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7 某酒店有 A,B 两种客房,其中 A 种客房 24 间,B 种客房 20 间. 若全部入住,则日营业额为 7 200 元；若 A,B 两种客房均有 10 间入住,则日营业额为 3 200 元.
（1）A,B 两种客房每间的定价分别是多少元？
（2）酒店对 A 种客房展开调研,发现:客房不调价,房间可全部住满;每间客房的定价每增加10 元,就会有一间客房空闲. 当 A 种客房每间的定价为多少元时,A 种客房的日营业额最大？最大日营业额为多少元？
（1）A,B 两种客房每间的定价分别是多少元？
（2）酒店对 A 种客房展开调研,发现:客房不调价,房间可全部住满;每间客房的定价每增加10 元,就会有一间客房空闲. 当 A 种客房每间的定价为多少元时,A 种客房的日营业额最大？最大日营业额为多少元？
答案
7. (1) 设 A 种客房每间的定价是 x 元,B 种客房每间的定价是 y 元. 依题意,得$\begin{cases}24x+20y=7\ 200,\\10x+10y=3\ 200,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=200,\\y=120.\end{cases}$答:A,B 两种客房每间的定价分别是 200 元、120 元
(2) 设调价后 A 种客房每间的定价为 m 元,日营业额为 W 元.
∴ W=$m(24-\dfrac{m-200}{10})$=$-\dfrac{1}{10}(m-220)^2+4\ 840$.
∵ $-\dfrac{1}{10}＜0$,
∴ 当 m=220 时,W 取得最大值,为 4 840.
∴ 当 A 种客房每间的定价为 220 元时,A 种客房的日营业额最大,最大日营业额为 4 840 元
(2) 设调价后 A 种客房每间的定价为 m 元,日营业额为 W 元.
∴ W=$m(24-\dfrac{m-200}{10})$=$-\dfrac{1}{10}(m-220)^2+4\ 840$.
∵ $-\dfrac{1}{10}＜0$,
∴ 当 m=220 时,W 取得最大值,为 4 840.
∴ 当 A 种客房每间的定价为 220 元时,A 种客房的日营业额最大,最大日营业额为 4 840 元
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需通过设未知数，根据两种入住情况的日营业额建立二元一次方程组，求解得到A、B客房的定价；第(2)问需根据A客房的调价规则，建立营业额关于定价的二次函数，利用二次函数的性质求最大值，核心是将实际问题转化为数学模型。
【解析】
(1) 设A种客房每间定价为$x$元，B种客房每间定价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}24x + 20y = 7200 \\10x + 10y = 3200\end{cases}$
化简第二个方程得$x + y = 320$，即$y = 320 - x$，代入第一个方程：
$24x + 20(320 - x) = 7200$
解得$x = 200$，则$y = 320 - 200 = 120$。
(2) 设调价后A种客房每间定价为$m$元，日营业额为$W$元。
A客房原定价200元，每增加10元空闲1间，故入住房间数为$24 - \frac{m - 200}{10}$，则：
$W = m(24 - \frac{m - 200}{10})$
整理为顶点式：
$W = -\frac{1}{10}(m - 220)^2 + 4840$
因为$-\frac{1}{10} ＜ 0$，函数开口向下，当$m = 220$时，$W$取最大值4840。
【答案】
(1) A、B两种客房每间的定价分别是200元、120元；
(2) 当A种客房每间的定价为220元时，A种客房的日营业额最大，最大日营业额为4840元。
【知识点】
二元一次方程组应用，二次函数应用，二次函数最值
【点评】
本题为实际应用问题，第(1)问考查二元一次方程组的建立与求解，属于基础应用；第(2)问考查二次函数在实际问题中的最值应用，关键是根据调价规则正确建立函数关系，利用二次函数性质求最值，整体难度适中，需学生具备数学建模能力。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需通过设未知数，根据两种入住情况的日营业额建立二元一次方程组，求解得到A、B客房的定价；第(2)问需根据A客房的调价规则，建立营业额关于定价的二次函数，利用二次函数的性质求最大值，核心是将实际问题转化为数学模型。
【解析】
(1) 设A种客房每间定价为$x$元，B种客房每间定价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}24x + 20y = 7200 \\10x + 10y = 3200\end{cases}$
化简第二个方程得$x + y = 320$，即$y = 320 - x$，代入第一个方程：
$24x + 20(320 - x) = 7200$
解得$x = 200$，则$y = 320 - 200 = 120$。
(2) 设调价后A种客房每间定价为$m$元，日营业额为$W$元。
A客房原定价200元，每增加10元空闲1间，故入住房间数为$24 - \frac{m - 200}{10}$，则：
$W = m(24 - \frac{m - 200}{10})$
整理为顶点式：
$W = -\frac{1}{10}(m - 220)^2 + 4840$
因为$-\frac{1}{10} ＜ 0$，函数开口向下，当$m = 220$时，$W$取最大值4840。
【答案】
(1) A、B两种客房每间的定价分别是200元、120元；
(2) 当A种客房每间的定价为220元时，A种客房的日营业额最大，最大日营业额为4840元。
【知识点】
二元一次方程组应用，二次函数应用，二次函数最值
【点评】
本题为实际应用问题，第(1)问考查二元一次方程组的建立与求解，属于基础应用；第(2)问考查二次函数在实际问题中的最值应用，关键是根据调价规则正确建立函数关系，利用二次函数性质求最值，整体难度适中，需学生具备数学建模能力。
【难度系数】
0.6
8 诚诚发现各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查.
数据收集:综合实践小组以某款每束进价为 20 元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期销售的相关信息，并将数据按一定顺序整理在下表中：
数据分析:分析数据的变化规律,将每组对应值描在图中,观察表格中数据的变化规律可知,$y$是$x$的一次函数.
(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式.
(2) 根据以上信息,在销售该款鲜花礼品时.
① 要想每天获得 1400 元的利润,应该如何定价?
② 当售价为多少时,每天获得的利润最大？最大利润是多少？
数据收集:综合实践小组以某款每束进价为 20 元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期销售的相关信息，并将数据按一定顺序整理在下表中：
数据分析:分析数据的变化规律,将每组对应值描在图中,观察表格中数据的变化规律可知,$y$是$x$的一次函数.
(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式.
(2) 根据以上信息,在销售该款鲜花礼品时.
① 要想每天获得 1400 元的利润,应该如何定价?
② 当售价为多少时,每天获得的利润最大？最大利润是多少？
答案
8. (1) 设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b. 把(40,120),(60,80)代入,得$\begin{cases}40k+b=120,\\60k+b=80,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200,\end{cases}$
∴ y 关于 x 的函数解析式为 y=−2x+200
(2) ① 由题意,得(x−20)(−2x+200)=1 400,解得 x₁=90,x₂=30.
∴ 每束应该定价为 90 元或30 元
② 设每天获得的利润为 w 元. 根据题意,得 w=(x−20)(−2x+200)=−2x²+240x−4 000=−2(x−60)²+3 200.
∵ −2＜0,
∴ 当 x=60 时,w 有最大值,为 3 200.
∴ 当售价定为每束 60 元时,每天获得的利润最大,最大利润为 3 200 元
∴ y 关于 x 的函数解析式为 y=−2x+200
(2) ① 由题意,得(x−20)(−2x+200)=1 400,解得 x₁=90,x₂=30.
∴ 每束应该定价为 90 元或30 元
② 设每天获得的利润为 w 元. 根据题意,得 w=(x−20)(−2x+200)=−2x²+240x−4 000=−2(x−60)²+3 200.
∵ −2＜0,
∴ 当 x=60 时,w 有最大值,为 3 200.
∴ 当售价定为每束 60 元时,每天获得的利润最大,最大利润为 3 200 元
解析
【分析】
第(1)问，已知y是x的一次函数，采用待定系数法，选取表格中两组对应值代入一次函数解析式，解方程组求出系数k、b，即可得到y关于x的函数解析式；第(2)问①，利用“利润=（售价-进价）×销售量”的关系，结合y的函数表达式，列一元二次方程求解定价；②，设利润为w，写出w关于x的二次函数，通过配方成顶点式，根据二次函数的性质求最大利润及对应售价。
【解析】
(1) 设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$，将$(40,120)$、$(60,80)$代入得：
$\begin{cases}40k + b = 120 \\60k + b = 80\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=200\end{cases}$，因此y关于x的函数解析式为$y=-2x+200$。
(2) ① 由利润公式：利润=（售价-进价）×销售量，进价为20元，令利润为1400元，代入得：
$(x-20)(-2x+200)=1400$
整理得$x^2-120x+2700=0$，解得$x_1=30$，$x_2=90$，即每束定价为30元或90元。
② 设每天利润为$w$元，根据题意：
$w=(x-20)(-2x+200)=-2x^2+240x-4000=-2(x-60)^2+3200$
因为$-2＜0$，抛物线开口向下，当$x=60$时，$w$取最大值3200，即售价为60元时，每天最大利润为3200元。
【答案】
(1) $y=-2x+200$；(2) ① 定价为30元或90元；② 售价60元时，最大利润3200元
【知识点】
一次函数解析式求法、二次函数实际应用（利润问题）
【点评】
本题结合销售实际场景，考查一次函数与二次函数的综合应用，需掌握待定系数法求函数解析式，以及利用二次函数性质解决最值问题，是初中数学常见的实际应用题型，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.6
第(1)问，已知y是x的一次函数，采用待定系数法，选取表格中两组对应值代入一次函数解析式，解方程组求出系数k、b，即可得到y关于x的函数解析式；第(2)问①，利用“利润=（售价-进价）×销售量”的关系，结合y的函数表达式，列一元二次方程求解定价；②，设利润为w，写出w关于x的二次函数，通过配方成顶点式，根据二次函数的性质求最大利润及对应售价。
【解析】
(1) 设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$，将$(40,120)$、$(60,80)$代入得：
$\begin{cases}40k + b = 120 \\60k + b = 80\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=200\end{cases}$，因此y关于x的函数解析式为$y=-2x+200$。
(2) ① 由利润公式：利润=（售价-进价）×销售量，进价为20元，令利润为1400元，代入得：
$(x-20)(-2x+200)=1400$
整理得$x^2-120x+2700=0$，解得$x_1=30$，$x_2=90$，即每束定价为30元或90元。
② 设每天利润为$w$元，根据题意：
$w=(x-20)(-2x+200)=-2x^2+240x-4000=-2(x-60)^2+3200$
因为$-2＜0$，抛物线开口向下，当$x=60$时，$w$取最大值3200，即售价为60元时，每天最大利润为3200元。
【答案】
(1) $y=-2x+200$；(2) ① 定价为30元或90元；② 售价60元时，最大利润3200元
【知识点】
一次函数解析式求法、二次函数实际应用（利润问题）
【点评】
本题结合销售实际场景，考查一次函数与二次函数的综合应用，需掌握待定系数法求函数解析式，以及利用二次函数性质解决最值问题，是初中数学常见的实际应用题型，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.6
