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一、选择题
1. 16 的算术平方根是(
A.4
B.$-4$
C.$\pm 4$
D.$\pm 8$
1. 16 的算术平方根是(
A
).A.4
B.$-4$
C.$\pm 4$
D.$\pm 8$
答案
1. A
解析
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则x叫做a的算术平方根。
因为4²=16，且算术平方根为非负数，所以16的算术平方根是4。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题考查算术平方根的基本概念，需明确算术平方根与平方根的区别，算术平方根只有一个非负的结果，避免混淆概念而出错。
根据算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则x叫做a的算术平方根。
因为4²=16，且算术平方根为非负数，所以16的算术平方根是4。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题考查算术平方根的基本概念，需明确算术平方根与平方根的区别，算术平方根只有一个非负的结果，避免混淆概念而出错。
2. 有下列实数：$π$，$\sqrt{4}$，$-\sqrt{5}$，$\frac{1}{9}$，$0.\dot{2}\dot{4}$，$\sqrt[3]{7}$，$0.202\ 002\ 000\ 2···$(每两个 2 之间依次多一个 0).其中无理数的个数是(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2. B
解析
【解析】
根据无理数的定义（无限不循环小数称为无理数），对各数逐一判断：
1. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
2. $\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
3. $-\sqrt{5}$是开方开不尽的数，属于无理数；
4. $\frac{1}{9}$是分数，属于有理数；
5. $0.\dot{2}\dot{4}$是循环小数，属于有理数；
6. $\sqrt[3]{7}$是开方开不尽的数，属于无理数；
7. $0.202\ 002\ 000\ 2···$(每两个2之间依次多一个0)是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有4个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义
【点评】
本题考查无理数的识别，需牢记无理数的常见形式：含$π$的数、开方开不尽的数、无限不循环小数，注意区分有理数与无理数的范畴。
根据无理数的定义（无限不循环小数称为无理数），对各数逐一判断：
1. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
2. $\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
3. $-\sqrt{5}$是开方开不尽的数，属于无理数；
4. $\frac{1}{9}$是分数，属于有理数；
5. $0.\dot{2}\dot{4}$是循环小数，属于有理数；
6. $\sqrt[3]{7}$是开方开不尽的数，属于无理数；
7. $0.202\ 002\ 000\ 2···$(每两个2之间依次多一个0)是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有4个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义
【点评】
本题考查无理数的识别，需牢记无理数的常见形式：含$π$的数、开方开不尽的数、无限不循环小数，注意区分有理数与无理数的范畴。
3. 下列说法中，正确的是(
A.立方根是它本身的数只有 1 和 0
B.算术平方根是它本身的数只有 1 和 0
C.平方根是它本身的数只有 1 和 0
D.绝对值是它本身的数只有 1 和 0
B
).A.立方根是它本身的数只有 1 和 0
B.算术平方根是它本身的数只有 1 和 0
C.平方根是它本身的数只有 1 和 0
D.绝对值是它本身的数只有 1 和 0
答案
3. B
解析
【解析】
逐一分析各选项：
A. 立方根是它本身的数有1、0和-1，因为$(-1)^3=-1$，故-1的立方根也是它本身，A错误；
B. 算术平方根具有非负性，0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，所以算术平方根是它本身的数只有1和0，B正确；
C. 平方根是它本身的数只有0，1的平方根是$\pm1$，并非它本身，C错误；
D. 绝对值是它本身的数是所有非负数，不只是1和0，D错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根定义、立方根定义、绝对值性质
【点评】
本题考查了算术平方根、立方根、平方根及绝对值的相关概念，需准确区分各概念的定义与性质，避免概念混淆。
逐一分析各选项：
A. 立方根是它本身的数有1、0和-1，因为$(-1)^3=-1$，故-1的立方根也是它本身，A错误；
B. 算术平方根具有非负性，0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，所以算术平方根是它本身的数只有1和0，B正确；
C. 平方根是它本身的数只有0，1的平方根是$\pm1$，并非它本身，C错误；
D. 绝对值是它本身的数是所有非负数，不只是1和0，D错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根定义、立方根定义、绝对值性质
【点评】
本题考查了算术平方根、立方根、平方根及绝对值的相关概念，需准确区分各概念的定义与性质，避免概念混淆。
4. 下列各数中，在 3 和 4 之间的数是(
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{18}$
C
).A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{18}$
答案
4. C
解析
【解析】
要判断哪个数在3和4之间，先将3和4转化为算术平方根形式：$3=\sqrt{9}$，$4=\sqrt{16}$，即寻找被开方数在9和16之间的数。
A选项：$\sqrt{3}$，被开方数$3＜9$，故$\sqrt{3}＜3$，不在3和4之间；
B选项：$\sqrt{8}$，被开方数$8＜9$，故$\sqrt{8}＜3$，不在3和4之间；
C选项：$\sqrt{10}$，因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，符合要求；
D选项：$\sqrt{18}$，被开方数$18＞16$，故$\sqrt{18}＞4$，不在3和4之间。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的估算
【点评】
本题考查算术平方根的大小比较，通过将整数转化为同形式的算术平方根，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质进行判断，方法简便直观，需掌握该比较技巧。
要判断哪个数在3和4之间，先将3和4转化为算术平方根形式：$3=\sqrt{9}$，$4=\sqrt{16}$，即寻找被开方数在9和16之间的数。
A选项：$\sqrt{3}$，被开方数$3＜9$，故$\sqrt{3}＜3$，不在3和4之间；
B选项：$\sqrt{8}$，被开方数$8＜9$，故$\sqrt{8}＜3$，不在3和4之间；
C选项：$\sqrt{10}$，因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，符合要求；
D选项：$\sqrt{18}$，被开方数$18＞16$，故$\sqrt{18}＞4$，不在3和4之间。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的估算
【点评】
本题考查算术平方根的大小比较，通过将整数转化为同形式的算术平方根，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质进行判断，方法简便直观，需掌握该比较技巧。
5. 下列各数中，立方根一定是负数的是(
A.$-a$
B.$-a^{2}$
C.$-a^{2}+1$
D.$-a^{2}-1$
D
).A.$-a$
B.$-a^{2}$
C.$-a^{2}+1$
D.$-a^{2}-1$
答案
5. D
解析
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：当a为负数时，-a是正数，其立方根为正数，不符合要求；
2. 选项B：由于$a^2≥0$，则$-a^2≤0$，当a=0时，$-a^2=0$，立方根为0，不是负数，不符合要求；
3. 选项C：$-a^2+1$的取值可正、可零、可负，例如当a=0时，$-a^2+1=1$，其立方根为正数，不符合要求；
4. 选项D：因为$a^2≥0$，所以$-a^2≤0$，进而$-a^2-1≤-1＜0$，该数恒为负数，负数的立方根一定是负数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质、非负数的性质
【点评】
本题主要考查立方根的性质及平方数的非负性，解题关键是准确分析每个选项的取值范围，判断其是否恒为负数。
逐一分析各选项：
1. 选项A：当a为负数时，-a是正数，其立方根为正数，不符合要求；
2. 选项B：由于$a^2≥0$，则$-a^2≤0$，当a=0时，$-a^2=0$，立方根为0，不是负数，不符合要求；
3. 选项C：$-a^2+1$的取值可正、可零、可负，例如当a=0时，$-a^2+1=1$，其立方根为正数，不符合要求；
4. 选项D：因为$a^2≥0$，所以$-a^2≤0$，进而$-a^2-1≤-1＜0$，该数恒为负数，负数的立方根一定是负数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质、非负数的性质
【点评】
本题主要考查立方根的性质及平方数的非负性，解题关键是准确分析每个选项的取值范围，判断其是否恒为负数。
6. $-2\frac{10}{27}$的立方根是(
A.$\frac{44}{27}$
B.$-\frac{44}{27}$
C.$-\frac{4}{3}$
D.$-\frac{44}{3}$
C
).A.$\frac{44}{27}$
B.$-\frac{44}{27}$
C.$-\frac{4}{3}$
D.$-\frac{44}{3}$
答案
6. C
解析
【解析】
先将带分数化为假分数：$-2\frac{10}{27}=-\frac{2×27 + 10}{27}=-\frac{64}{27}$。
因为$(-\frac{4}{3})^3=-\frac{64}{27}$，所以$-2\frac{10}{27}$的立方根是$-\frac{4}{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义、带分数化假分数
【点评】
本题考查立方根的计算，解题关键是先将带分数转化为假分数，再依据立方根的定义求解，注意负数的立方根为负数。
先将带分数化为假分数：$-2\frac{10}{27}=-\frac{2×27 + 10}{27}=-\frac{64}{27}$。
因为$(-\frac{4}{3})^3=-\frac{64}{27}$，所以$-2\frac{10}{27}$的立方根是$-\frac{4}{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义、带分数化假分数
【点评】
本题考查立方根的计算，解题关键是先将带分数转化为假分数，再依据立方根的定义求解，注意负数的立方根为负数。
7. 计算$\vert 1+\sqrt{3}\vert +\vert 1-\sqrt{3}\vert$等于(
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
D
).A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
答案
7. D
解析
【解析】
因为$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$1+\sqrt{3}＞0$，$1-\sqrt{3}＜0$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
则$\vert 1+\sqrt{3}\vert =1+\sqrt{3}$，$\vert 1-\sqrt{3}\vert =\sqrt{3}-1$。
所以原式$=(1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的加减
【点评】
本题考查绝对值的性质及二次根式的运算，解题关键是先判断绝对值内式子的正负，再正确去掉绝对值符号进行计算，注意运算过程中的符号变化。
因为$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$1+\sqrt{3}＞0$，$1-\sqrt{3}＜0$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
则$\vert 1+\sqrt{3}\vert =1+\sqrt{3}$，$\vert 1-\sqrt{3}\vert =\sqrt{3}-1$。
所以原式$=(1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的加减
【点评】
本题考查绝对值的性质及二次根式的运算，解题关键是先判断绝对值内式子的正负，再正确去掉绝对值符号进行计算，注意运算过程中的符号变化。
8. 已知$\sqrt{4.357}\approx 2.087$，则$\sqrt{435.7}$约等于(
A.0.208 7
B.20.87
C.208.7
D.2 087
B
).A.0.208 7
B.20.87
C.208.7
D.2 087
答案
8. B
解析
【解析】
因为被开方数4.357变为435.7，小数点向右移动了两位，即被开方数扩大到原来的100倍。根据算术平方根的性质，当被开方数扩大100倍时，其算术平方根扩大到原来的10倍。已知$\sqrt{4.357}\approx 2.087$，所以$\sqrt{435.7}\approx 2.087×10=20.87$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的性质
【点评】
本题考查算术平方根的小数点移动规律，解题关键是掌握“被开方数扩大100倍，对应的算术平方根扩大10倍”这一核心规律，通过小数点移动的关系快速得出结果。
因为被开方数4.357变为435.7，小数点向右移动了两位，即被开方数扩大到原来的100倍。根据算术平方根的性质，当被开方数扩大100倍时，其算术平方根扩大到原来的10倍。已知$\sqrt{4.357}\approx 2.087$，所以$\sqrt{435.7}\approx 2.087×10=20.87$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的性质
【点评】
本题考查算术平方根的小数点移动规律，解题关键是掌握“被开方数扩大100倍，对应的算术平方根扩大10倍”这一核心规律，通过小数点移动的关系快速得出结果。
9. 实数$a$，$b$，$c$，$d$在数轴上对应点的位置如图所示，下列关系不正确的是(
A.$\vert a\vert ＞\vert b\vert$
B.$\vert ac\vert =ac$
C.$b ＜ d$
D.$b + d ＞ 0$
B
).A.$\vert a\vert ＞\vert b\vert$
B.$\vert ac\vert =ac$
C.$b ＜ d$
D.$b + d ＞ 0$
答案
9. B
解析
【解析】
根据数轴上点的位置可知：$a ＜ b ＜ 0 ＜ 1 ＜ c ＜ d$，且$|a| ＞ |b| ＜ |d|$。
选项A：$a$在$b$左侧且均为负数，负数离原点越远绝对值越大，故$|a| ＞ |b|$，A正确；
选项B：$a$为负数，$c$为正数，因此$ac ＜ 0$，根据绝对值的性质，$|ac| = -ac ≠ ac$，B错误；
选项C：数轴上右边的数总比左边的数大，$b$在$d$左侧，故$b ＜ d$，C正确；
选项D：$b$为负数，$d$为正数，且$|b| ＜ |d|$，异号两数相加取绝对值较大数的符号，故$b + d ＞ 0$，D正确。
综上，关系不正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、有理数的运算
【点评】
本题考查数轴与有理数的综合应用，解题关键是根据数轴上点的位置判断数的正负、绝对值大小，再结合绝对值性质和有理数运算法则分析选项。
根据数轴上点的位置可知：$a ＜ b ＜ 0 ＜ 1 ＜ c ＜ d$，且$|a| ＞ |b| ＜ |d|$。
选项A：$a$在$b$左侧且均为负数，负数离原点越远绝对值越大，故$|a| ＞ |b|$，A正确；
选项B：$a$为负数，$c$为正数，因此$ac ＜ 0$，根据绝对值的性质，$|ac| = -ac ≠ ac$，B错误；
选项C：数轴上右边的数总比左边的数大，$b$在$d$左侧，故$b ＜ d$，C正确；
选项D：$b$为负数，$d$为正数，且$|b| ＜ |d|$，异号两数相加取绝对值较大数的符号，故$b + d ＞ 0$，D正确。
综上，关系不正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、有理数的运算
【点评】
本题考查数轴与有理数的综合应用，解题关键是根据数轴上点的位置判断数的正负、绝对值大小，再结合绝对值性质和有理数运算法则分析选项。
