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1. 不等式 $4(x - 2) ＜ 2x - 3$ 的非负整数解的个数为(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
).A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. B
解析
【解析】
解不等式$4(x - 2) ＜ 2x - 3$：
1. 去括号：$4x - 8 ＜ 2x - 3$；
2. 移项：$4x - 2x ＜ -3 + 8$；
3. 合并同类项：$2x ＜ 5$；
4. 系数化为1：$x ＜ 2.5$。
该不等式的非负整数解为0、1、2，共3个，故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式解法；非负整数解确定
【点评】
解一元一次不等式需注意移项变号规则，确定非负整数解时要准确列举，避免漏解或多解。
解不等式$4(x - 2) ＜ 2x - 3$：
1. 去括号：$4x - 8 ＜ 2x - 3$；
2. 移项：$4x - 2x ＜ -3 + 8$；
3. 合并同类项：$2x ＜ 5$；
4. 系数化为1：$x ＜ 2.5$。
该不等式的非负整数解为0、1、2，共3个，故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式解法；非负整数解确定
【点评】
解一元一次不等式需注意移项变号规则，确定非负整数解时要准确列举，避免漏解或多解。
2. 若实数 $x$ 满足 $0 ＜ x ≤ \frac{x + 7}{2}$，则实数 $x$ 的整数解有(
A.8 个
B.7 个
C.6 个
D.5 个
B
).A.8 个
B.7 个
C.6 个
D.5 个
答案
2. B
解析
【解析】
解不等式 $0 ＜ x ≤ \frac{x + 7}{2}$：
1. 对 $x ≤ \frac{x + 7}{2}$ 两边同乘2，得 $2x ≤ x + 7$；
2. 移项化简得 $x ≤ 7$；
3. 结合 $0 ＜ x$，可得解集为 $0 ＜ x ≤ 7$；
4. 此范围内的整数解为1、2、3、4、5、6、7，共7个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式整数解
【点评】
解题需先准确求解不等式解集，注意边界值的取舍，再逐一找出符合条件的整数解，避免漏数或误判边界。
解不等式 $0 ＜ x ≤ \frac{x + 7}{2}$：
1. 对 $x ≤ \frac{x + 7}{2}$ 两边同乘2，得 $2x ≤ x + 7$；
2. 移项化简得 $x ≤ 7$；
3. 结合 $0 ＜ x$，可得解集为 $0 ＜ x ≤ 7$；
4. 此范围内的整数解为1、2、3、4、5、6、7，共7个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式整数解
【点评】
解题需先准确求解不等式解集，注意边界值的取舍，再逐一找出符合条件的整数解，避免漏数或误判边界。
3. 已知关于 $x$ 的不等式 $3x - m + 1 ＞ 0$ 的最小整数解为 2，则实数 $m$ 的取值范围是(
A.$4 ≤ m ＜ 7$
B.$4 ＜ m ＜ 7$
C.$4 ≤ m ≤ 7$
D.$4 ＜ m ≤ 7$
A
).A.$4 ≤ m ＜ 7$
B.$4 ＜ m ＜ 7$
C.$4 ≤ m ≤ 7$
D.$4 ＜ m ≤ 7$
答案
3. A
解析
【解析】
解不等式$3x - m + 1 ＞ 0$，移项得$3x ＞ m - 1$，系数化为1得$x ＞ \frac{m - 1}{3}$。
因为不等式的最小整数解为2，所以$1 ≤ \frac{m - 1}{3} ＜ 2$。
解不等式$1 ≤ \frac{m - 1}{3}$：
两边同乘3得$3 ≤ m - 1$，移项得$m ≥ 4$；
解不等式$\frac{m - 1}{3} ＜ 2$：
两边同乘3得$m - 1 ＜ 6$，移项得$m ＜ 7$。
综上，实数$m$的取值范围是$4 ≤ m ＜ 7$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式
【点评】
本题关键是根据最小整数解确定$\frac{m - 1}{3}$的取值范围，注意边界值的等号取舍，避免漏解或错解。
解不等式$3x - m + 1 ＞ 0$，移项得$3x ＞ m - 1$，系数化为1得$x ＞ \frac{m - 1}{3}$。
因为不等式的最小整数解为2，所以$1 ≤ \frac{m - 1}{3} ＜ 2$。
解不等式$1 ≤ \frac{m - 1}{3}$：
两边同乘3得$3 ≤ m - 1$，移项得$m ≥ 4$；
解不等式$\frac{m - 1}{3} ＜ 2$：
两边同乘3得$m - 1 ＜ 6$，移项得$m ＜ 7$。
综上，实数$m$的取值范围是$4 ≤ m ＜ 7$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式
【点评】
本题关键是根据最小整数解确定$\frac{m - 1}{3}$的取值范围，注意边界值的等号取舍，避免漏解或错解。
4. 已知 $4 ＜ m ＜ 5$，则关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}x - m ＜ 0, \\ 4 - 2x ＜ 0\end{cases}$ 的整数解共有( ).
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
4. B
解析
【解析】
1. 解不等式$x - m ＜ 0$，得$x ＜ m$；
2. 解不等式$4 - 2x ＜ 0$：
移项得$-2x ＜ -4$，
两边同时除以$-2$（不等号方向改变），得$x ＞ 2$；
3. 已知$4 ＜ m ＜ 5$，因此不等式组的解集为$2 ＜ x ＜ m$；
4. 在此解集范围内的整数解为3、4，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组
【点评】
本题需先分别求解两个一元一次不等式，再结合$m$的取值范围确定不等式组的解集，进而找出整数解，注意解不等式时不等号方向的变化规律。
1. 解不等式$x - m ＜ 0$，得$x ＜ m$；
2. 解不等式$4 - 2x ＜ 0$：
移项得$-2x ＜ -4$，
两边同时除以$-2$（不等号方向改变），得$x ＞ 2$；
3. 已知$4 ＜ m ＜ 5$，因此不等式组的解集为$2 ＜ x ＜ m$；
4. 在此解集范围内的整数解为3、4，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组
【点评】
本题需先分别求解两个一元一次不等式，再结合$m$的取值范围确定不等式组的解集，进而找出整数解，注意解不等式时不等号方向的变化规律。
5. 不等式 $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} ＜ 1$ 的正整数解是
1，2，3
.答案
5. 1，2，3
解析
【解析】
1. 去分母，不等式两边同时乘以6，得：$3x - 2(x - 1) ＜ 6$；
2. 去括号：$3x - 2x + 2 ＜ 6$；
3. 移项、合并同类项：$x ＜ 4$；
4. 因此，不等式的正整数解为1，2，3。
【答案】
1，2，3
【知识点】
一元一次不等式解法；正整数解确定
【点评】
本题考查一元一次不等式的求解及正整数解的确定，解题需熟练掌握一元一次不等式的基本解题步骤，准确求出解集后筛选出符合条件的正整数解。
1. 去分母，不等式两边同时乘以6，得：$3x - 2(x - 1) ＜ 6$；
2. 去括号：$3x - 2x + 2 ＜ 6$；
3. 移项、合并同类项：$x ＜ 4$；
4. 因此，不等式的正整数解为1，2，3。
【答案】
1，2，3
【知识点】
一元一次不等式解法；正整数解确定
【点评】
本题考查一元一次不等式的求解及正整数解的确定，解题需熟练掌握一元一次不等式的基本解题步骤，准确求出解集后筛选出符合条件的正整数解。
6. 不等式组 $\begin{cases}2x + 7 ＞ 3(x + 1), \\ \frac{2}{3}x - \frac{3x + 4}{6} ≤ \frac{2}{3}\end{cases}$ 的非负整数解有 ______ 个.
答案
6. 4
解析
【解析】
先解第一个不等式：
$2x + 7 ＞ 3(x + 1)$
$2x + 7 ＞ 3x + 3$
$2x - 3x ＞ 3 - 7$
$-x ＞ -4$
$x ＜ 4$
再解第二个不等式：
$\frac{2}{3}x - \frac{3x + 4}{6} ≤ \frac{2}{3}$
两边同乘6得：$4x - (3x + 4) ≤ 4$
$4x - 3x - 4 ≤ 4$
$x ≤ 8$
所以不等式组的解集为$x ＜ 4$，其非负整数解为0、1、2、3，共4个。
【答案】
4
【知识点】
一元一次不等式组解法；非负整数解
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解及非负整数解的确定，解题关键是正确解出每个不等式的解集，再取公共部分，最后筛选出符合条件的解。
先解第一个不等式：
$2x + 7 ＞ 3(x + 1)$
$2x + 7 ＞ 3x + 3$
$2x - 3x ＞ 3 - 7$
$-x ＞ -4$
$x ＜ 4$
再解第二个不等式：
$\frac{2}{3}x - \frac{3x + 4}{6} ≤ \frac{2}{3}$
两边同乘6得：$4x - (3x + 4) ≤ 4$
$4x - 3x - 4 ≤ 4$
$x ≤ 8$
所以不等式组的解集为$x ＜ 4$，其非负整数解为0、1、2、3，共4个。
【答案】
4
【知识点】
一元一次不等式组解法；非负整数解
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解及非负整数解的确定，解题关键是正确解出每个不等式的解集，再取公共部分，最后筛选出符合条件的解。
7. 若关于 $x$ 的不等式 $x - a ＜ 0$ 的正整数解是 1，2，3，则 $a$ 的取值范围是
$ 3 ＜ a ≤ 4 $
.答案
7. $ 3 ＜ a ≤ 4 $
解析
【解析】
解不等式$x - a ＜ 0$，得$x ＜ a$。
因为不等式的正整数解是1，2，3，所以$a$需满足大于3（若$a≤3$，则正整数解取不到3），且小于等于4（若$a＞4$，则正整数解会包含4），因此$a$的取值范围是$3 ＜ a ≤ 4$。
【答案】
$3 ＜ a ≤ 4$
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式整数解求参数
【点评】
本题的关键是根据不等式的正整数解确定参数的边界范围，要特别注意端点值的取舍，避免因端点判断错误导致结果出错。
解不等式$x - a ＜ 0$，得$x ＜ a$。
因为不等式的正整数解是1，2，3，所以$a$需满足大于3（若$a≤3$，则正整数解取不到3），且小于等于4（若$a＞4$，则正整数解会包含4），因此$a$的取值范围是$3 ＜ a ≤ 4$。
【答案】
$3 ＜ a ≤ 4$
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式整数解求参数
【点评】
本题的关键是根据不等式的正整数解确定参数的边界范围，要特别注意端点值的取舍，避免因端点判断错误导致结果出错。
8. 已知关于 $x$ 的不等式 $3x - a ≤ 0$ 只有三个正整数解，那么正数 $a$ 所能取得的整数值是
9，10，11
.答案
8. 9，10，11
解析
【解析】
解不等式 $3x - a ≤ 0$，得 $x ≤ \frac{a}{3}$。
因为不等式只有三个正整数解，所以这三个正整数解为1、2、3，由此可得：
$3 ≤ \frac{a}{3} ＜ 4$，
两边同时乘以3，得 $9 ≤ a ＜ 12$。
又因为a是正数且为整数，所以a的整数值为9，10，11。
【答案】
9，10，11
【知识点】
一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式
【点评】
本题关键是根据正整数解的个数确定$\frac{a}{3}$的取值范围，注意边界值的取舍，避免漏解或多解。
解不等式 $3x - a ≤ 0$，得 $x ≤ \frac{a}{3}$。
因为不等式只有三个正整数解，所以这三个正整数解为1、2、3，由此可得：
$3 ≤ \frac{a}{3} ＜ 4$，
两边同时乘以3，得 $9 ≤ a ＜ 12$。
又因为a是正数且为整数，所以a的整数值为9，10，11。
【答案】
9，10，11
【知识点】
一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式
【点评】
本题关键是根据正整数解的个数确定$\frac{a}{3}$的取值范围，注意边界值的取舍，避免漏解或多解。
9. 解不等式 $\frac{4 + 3x}{6} ≤ \frac{1 + 2x}{3} + 1$，在数轴上表示该不等式的解集，并写出它的负整数解.
答案
9. $ x ≥ -4 $，在数轴上表示解集略.
不等式的负整数解有 $ -4 $，$ -3 $，$ -2 $，$ -1 $.
不等式的负整数解有 $ -4 $，$ -3 $，$ -2 $，$ -1 $.
