 四边形ABCD的面积 $= S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = 6 + 30 = 36\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；分割法求面积
【点评】
本题核心是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个三角形求解，同时结合勾股定理及其逆定理判断直角三角形，既考察了基础定理的应用，也体现了转化的数学思想，是几何综合类的常见题型。
【难度系数】
0.7
26. 如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,求 AC 的长. 
答案
解：
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ ∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ CD=DE=1.5。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE = $\sqrt{BD^2 - DE^2}$ = $\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}$ = 2。
∵ AD=AD，CD=DE，∠C=∠AED=90°，
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
设AC=x，则AB=AE+BE=x+2，
又BC=CD+BD=1.5+2.5=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (x+2)^2$，
展开得 $x^2 + 16 = x^2 +4x +4$，
化简得 $4x=12$，
解得 $x=3$。
∴ AC的长为3。
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ ∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ CD=DE=1.5。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE = $\sqrt{BD^2 - DE^2}$ = $\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}$ = 2。
∵ AD=AD，CD=DE，∠C=∠AED=90°，
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
设AC=x，则AB=AE+BE=x+2，
又BC=CD+BD=1.5+2.5=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (x+2)^2$，
展开得 $x^2 + 16 = x^2 +4x +4$，
化简得 $4x=12$，
解得 $x=3$。
∴ AC的长为3。
解析
【分析】
看到题目中有角平分线（∠1=∠2）和直角∠C=90°，首先想到角平分线的性质，可过D作DE⊥AB构造距离，得到CD=DE；再在小直角三角形BDE中用勾股定理求出BE的长度；接着证明Rt△ACD和Rt△AED全等，得到AC=AE；最后设AC为未知数，在大直角三角形ABC中用勾股定理列方程即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ ∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ CD=DE=1.5。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE = $\sqrt{BD^2 - DE^2}$ = $\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}$ = 2。
∵ AD=AD，CD=DE，∠C=∠AED=90°，
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
设AC=x，则AB=AE+BE=x+2，
又BC=CD+BD=1.5+2.5=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (x+2)^2$，
展开得 $x^2 + 16 = x^2 +4x +4$，
化简得 $4x=12$，
解得 $x=3$。
【答案】
AC的长为3
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题属于几何综合基础题型，核心解题思路是通过角平分线性质作辅助线构造全等三角形，整合已知边的关系，再结合勾股定理列方程求解，是直角三角形边长计算类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
看到题目中有角平分线（∠1=∠2）和直角∠C=90°，首先想到角平分线的性质，可过D作DE⊥AB构造距离，得到CD=DE；再在小直角三角形BDE中用勾股定理求出BE的长度；接着证明Rt△ACD和Rt△AED全等，得到AC=AE；最后设AC为未知数，在大直角三角形ABC中用勾股定理列方程即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ ∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ CD=DE=1.5。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE = $\sqrt{BD^2 - DE^2}$ = $\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}$ = 2。
∵ AD=AD，CD=DE，∠C=∠AED=90°，
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
设AC=x，则AB=AE+BE=x+2，
又BC=CD+BD=1.5+2.5=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (x+2)^2$，
展开得 $x^2 + 16 = x^2 +4x +4$，
化简得 $4x=12$，
解得 $x=3$。
【答案】
AC的长为3
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题属于几何综合基础题型，核心解题思路是通过角平分线性质作辅助线构造全等三角形，整合已知边的关系，再结合勾股定理列方程求解，是直角三角形边长计算类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
