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6. 如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,点O为坐标原点。若点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是
(7,4)
。答案
6.(7,4)
解析
【分析】
解题思路可依据平行四边形的性质推导：首先回忆平行四边形对边平行且相等的特征，观察已知点的坐标：O为原点，A(6,0)，可得OA是长度为6的水平线段；由于BC与OA是平行四边形的一组对边，因此BC也为水平线段，且长度等于6，由此可知点B的纵坐标和点C相同，横坐标为点C的横坐标加OA的长度，即可求出B点坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是平行四边形
∴OA//BC，且OA=BC
已知O(0,0)，A(6,0)，可得OA的长度为6，且OA为水平线段
∴BC也为水平线段，点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，即$y_B = 4$
又
∵BC=OA=6，点C的横坐标为1
∴点B的横坐标为$1 + 6 =7$
综上，点B的坐标为(7,4)
【答案】
(7,4)
【知识点】
平行四边形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查平行四边形对边平行且相等的性质在坐标系中的应用，解题的关键是抓住平行且相等的对边的坐标变化规律，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题思路可依据平行四边形的性质推导：首先回忆平行四边形对边平行且相等的特征，观察已知点的坐标：O为原点，A(6,0)，可得OA是长度为6的水平线段；由于BC与OA是平行四边形的一组对边，因此BC也为水平线段，且长度等于6，由此可知点B的纵坐标和点C相同，横坐标为点C的横坐标加OA的长度，即可求出B点坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是平行四边形
∴OA//BC，且OA=BC
已知O(0,0)，A(6,0)，可得OA的长度为6，且OA为水平线段
∴BC也为水平线段，点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，即$y_B = 4$
又
∵BC=OA=6，点C的横坐标为1
∴点B的横坐标为$1 + 6 =7$
综上，点B的坐标为(7,4)
【答案】
(7,4)
【知识点】
平行四边形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查平行四边形对边平行且相等的性质在坐标系中的应用，解题的关键是抓住平行且相等的对边的坐标变化规律，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
7.如图，在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$为对角线，$BC=10$，$BC$边上的高为6，则图中阴影部分的面积为
30
。答案
7.30
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影由多个分散的小三角形组成，直接分别计算缺少对应边长、高等条件，无法求解。此时结合平行四边形的性质思考：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，对称的两个三角形全等、面积相等，因此可将阴影部分拼接起来，其总面积等于平行四边形面积的一半。接下来只需要先根据已知的底和高算出平行四边形的总面积，再除以2即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 先计算平行四边形ABCD的面积：
已知平行四边形的底$BC=10$，BC边上的高为6，根据平行四边形面积公式$S=底×高$，可得：
$S_{□ ABCD}=10×6=60$
2. 利用平行四边形的中心对称性质分析阴影面积：
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心，因此图中互为对称的阴影三角形与空白三角形面积相等，所有阴影部分的面积之和等于平行四边形面积的一半，即：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}×60=30$
【答案】
30
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称的性质，面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用平行四边形的中心对称性将分散的阴影面积整合，避免逐个计算小三角形面积的复杂过程，掌握图形的对称性是简化这类题型计算的关键。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影由多个分散的小三角形组成，直接分别计算缺少对应边长、高等条件，无法求解。此时结合平行四边形的性质思考：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，对称的两个三角形全等、面积相等，因此可将阴影部分拼接起来，其总面积等于平行四边形面积的一半。接下来只需要先根据已知的底和高算出平行四边形的总面积，再除以2即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 先计算平行四边形ABCD的面积：
已知平行四边形的底$BC=10$，BC边上的高为6，根据平行四边形面积公式$S=底×高$，可得：
$S_{□ ABCD}=10×6=60$
2. 利用平行四边形的中心对称性质分析阴影面积：
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心，因此图中互为对称的阴影三角形与空白三角形面积相等，所有阴影部分的面积之和等于平行四边形面积的一半，即：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}×60=30$
【答案】
30
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称的性质，面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用平行四边形的中心对称性将分散的阴影面积整合，避免逐个计算小三角形面积的复杂过程，掌握图形的对称性是简化这类题型计算的关键。
【难度系数】
0.7
8. 有一块形状如图所示的玻璃被打碎了，现在只测得$AE=60\ \mathrm{cm}$，$BC=80\ \mathrm{cm}$，$∠ B=60°$，且$AE// BC$，$AB// CF$。你能根据测得的数据计算出$DE$的长度和$∠ D$的度数吗？
答案
8.解:$\because AE// BC,AB// CF$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
$\therefore∠ D=∠ B=60°,AD=BC=80\ \mathrm{cm}$。
$\therefore DE=AD-AE=80-60=20(\mathrm{cm})$。
答:$DE$ 的长度是 $20\ \mathrm{cm}$,$∠ D$ 的度数是 $60°$。
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
$\therefore∠ D=∠ B=60°,AD=BC=80\ \mathrm{cm}$。
$\therefore DE=AD-AE=80-60=20(\mathrm{cm})$。
答:$DE$ 的长度是 $20\ \mathrm{cm}$,$∠ D$ 的度数是 $60°$。
解析
【分析】
解题时首先结合已知的两组对边平行的条件，根据平行四边形的判定定理还原出完整的玻璃图形是平行四边形ABCD；再利用平行四边形对角相等、对边相等的性质，分别求出∠D的度数和AD的长度；最后根据线段的和差关系，用AD的长度减去AE的长度即可得到DE的长度。
【解析】
$\because AE// BC,AB// CF$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质可得：
$∠ D=∠ B=60°$，$AD=BC=80\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AD-AE=80-60=20(\mathrm{cm})$。
【答案】
$DE$的长度是$20\ \mathrm{cm}$，$∠ D$的度数是$60°$。
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形相关知识的实际应用问题，解题的核心是通过已知的平行关系还原完整的平行四边形图形，再结合平行四边形的基本性质计算求解，解题思路清晰，注重基础性质的运用。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知的两组对边平行的条件，根据平行四边形的判定定理还原出完整的玻璃图形是平行四边形ABCD；再利用平行四边形对角相等、对边相等的性质，分别求出∠D的度数和AD的长度；最后根据线段的和差关系，用AD的长度减去AE的长度即可得到DE的长度。
【解析】
$\because AE// BC,AB// CF$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质可得：
$∠ D=∠ B=60°$，$AD=BC=80\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AD-AE=80-60=20(\mathrm{cm})$。
【答案】
$DE$的长度是$20\ \mathrm{cm}$，$∠ D$的度数是$60°$。
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形相关知识的实际应用问题，解题的核心是通过已知的平行关系还原完整的平行四边形图形，再结合平行四边形的基本性质计算求解，解题思路清晰，注重基础性质的运用。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在$△ ABC$中,点D是BC边的中点,点F,E分别是AD及其延长线上的点,$CF// BE$。
(1)求证:$△ CDF≌△ BDE$；
(2)连接BF,CE,试判断四边形BECF是什么特殊四边形,并说明理由。
(1)求证:$△ CDF≌△ BDE$；
(2)连接BF,CE,试判断四边形BECF是什么特殊四边形,并说明理由。
答案
9.(1)证明:$\because CF// BE,\therefore∠ FCD=∠ EBD$。
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 边的中点,$\therefore CD=BD$。
$\because∠ FDC=∠ EDB$,
$\therefore△ CDF≌△ BDE(\mathrm{ASA})$。
(2)解:四边形 $BECF$ 是平行四边形。理由如下:
$\because△ CDF≌△ BDE,\therefore DF=DE$。
又$\because DC=DB$,
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是平行四边形。
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 边的中点,$\therefore CD=BD$。
$\because∠ FDC=∠ EDB$,
$\therefore△ CDF≌△ BDE(\mathrm{ASA})$。
(2)解:四边形 $BECF$ 是平行四边形。理由如下:
$\because△ CDF≌△ BDE,\therefore DF=DE$。
又$\because DC=DB$,
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是平行四边形。
解析
【分析】
(1) 要证明△CDF≌△BDE，先梳理已知条件：由CF//BE可得到一组内错角相等；点D是BC中点可得一组对应边相等；再结合对顶角相等，恰好满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 判断四边形BECF的形状时，可借助(1)的全等结论得到DF=DE，结合已知的BD=CD，可知四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理就能得出结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because CF// BE$，
$\therefore∠ FCD=∠ EBD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 边的中点，
$\therefore CD=BD$。
又$\because∠ FDC=∠ EDB$（对顶角相等），
$\therefore△ CDF≌△ BDE(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：四边形 $BECF$ 是平行四边形，理由如下：
$\because△ CDF≌△ BDE$，
$\therefore DF=DE$（全等三角形对应边相等）。
又$\because DC=DB$，即四边形BECF的对角线互相平分，
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是平行四边形。
【答案】
(1) $△ CDF≌△ BDE$，证明成立；
(2) 四边形$BECF$是平行四边形。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础类证明题，考察核心为全等三角形与平行四边形的判定定理，解题逻辑清晰，只要熟练掌握基础判定规则，从已知条件出发逐步推导即可顺利解答，是巩固几何入门知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△CDF≌△BDE，先梳理已知条件：由CF//BE可得到一组内错角相等；点D是BC中点可得一组对应边相等；再结合对顶角相等，恰好满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 判断四边形BECF的形状时，可借助(1)的全等结论得到DF=DE，结合已知的BD=CD，可知四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理就能得出结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because CF// BE$，
$\therefore∠ FCD=∠ EBD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 边的中点，
$\therefore CD=BD$。
又$\because∠ FDC=∠ EDB$（对顶角相等），
$\therefore△ CDF≌△ BDE(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：四边形 $BECF$ 是平行四边形，理由如下：
$\because△ CDF≌△ BDE$，
$\therefore DF=DE$（全等三角形对应边相等）。
又$\because DC=DB$，即四边形BECF的对角线互相平分，
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是平行四边形。
【答案】
(1) $△ CDF≌△ BDE$，证明成立；
(2) 四边形$BECF$是平行四边形。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础类证明题，考察核心为全等三角形与平行四边形的判定定理，解题逻辑清晰，只要熟练掌握基础判定规则，从已知条件出发逐步推导即可顺利解答，是巩固几何入门知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8
