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4. 如图,已知$BE⊥AD,CF⊥AD$,垂足分别为E,F,在下列条件中,可以判定$Rt△ABE≌Rt△DCF$的是
①$AB=DC,∠B=∠C$;
②$AB=DC,AB// CD$;
③$AB=DC,BE=CF$;
④$AB=DF,BE=CF$.
①②③
.(填写序号)①$AB=DC,∠B=∠C$;
②$AB=DC,AB// CD$;
③$AB=DC,BE=CF$;
④$AB=DF,BE=CF$.
答案
4. ①②③
5. 如图,点$B,F,C,E$在同一条直线上,$AB⊥ BE,DE⊥ BE,AC=DF,BF=CE$,求证:$∠ A=∠ D$.
答案
5. 证明:
∵AB⊥BE,DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°.
∵BF=CE,
∴BF+CF=CE+CF,即BC=EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
$\begin{cases} AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴∠A=∠D.
∵AB⊥BE,DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°.
∵BF=CE,
∴BF+CF=CE+CF,即BC=EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
$\begin{cases} AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴∠A=∠D.
6. 如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB的延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.若∠CAE=25°,则∠BFC=
70°
.答案
6. 70°
7.如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DF\bot AB$，垂足为$F$，$DE=DG$，$△ ADG$和$△ AED$的面积分别为50和38，则$△ EDF$的面积为
6
.答案
7. 6
8.小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的.如图，OA表示小球静止时的位置.当小亮用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作$BD⊥OA$于点D；当小球摆到OC位置时，过点C作$CE⊥OA$于点E，测得$BD=7\ \mathrm{cm}$，$OE=7\ \mathrm{cm}$.求证此时$OB⊥OC$(图中的点A，B，O，C在同一平面上).
答案
8. 证明:
∵BD⊥OA,CE⊥OA,
∴∠BDO=∠OEC=90°.
根据题意,得OB=OC,BD=OE=7 cm,
∴Rt△OBD≌Rt△COE(HL),
∴∠B=∠COE.
又
∵∠B+∠BOD=90°,
∴∠COE+∠BOD=90°,
即∠BOC=90°,
∴OB⊥OC.
∵BD⊥OA,CE⊥OA,
∴∠BDO=∠OEC=90°.
根据题意,得OB=OC,BD=OE=7 cm,
∴Rt△OBD≌Rt△COE(HL),
∴∠B=∠COE.
又
∵∠B+∠BOD=90°,
∴∠COE+∠BOD=90°,
即∠BOC=90°,
∴OB⊥OC.
9.已知$\mathrm{Rt}△ ABO$在平面直角坐标系中如图所示，点$A$的坐标为$(-3,1)$，与$AO$长度相等的线段$PQ$的两个端点$P,Q$分别在$x$轴、$y$轴上滑动，当$△ OAB$与$△ PQO$全等时，求点$P$与点$Q$的坐标。
答案
9. 解:
∵点A的坐标是(-3,1),
∴OB=3,AB=1.
∵∠POQ=∠ABO=90°,PQ=AO,
∴只要有一条直角边对应相等,两个直角三角形就全等,
∴当P(-1,0)时,$Q_1$(0,3),$Q_2$(0,-3);
当P(-3,0)时,$Q_3$(0,1),$Q_4$(0,-1);
当P(1,0)时,$Q_5$(0,3),$Q_6$(0,-3);
当P(3,0)时,$Q_7$(0,1),$Q_8$(0,-1).
∵点A的坐标是(-3,1),
∴OB=3,AB=1.
∵∠POQ=∠ABO=90°,PQ=AO,
∴只要有一条直角边对应相等,两个直角三角形就全等,
∴当P(-1,0)时,$Q_1$(0,3),$Q_2$(0,-3);
当P(-3,0)时,$Q_3$(0,1),$Q_4$(0,-1);
当P(1,0)时,$Q_5$(0,3),$Q_6$(0,-3);
当P(3,0)时,$Q_7$(0,1),$Q_8$(0,-1).
