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10. 若一个正数的两个不同的平方根分别是$3x - 1$和$4 - 4x$，则这个数的立方根是(
A.8
B.$\pm 8$
C.4
D.$\pm 4$
C
).A.8
B.$\pm 8$
C.4
D.$\pm 4$
答案
10. C
解析
【解析】
根据正数的两个不同平方根互为相反数，可列方程：
$3x - 1 + 4 - 4x = 0$
解方程得：
$-x + 3 = 0$
$x = 3$
将$x=3$代入$3x - 1$，得$3×3 - 1 = 8$，则这个正数为$8^2 = 64$。
因为$64$的立方根是$\sqrt[3]{64}=4$，所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质、立方根的计算
【点评】
本题考查平方根与立方根的综合应用，利用正数的两个平方根互为相反数求出$x$是解题核心，需注意正数的平方根互为相反数，正数的立方根为正数。
根据正数的两个不同平方根互为相反数，可列方程：
$3x - 1 + 4 - 4x = 0$
解方程得：
$-x + 3 = 0$
$x = 3$
将$x=3$代入$3x - 1$，得$3×3 - 1 = 8$，则这个正数为$8^2 = 64$。
因为$64$的立方根是$\sqrt[3]{64}=4$，所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质、立方根的计算
【点评】
本题考查平方根与立方根的综合应用，利用正数的两个平方根互为相反数求出$x$是解题核心，需注意正数的平方根互为相反数，正数的立方根为正数。
11. 如果自然数$a$的平方根是$\pm m$，那么$a + 1$的平方根是(
A.$\pm \sqrt{m^{2}+1}$
B.$\pm (m^{2}+1)$
C.$\pm \sqrt{m + 1}$
D.$\pm (m + 1)$
A
).A.$\pm \sqrt{m^{2}+1}$
B.$\pm (m^{2}+1)$
C.$\pm \sqrt{m + 1}$
D.$\pm (m + 1)$
答案
11. A
解析
【解析】
已知自然数$a$的平方根是$\pm m$，根据平方根的定义可得$a = m^2$，则$a + 1 = m^2 + 1$，所以$a + 1$的平方根是$\pm \sqrt{m^2 + 1}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义
【点评】
本题考查平方根的定义，解题关键是先根据已知条件求出$a$的表达式，再准确表示出$a+1$的平方根，注意平方根的正确书写形式。
已知自然数$a$的平方根是$\pm m$，根据平方根的定义可得$a = m^2$，则$a + 1 = m^2 + 1$，所以$a + 1$的平方根是$\pm \sqrt{m^2 + 1}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义
【点评】
本题考查平方根的定义，解题关键是先根据已知条件求出$a$的表达式，再准确表示出$a+1$的平方根，注意平方根的正确书写形式。
12. 若实数$x$满足$0 ＜ x ＜ 1$，则$x$，$x^{2}$，$\sqrt{x}$，$\frac{1}{x}$的大小关系是(
A.$x^{2} ＜ \sqrt{x} ＜ x ＜ \frac{1}{x}$
B.$\frac{1}{x} ＜ x ＜ \sqrt{x} ＜ x^{2}$
C.$x ＜ \sqrt{x} ＜ x^{2} ＜ \frac{1}{x}$
D.$x^{2} ＜ x ＜ \sqrt{x} ＜ \frac{1}{x}$
D
).A.$x^{2} ＜ \sqrt{x} ＜ x ＜ \frac{1}{x}$
B.$\frac{1}{x} ＜ x ＜ \sqrt{x} ＜ x^{2}$
C.$x ＜ \sqrt{x} ＜ x^{2} ＜ \frac{1}{x}$
D.$x^{2} ＜ x ＜ \sqrt{x} ＜ \frac{1}{x}$
答案
12. D
解析
【解析】
可采用特殊值法求解，取$x=\frac{1}{4}$（满足$0＜x＜1$），则：
$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{x}=4$。
比较大小：$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜4$，即$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较；特殊值法
【点评】
当$0＜x＜1$时，底数在此区间的数，指数越大值越小，其倒数大于1；采用特殊值法能快速直观地比较出各数的大小，是解决此类问题的简便方法。
可采用特殊值法求解，取$x=\frac{1}{4}$（满足$0＜x＜1$），则：
$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{x}=4$。
比较大小：$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜4$，即$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较；特殊值法
【点评】
当$0＜x＜1$时，底数在此区间的数，指数越大值越小，其倒数大于1；采用特殊值法能快速直观地比较出各数的大小，是解决此类问题的简便方法。
二、填空题
13. 一个表面积为$294\ cm^{2}$的正方体木块，它的体积是
13. 一个表面积为$294\ cm^{2}$的正方体木块，它的体积是
343
$cm^{3}$.答案
13. 343
解析
【解析】
正方体有6个完全相同的面，先计算一个面的面积：$294÷6=49\ (cm^2)$。
因为$7×7=49$，所以正方体的棱长为$7\ cm$。
根据正方体体积公式$V=a^3$，可得体积为：$7×7×7=343\ (cm^3)$。
【答案】
343
【知识点】
正方体的表面积公式、正方体的体积公式
【点评】
本题考查正方体表面积与体积公式的综合应用，解题关键是通过表面积求出正方体的棱长，进而计算体积。
正方体有6个完全相同的面，先计算一个面的面积：$294÷6=49\ (cm^2)$。
因为$7×7=49$，所以正方体的棱长为$7\ cm$。
根据正方体体积公式$V=a^3$，可得体积为：$7×7×7=343\ (cm^3)$。
【答案】
343
【知识点】
正方体的表面积公式、正方体的体积公式
【点评】
本题考查正方体表面积与体积公式的综合应用，解题关键是通过表面积求出正方体的棱长，进而计算体积。
14. 与$\sqrt{80}$最接近的整数是
9
.答案
14. 9
解析
【解析】
先确定与80相邻的两个完全平方数：64和81，其中$\sqrt{64}=8$，$\sqrt{81}=9$。计算80与64的差为16，80与81的差为1，因为$1＜16$，所以80更接近81，因此与$\sqrt{80}$最接近的整数是9。
【答案】
9
【知识点】
无理数的估算
【点评】
本题考查无理数的估算，通过比较被开方数与相邻完全平方数的距离，可快速确定与无理数最接近的整数。
先确定与80相邻的两个完全平方数：64和81，其中$\sqrt{64}=8$，$\sqrt{81}=9$。计算80与64的差为16，80与81的差为1，因为$1＜16$，所以80更接近81，因此与$\sqrt{80}$最接近的整数是9。
【答案】
9
【知识点】
无理数的估算
【点评】
本题考查无理数的估算，通过比较被开方数与相邻完全平方数的距离，可快速确定与无理数最接近的整数。
15. 在实数$3.14\dot{6}$，$-\frac{17}{5}$，$0.14$，$5.212\ 212\ 221$，$-\sqrt[3]{0.064}$，$2π$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{0.25}$，$\sqrt{0.4}$中，无理数有
3
个，有理数有6
个.答案
15. 3 6
解析
【解析】
先逐个判断各数类型：
1. $3.14\dot{6}$是循环小数，属于有理数；
2. $-\frac{17}{5}=-3.4$，是分数，属于有理数；
3. $0.14$是有限小数，属于有理数；
4. $5.212212221$是有限小数，属于有理数；
5. $-\sqrt[3]{0.064}=-0.4$，是有限小数，属于有理数；
6. $2π$，因$π$是无理数，故$2π$是无理数；
7. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数；
8. $\sqrt{0.25}=0.5$，是有限小数，属于有理数；
9. $\sqrt{0.4}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，是开方开不尽的数，属于无理数。
综上，无理数有$2π$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{0.4}$，共3个；有理数有6个。
【答案】
3 6
【知识点】
无理数的定义，有理数的定义
【点评】
本题考查有理数与无理数的区分，需牢记无理数的三种常见形式：开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数，准确判断每个数的类型是解题关键。
先逐个判断各数类型：
1. $3.14\dot{6}$是循环小数，属于有理数；
2. $-\frac{17}{5}=-3.4$，是分数，属于有理数；
3. $0.14$是有限小数，属于有理数；
4. $5.212212221$是有限小数，属于有理数；
5. $-\sqrt[3]{0.064}=-0.4$，是有限小数，属于有理数；
6. $2π$，因$π$是无理数，故$2π$是无理数；
7. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数；
8. $\sqrt{0.25}=0.5$，是有限小数，属于有理数；
9. $\sqrt{0.4}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，是开方开不尽的数，属于无理数。
综上，无理数有$2π$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{0.4}$，共3个；有理数有6个。
【答案】
3 6
【知识点】
无理数的定义，有理数的定义
【点评】
本题考查有理数与无理数的区分，需牢记无理数的三种常见形式：开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数，准确判断每个数的类型是解题关键。
16. 已知$\sqrt{3}\approx 1.732$，$\sqrt{30}\approx 5.477$，则$\sqrt{0.3}\approx$
0.5477
.答案
16. 0.5477
解析
【解析】
根据二次根式的性质，$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{30}{100}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}$，因为$\sqrt{100}=10$，已知$\sqrt{30}\approx5.477$，所以$\frac{5.477}{10}=0.5477$，即$\sqrt{0.3}\approx0.5477$。
【答案】
0.5477
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式性质的应用，解题关键是将待求的二次根式转化为已知的二次根式形式，再结合已知数据计算结果。
根据二次根式的性质，$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{30}{100}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}$，因为$\sqrt{100}=10$，已知$\sqrt{30}\approx5.477$，所以$\frac{5.477}{10}=0.5477$，即$\sqrt{0.3}\approx0.5477$。
【答案】
0.5477
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式性质的应用，解题关键是将待求的二次根式转化为已知的二次根式形式，再结合已知数据计算结果。
17. 若 9 的一个平方根是$a$，$b$的绝对值是 4，则$a + b =$
$\pm 1$ 或 $\pm 7$
.答案
17. $\pm 1$ 或 $\pm 7$
解析
【解析】
因为9的平方根是±3，所以$a = 3$或$a = -3$；
因为$|b| = 4$，所以$b = 4$或$b = -4$。
分情况计算：
①当$a = 3$，$b = 4$时，$a + b = 3 + 4 = 7$；
②当$a = 3$，$b = -4$时，$a + b = 3 + (-4) = -1$；
③当$a = -3$，$b = 4$时，$a + b = -3 + 4 = 1$；
④当$a = -3$，$b = -4$时，$a + b = -3 + (-4) = -7$。
综上，$a + b = \pm 1$或$\pm 7$。
【答案】
$\pm 1$ 或 $\pm 7$
【知识点】
平方根的定义、绝对值的性质、有理数加法
【点评】
本题考查平方根与绝对值的基本概念，需通过分情况讨论计算结果，注意全面考虑所有可能的取值，避免漏解。
因为9的平方根是±3，所以$a = 3$或$a = -3$；
因为$|b| = 4$，所以$b = 4$或$b = -4$。
分情况计算：
①当$a = 3$，$b = 4$时，$a + b = 3 + 4 = 7$；
②当$a = 3$，$b = -4$时，$a + b = 3 + (-4) = -1$；
③当$a = -3$，$b = 4$时，$a + b = -3 + 4 = 1$；
④当$a = -3$，$b = -4$时，$a + b = -3 + (-4) = -7$。
综上，$a + b = \pm 1$或$\pm 7$。
【答案】
$\pm 1$ 或 $\pm 7$
【知识点】
平方根的定义、绝对值的性质、有理数加法
【点评】
本题考查平方根与绝对值的基本概念，需通过分情况讨论计算结果，注意全面考虑所有可能的取值，避免漏解。
18. 已知实数$x$的两个平方根分别为$2a + 1$和$3 - 4a$，实数$y$的立方根为$-a$，则$\sqrt{x + 2y}$的值为
3
.答案
18. 3
解析
【解析】
因为实数$x$的两个平方根互为相反数，所以$(2a + 1) + (3 - 4a) = 0$，
化简得：$-2a + 4 = 0$，解得$a = 2$。
则$2a + 1 = 5$，因此$x = 5^2 = 25$。
又因为实数$y$的立方根为$-a = -2$，所以$y = (-2)^3 = -8$。
将$x = 25$，$y = -8$代入$\sqrt{x + 2y}$，得：
$\sqrt{25 + 2×(-8)} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
平方根的性质、立方根的定义、算术平方根运算
【点评】
本题考查平方根、立方根及算术平方根的相关概念与运算，需利用平方根互为相反数的性质求出参数$a$，再结合立方根定义求出$x$、$y$，最后代入计算，属于基础概念应用题型，注重对核心定义的理解与运用。
因为实数$x$的两个平方根互为相反数，所以$(2a + 1) + (3 - 4a) = 0$，
化简得：$-2a + 4 = 0$，解得$a = 2$。
则$2a + 1 = 5$，因此$x = 5^2 = 25$。
又因为实数$y$的立方根为$-a = -2$，所以$y = (-2)^3 = -8$。
将$x = 25$，$y = -8$代入$\sqrt{x + 2y}$，得：
$\sqrt{25 + 2×(-8)} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
平方根的性质、立方根的定义、算术平方根运算
【点评】
本题考查平方根、立方根及算术平方根的相关概念与运算，需利用平方根互为相反数的性质求出参数$a$，再结合立方根定义求出$x$、$y$，最后代入计算，属于基础概念应用题型，注重对核心定义的理解与运用。
三、解答题
19. 计算.
（1）$3(\sqrt{2}+\sqrt{3})+2(\sqrt{2}-2\sqrt{3})$.
（2）$\sqrt{2\frac{1}{4}}-\sqrt{(-2)^{4}}+\sqrt[3]{1-\frac{19}{27}}-(-1)^{99}$.
19. 计算.
（1）$3(\sqrt{2}+\sqrt{3})+2(\sqrt{2}-2\sqrt{3})$.
（2）$\sqrt{2\frac{1}{4}}-\sqrt{(-2)^{4}}+\sqrt[3]{1-\frac{19}{27}}-(-1)^{99}$.
答案
19. (1) $5\sqrt{2}-\sqrt{3}$ (2) $-\frac{5}{6}$
解析
【解析】
（1）利用乘法分配律去括号，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&3(\sqrt{2}+\sqrt{3})+2(\sqrt{2}-2\sqrt{3})\\=&3\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2\sqrt{2}-4\sqrt{3}\\=&(3\sqrt{2}+2\sqrt{2})+(3\sqrt{3}-4\sqrt{3})\\=&5\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
（2）先分别化简各项，再按运算顺序计算：
$\begin{aligned}&\sqrt{2\frac{1}{4}}-\sqrt{(-2)^{4}}+\sqrt[3]{1-\frac{19}{27}}-(-1)^{99}\\=&\sqrt{\frac{9}{4}}-\sqrt{16}+\sqrt[3]{\frac{8}{27}}-(-1)\\=&\frac{3}{2}-4+\frac{2}{3}+1\\=&\frac{13}{6}-3\\=&-\frac{5}{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\sqrt{2}-\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{5}{6}}$
【知识点】
二次根式的运算、立方根的计算、实数混合运算
【点评】
本题考查实数的混合运算，需严格遵循运算顺序，先算乘方、开方，再算加减；化简根式时要准确转化形式，合并同类二次根式需认准同类项，避免计算错误。
（1）利用乘法分配律去括号，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&3(\sqrt{2}+\sqrt{3})+2(\sqrt{2}-2\sqrt{3})\\=&3\sqrt{2}+3\sqrt{3}+2\sqrt{2}-4\sqrt{3}\\=&(3\sqrt{2}+2\sqrt{2})+(3\sqrt{3}-4\sqrt{3})\\=&5\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
（2）先分别化简各项，再按运算顺序计算：
$\begin{aligned}&\sqrt{2\frac{1}{4}}-\sqrt{(-2)^{4}}+\sqrt[3]{1-\frac{19}{27}}-(-1)^{99}\\=&\sqrt{\frac{9}{4}}-\sqrt{16}+\sqrt[3]{\frac{8}{27}}-(-1)\\=&\frac{3}{2}-4+\frac{2}{3}+1\\=&\frac{13}{6}-3\\=&-\frac{5}{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\sqrt{2}-\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{5}{6}}$
【知识点】
二次根式的运算、立方根的计算、实数混合运算
【点评】
本题考查实数的混合运算，需严格遵循运算顺序，先算乘方、开方，再算加减；化简根式时要准确转化形式，合并同类二次根式需认准同类项，避免计算错误。
