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1 若一种服装的销售利润$y$(万元)与销售数量$x$(万件)之间的函数解析式为$y = -2x^{2} + 4x + 5$,则销售利润最大为（
A.5万元
B.7万元
C.8万元
D.6万元
B
）A.5万元
B.7万元
C.8万元
D.6万元
答案
1. B
解析
【分析】要解决这个问题，需利用二次函数的性质求最大值。已知销售利润与销售数量的函数为二次函数，且二次项系数为负，说明抛物线开口向下，存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，因此计算该二次函数的顶点纵坐标即可得到最大销售利润。
【解析】对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a≠0$），当$a＜0$时，函数在顶点处取得最大值，最大值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。本题中$a=-2$，$b=4$，$c=5$，代入公式计算：
$\begin{aligned}最大值&=\frac{4×(-2)×5 - 4^2}{4×(-2)}\\&=\frac{-40 -16}{-8}\\&=\frac{-56}{-8}\\&=7\end{aligned}$
也可通过配方验证：$y=-2x^2+4x+5=-2(x-1)^2 +7$，当$x=1$时，$y$取最大值7万元。
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【点评】本题结合实际销售利润问题考查二次函数最值的应用，核心是利用二次函数性质求顶点纵坐标，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a≠0$），当$a＜0$时，函数在顶点处取得最大值，最大值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$。本题中$a=-2$，$b=4$，$c=5$，代入公式计算：
$\begin{aligned}最大值&=\frac{4×(-2)×5 - 4^2}{4×(-2)}\\&=\frac{-40 -16}{-8}\\&=\frac{-56}{-8}\\&=7\end{aligned}$
也可通过配方验证：$y=-2x^2+4x+5=-2(x-1)^2 +7$，当$x=1$时，$y$取最大值7万元。
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【点评】本题结合实际销售利润问题考查二次函数最值的应用，核心是利用二次函数性质求顶点纵坐标，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
2 某旅行社招揽游客组团去外地旅游，30人起组团，报价为800元/人.旅行社对超过30人的团给予优惠：旅游团每增加一人，报价就降低10元/人.若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（
A.56
B.55
C.54
D.53
B
）A.56
B.55
C.54
D.53
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确营业额的计算逻辑：营业额=旅游团人数×每人的报价。首先设旅游团人数为x，根据“30人起组团，每增加1人报价降低10元”的优惠规则，推导每人的报价表达式，进而得到营业额关于人数的函数，再利用二次函数的性质求最大值，即可确定使营业额最大的旅游团人数。
【解析】
设旅游团人数为x（x≥30，且报价800-10(x-30)≥0，解得x≤110），营业额为y元。
根据题意，每人的报价为：800 - 10(x - 30) = 1100 - 10x；
则营业额y = x·(1100 - 10x) = -10x² + 1100x；
该函数为二次函数，其中a=-10＜0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值；
二次函数顶点横坐标为x = -b/(2a) = -1100/(2×(-10)) = 55；
即当x=55时，营业额最大，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是正确建立营业额与人数的函数关系，利用二次函数顶点式求最值，需注意自变量的取值范围。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确营业额的计算逻辑：营业额=旅游团人数×每人的报价。首先设旅游团人数为x，根据“30人起组团，每增加1人报价降低10元”的优惠规则，推导每人的报价表达式，进而得到营业额关于人数的函数，再利用二次函数的性质求最大值，即可确定使营业额最大的旅游团人数。
【解析】
设旅游团人数为x（x≥30，且报价800-10(x-30)≥0，解得x≤110），营业额为y元。
根据题意，每人的报价为：800 - 10(x - 30) = 1100 - 10x；
则营业额y = x·(1100 - 10x) = -10x² + 1100x；
该函数为二次函数，其中a=-10＜0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值；
二次函数顶点横坐标为x = -b/(2a) = -1100/(2×(-10)) = 55；
即当x=55时，营业额最大，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是正确建立营业额与人数的函数关系，利用二次函数顶点式求最值，需注意自变量的取值范围。
【难度系数】
0.6
3 教材变式题 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么销售单价定为
11
元时，才能使每天所获销售利润最大.答案
3. 11
解析
【分析】首先明确利润的计算公式：利润=（销售单价-成本单价）×销售量。本题中，成本为8元，原销售单价9元，原销售量20件，销售单价每提高1元销售量减少4件，因此设销售单价提高$ x $元，可分别表示出调整后的销售单价和销售量，进而得到利润的函数关系式，再利用二次函数的性质求利润最大值对应的销售单价。
【解析】设销售单价提高$ x $元，每天所获销售利润为$ y $元。
根据利润公式可得：
$ y=(9 + x - 8)(20 - 4x) $
化简整理得：
$ y=(1 + x)(20 - 4x) = -4x^2 + 16x + 20 $
对于二次函数$ y=ax^2 + bx + c $（$ a≠0 $），当$ a＜0 $时，函数在$ x=-\frac{b}{2a} $处取得最大值。
此处$ a=-4 $，$ b=16 $，代入得：
$ x=-\frac{16}{2×(-4)} = 2 $
因此销售单价为$ 9 + 2 = 11 $元时，每天所获销售利润最大。
【答案】11
【知识点】二次函数的应用、二次函数的最值
【点评】本题为教材变式题，核心是建立利润与单价变化量的二次函数关系，利用二次函数的性质求解最值，是中考常见的实际应用题型，需掌握此类问题的建模方法。
【难度系数】0.6
【解析】设销售单价提高$ x $元，每天所获销售利润为$ y $元。
根据利润公式可得：
$ y=(9 + x - 8)(20 - 4x) $
化简整理得：
$ y=(1 + x)(20 - 4x) = -4x^2 + 16x + 20 $
对于二次函数$ y=ax^2 + bx + c $（$ a≠0 $），当$ a＜0 $时，函数在$ x=-\frac{b}{2a} $处取得最大值。
此处$ a=-4 $，$ b=16 $，代入得：
$ x=-\frac{16}{2×(-4)} = 2 $
因此销售单价为$ 9 + 2 = 11 $元时，每天所获销售利润最大。
【答案】11
【知识点】二次函数的应用、二次函数的最值
【点评】本题为教材变式题，核心是建立利润与单价变化量的二次函数关系，利用二次函数的性质求解最值，是中考常见的实际应用题型，需掌握此类问题的建模方法。
【难度系数】0.6
4 新情境 传统文化 [2024 内江]端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒贵 20 元,某商家用 5 000 元购进的猪肉粽的盒数与用 3 000 元购进的豆沙粽的盒数相同. 在销售中,该商家发现,当猪肉粽每盒的售价为 52 元时,可售出 180 盒;每盒的售价每提高1 元,就少售出 10 盒.
(1) 求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价;
(2) 设猪肉粽每盒的售价为 $x$ 元($52 ≤ x ≤ 70$),该商家销售猪肉粽的利润为 $y$ 元,求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式,并求出 $y$ 的最大值.
(1) 求猪肉粽每盒、豆沙粽每盒的进价;
(2) 设猪肉粽每盒的售价为 $x$ 元($52 ≤ x ≤ 70$),该商家销售猪肉粽的利润为 $y$ 元,求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式,并求出 $y$ 的最大值.
答案
4. (1) 设猪肉粽每盒的进价为 a 元,则豆沙粽每盒的进价为(a−20)元. 根据题意,得$\dfrac{5\ 000}{a}=\dfrac{3\ 000}{a-20}$,解得 a=50. 经检验,a=50 是所列方程的解,此时 a−20=30.
∴ 猪肉粽每盒的进价为 50 元,豆沙粽每盒的进价为 30 元
(2) 由题意,当猪肉粽每盒的售价为 x 元(52≤x≤70)时,每天可售出[180−10(x−52)]盒.
∴ y=(x−50)[180−10(x−52)]=(x−50)(−10x+700)=−10x²+1 200x−35 000=−10(x−60)²+1 000.
∵ −10＜0,52≤x≤70,
∴ 当 x=60 时,y 取最大值,最大值为1 000.
∴ y 关于x 的函数解析式为y=−10x²+1200x−35 000(52⩽x⩽70),且 y 的最大值为 1 000
∴ 猪肉粽每盒的进价为 50 元,豆沙粽每盒的进价为 30 元
(2) 由题意,当猪肉粽每盒的售价为 x 元(52≤x≤70)时,每天可售出[180−10(x−52)]盒.
∴ y=(x−50)[180−10(x−52)]=(x−50)(−10x+700)=−10x²+1 200x−35 000=−10(x−60)²+1 000.
∵ −10＜0,52≤x≤70,
∴ 当 x=60 时,y 取最大值,最大值为1 000.
∴ y 关于x 的函数解析式为y=−10x²+1200x−35 000(52⩽x⩽70),且 y 的最大值为 1 000
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是求两种粽子的进价，属于分式方程的实际应用，核心是利用“用5000元购进猪肉粽的盒数与用3000元购进豆沙粽的盒数相同”这一等量关系，设猪肉粽进价为$a$元，豆沙粽为$(a-20)$元，根据“数量=总价÷单价”列分式方程求解，注意解分式方程后需检验；第(2)问是求销售利润的函数解析式及最大值，属于二次函数的实际应用，需先根据售价与销售量的关系（售价每提高1元少售10盒）表示出销售量，再利用“利润=每盒利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质和给定的售价范围求最大值。
【解析】
(1) 设猪肉粽每盒的进价为$a$元，则豆沙粽每盒的进价为$(a-20)$元。
根据题意，两种粽子购进的盒数相同，可得：
$\dfrac{5000}{a} = \dfrac{3000}{a-20}$
方程两边同乘$a(a-20)$去分母，得：
$5000(a-20) = 3000a$
展开计算：$5000a - 100000 = 3000a$
移项合并：$2000a = 100000$，解得$a = 50$。
经检验，当$a=50$时，$a(a-20)=50×30=1500≠0$，故$a=50$是原分式方程的解。
此时豆沙粽进价为$a-20=50-20=30$元。
(2) 当猪肉粽售价为$x$元（$52≤x≤70$）时，售价从52元提高了$(x-52)$元，每提高1元少售10盒，因此销售量为：
$180 - 10(x-52) = -10x + 700$（盒）
每盒利润为$(x-50)$元，总利润$y$为：
$y=(x-50)(-10x+700)$
展开化简：
$y=-10x² + 1200x - 35000$
配方得：
$y=-10(x-60)² + 1000$
因为二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，顶点横坐标$x=60$在定义域$52≤x≤70$内，故当$x=60$时，$y$取最大值1000元。
【答案】
(1) 猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙粽每盒的进价为30元；
(2) $y$关于$x$的函数解析式为$y=-10x²+1200x-35000$（$52≤x≤70$），$y$的最大值为1000元。
【知识点】
分式方程的应用；二次函数的应用
【点评】
本题结合端午节传统文化情境，考查分式方程与二次函数的实际应用，解题时需注意分式方程解的检验，以及二次函数在给定区间内最值的求解，是初中数学的重点应用题型，需准确把握等量关系与函数性质。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是求两种粽子的进价，属于分式方程的实际应用，核心是利用“用5000元购进猪肉粽的盒数与用3000元购进豆沙粽的盒数相同”这一等量关系，设猪肉粽进价为$a$元，豆沙粽为$(a-20)$元，根据“数量=总价÷单价”列分式方程求解，注意解分式方程后需检验；第(2)问是求销售利润的函数解析式及最大值，属于二次函数的实际应用，需先根据售价与销售量的关系（售价每提高1元少售10盒）表示出销售量，再利用“利润=每盒利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质和给定的售价范围求最大值。
【解析】
(1) 设猪肉粽每盒的进价为$a$元，则豆沙粽每盒的进价为$(a-20)$元。
根据题意，两种粽子购进的盒数相同，可得：
$\dfrac{5000}{a} = \dfrac{3000}{a-20}$
方程两边同乘$a(a-20)$去分母，得：
$5000(a-20) = 3000a$
展开计算：$5000a - 100000 = 3000a$
移项合并：$2000a = 100000$，解得$a = 50$。
经检验，当$a=50$时，$a(a-20)=50×30=1500≠0$，故$a=50$是原分式方程的解。
此时豆沙粽进价为$a-20=50-20=30$元。
(2) 当猪肉粽售价为$x$元（$52≤x≤70$）时，售价从52元提高了$(x-52)$元，每提高1元少售10盒，因此销售量为：
$180 - 10(x-52) = -10x + 700$（盒）
每盒利润为$(x-50)$元，总利润$y$为：
$y=(x-50)(-10x+700)$
展开化简：
$y=-10x² + 1200x - 35000$
配方得：
$y=-10(x-60)² + 1000$
因为二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，顶点横坐标$x=60$在定义域$52≤x≤70$内，故当$x=60$时，$y$取最大值1000元。
【答案】
(1) 猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙粽每盒的进价为30元；
(2) $y$关于$x$的函数解析式为$y=-10x²+1200x-35000$（$52≤x≤70$），$y$的最大值为1000元。
【知识点】
分式方程的应用；二次函数的应用
【点评】
本题结合端午节传统文化情境，考查分式方程与二次函数的实际应用，解题时需注意分式方程解的检验，以及二次函数在给定区间内最值的求解，是初中数学的重点应用题型，需准确把握等量关系与函数性质。
【难度系数】
0.6
5 教材变式题 某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆.若每张床位每天收费10元，则床位可全部租出；若每张床位每天的收费每提高2元，则会相应地少租出10张床位.如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（
A.14元
B.15元
C.16元
D.18元
C
）A.14元
B.15元
C.16元
D.18元
答案
5. C 【解析】设每张床位每天的收费提高 x 个 2 元,每天的租金为 y 元. 根据题意,得 y=(10+2x)(100−10x)=−20x²+100x+1 000.
∵ −20＜0,
∴ 当 x=−$\dfrac{100}{2×(-20)}$=2.5 时,y 取得最大值. 又
∵ x 为整数,
∴ 当 x=2 时,y=1 120;当 x=3 时,y=1 120.
∵ 要使租出的床位少且租金高,
∴ x=3.
∴ 每张床位每天最合适的收费是 10+3×2=16(元).
∵ −20＜0,
∴ 当 x=−$\dfrac{100}{2×(-20)}$=2.5 时,y 取得最大值. 又
∵ x 为整数,
∴ 当 x=2 时,y=1 120;当 x=3 时,y=1 120.
∵ 要使租出的床位少且租金高,
∴ x=3.
∴ 每张床位每天最合适的收费是 10+3×2=16(元).
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：①设每张床位每天的收费提高$x$个2元，便于表示提高后的收费和租出的床位数；②根据“总租金=每张床位收费×租出床位数”建立二次函数关系式；③利用二次函数性质求最值，结合$x$为整数的实际意义，计算整数$x$对应的租金；④根据题目“租出的床位少且租金高”的要求，选择合适的$x$，最终算出每张床位的收费。
【解析】
设每张床位每天的收费提高$x$个2元，每天的租金为$y$元。
根据题意，每张床位提高后的收费为$(10 + 2x)$元，租出的床位数为$(100 - 10x)$张，因此总租金：
$y=(10 + 2x)(100 - 10x)= -20x^2 + 100x + 1000$。
因为二次项系数$-20 ＜ 0$，函数图象开口向下，顶点处取最大值，顶点横坐标：
$x = -\frac{100}{2×(-20)} = 2.5$。
又因为$x$为整数，分别计算$x=2$和$x=3$时的租金：
当$x=2$时，$y=(10 + 4)(100 - 20)=14×80=1120$元；
当$x=3$时，$y=(10 + 6)(100 - 30)=16×70=1120$元。
题目要求“租出的床位少且租金高”，租出床位数为$100 - 10x$，$x$越大租出床位越少，故选择$x=3$。
因此每张床位每天最合适的收费是$10 + 2×3 = 16$元。
【答案】C
【知识点】二次函数的应用、实际问题中的最值
【点评】本题为教材变式题，考查二次函数在实际问题中的应用，需注意自变量的实际取值为整数，同时结合题目给定的两个条件筛选解，体现了数学解决实际问题的实用性。
【难度系数】0.5
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：①设每张床位每天的收费提高$x$个2元，便于表示提高后的收费和租出的床位数；②根据“总租金=每张床位收费×租出床位数”建立二次函数关系式；③利用二次函数性质求最值，结合$x$为整数的实际意义，计算整数$x$对应的租金；④根据题目“租出的床位少且租金高”的要求，选择合适的$x$，最终算出每张床位的收费。
【解析】
设每张床位每天的收费提高$x$个2元，每天的租金为$y$元。
根据题意，每张床位提高后的收费为$(10 + 2x)$元，租出的床位数为$(100 - 10x)$张，因此总租金：
$y=(10 + 2x)(100 - 10x)= -20x^2 + 100x + 1000$。
因为二次项系数$-20 ＜ 0$，函数图象开口向下，顶点处取最大值，顶点横坐标：
$x = -\frac{100}{2×(-20)} = 2.5$。
又因为$x$为整数，分别计算$x=2$和$x=3$时的租金：
当$x=2$时，$y=(10 + 4)(100 - 20)=14×80=1120$元；
当$x=3$时，$y=(10 + 6)(100 - 30)=16×70=1120$元。
题目要求“租出的床位少且租金高”，租出床位数为$100 - 10x$，$x$越大租出床位越少，故选择$x=3$。
因此每张床位每天最合适的收费是$10 + 2×3 = 16$元。
【答案】C
【知识点】二次函数的应用、实际问题中的最值
【点评】本题为教材变式题，考查二次函数在实际问题中的应用，需注意自变量的实际取值为整数，同时结合题目给定的两个条件筛选解，体现了数学解决实际问题的实用性。
【难度系数】0.5
6 某宾馆有若干间标准房,该宾馆规定每间标准房的价格不低于 180 元,且不高于 250 元. 市场调查表明,每天入住的标准房数量 $y$(间)与每间标准房的价格 $x$(元)之间满足 $y=-\dfrac{1}{2}x+170$,则当该宾馆每间标准房的价格为
180
元时,宾馆的日营业额最大,最大日营业额为14 400
元.答案
6. 180 14 400
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确日营业额的计算逻辑：日营业额=每间标准房价格×入住房间数。根据已知的入住房间数与价格的函数关系，建立日营业额的函数表达式，该函数为二次函数，需结合价格的取值范围（180≤x≤250），分析二次函数的单调性，从而确定最大值对应的价格和最大营业额。
【解析】
设宾馆的日营业额为$ W $元，根据题意，日营业额$ W = x · y $，其中$ y = -\dfrac{1}{2}x + 170 $，代入得：
$W = x(-\dfrac{1}{2}x + 170) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 170x$
该函数是二次函数，其中$ a = -\dfrac{1}{2} ＜ 0 $，抛物线开口向下，对称轴为：
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{170}{2 × (-\dfrac{1}{2})} = 170$
已知价格$ x $的取值范围是$ 180 ≤ x ≤ 250 $，对称轴$ x=170 $在该区间左侧，因此在区间$ [180,250] $内，$ W $随$ x $的增大而减小。
故当$ x $取区间最小值$ 180 $时，$ W $取得最大值，代入计算：
$W_{\mathrm{最大}} = 180 × (-\dfrac{1}{2} × 180 + 170) = 180 × 80 = 14400$
【答案】
180；14400
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，核心是建立营业额的函数关系，关键在于结合自变量的取值范围判断函数的单调性，避免直接取顶点值导致错误，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确日营业额的计算逻辑：日营业额=每间标准房价格×入住房间数。根据已知的入住房间数与价格的函数关系，建立日营业额的函数表达式，该函数为二次函数，需结合价格的取值范围（180≤x≤250），分析二次函数的单调性，从而确定最大值对应的价格和最大营业额。
【解析】
设宾馆的日营业额为$ W $元，根据题意，日营业额$ W = x · y $，其中$ y = -\dfrac{1}{2}x + 170 $，代入得：
$W = x(-\dfrac{1}{2}x + 170) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 170x$
该函数是二次函数，其中$ a = -\dfrac{1}{2} ＜ 0 $，抛物线开口向下，对称轴为：
$x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{170}{2 × (-\dfrac{1}{2})} = 170$
已知价格$ x $的取值范围是$ 180 ≤ x ≤ 250 $，对称轴$ x=170 $在该区间左侧，因此在区间$ [180,250] $内，$ W $随$ x $的增大而减小。
故当$ x $取区间最小值$ 180 $时，$ W $取得最大值，代入计算：
$W_{\mathrm{最大}} = 180 × (-\dfrac{1}{2} × 180 + 170) = 180 × 80 = 14400$
【答案】
180；14400
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，核心是建立营业额的函数关系，关键在于结合自变量的取值范围判断函数的单调性，避免直接取顶点值导致错误，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】
0.6
