2. 判定下列函数(x、t是自变量)是不是二次函数:
(1)$y=-2x^{2}+x^{3}-1$; (2)$y=2-\frac{1}{2}x^{2}$; (3)$y=5^{2}+2x$;
(4)$s=(t-1)^{2}$; (5)$y=x(x+1)$.
(1)$y=-2x^{2}+x^{3}-1$; (2)$y=2-\frac{1}{2}x^{2}$; (3)$y=5^{2}+2x$;
(4)$s=(t-1)^{2}$; (5)$y=x(x+1)$.
答案
解：
(1) $y=-2x^{2}+x^{3}-1$中自变量$x$的最高次数是3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
(2) $y=2-\frac{1}{2}x^{2}$可整理为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+0x+2$，其中$a=-\frac{1}{2}≠0$，自变量最高次数为2，符合二次函数的定义，是二次函数；
(3) $y=5^{2}+2x$即$y=2x+25$，自变量$x$的最高次数是1，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
(4) $s=(t-1)^{2}$展开得$s=t^{2}-2t+1$，其中$a=1≠0$，自变量$t$的最高次数为2，符合二次函数的定义，是二次函数；
(5) $y=x(x+1)$展开得$y=x^{2}+x$，其中$a=1≠0$，自变量$x$的最高次数为2，符合二次函数的定义，是二次函数。
结论：(2)(4)(5)是二次函数，(1)(3)不是二次函数。
(1) $y=-2x^{2}+x^{3}-1$中自变量$x$的最高次数是3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
(2) $y=2-\frac{1}{2}x^{2}$可整理为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+0x+2$，其中$a=-\frac{1}{2}≠0$，自变量最高次数为2，符合二次函数的定义，是二次函数；
(3) $y=5^{2}+2x$即$y=2x+25$，自变量$x$的最高次数是1，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
(4) $s=(t-1)^{2}$展开得$s=t^{2}-2t+1$，其中$a=1≠0$，自变量$t$的最高次数为2，符合二次函数的定义，是二次函数；
(5) $y=x(x+1)$展开得$y=x^{2}+x$，其中$a=1≠0$，自变量$x$的最高次数为2，符合二次函数的定义，是二次函数。
结论：(2)(4)(5)是二次函数，(1)(3)不是二次函数。
3. 一块石头从150m高的悬崖上下落,石头距水面的高度$h(\mathrm{m})$与时间$t(\mathrm{s})$大致有如下关系:$h=150-5t^{2}$,请填写下表:
答案
解：
当$ t=0 $时，$ h=150-5×0^2=150 $；
当$ t=1 $时，$ h=150-5×1^2=145 $；
当$ t=2 $时，$ h=150-5×2^2=130 $；
当$ t=3 $时，$ h=150-5×3^2=105 $；
当$ t=4 $时，$ h=150-5×4^2=70 $；
当$ t=5 $时，$ h=150-5×5^2=25 $；
填表结果：
| 时间$ t/\mathrm{s} $ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 石头距水面的高度$ h/\mathrm{m} $ | 150 | 145 | 130 | 105 | 70 | 25 |
当$ t=0 $时，$ h=150-5×0^2=150 $；
当$ t=1 $时，$ h=150-5×1^2=145 $；
当$ t=2 $时，$ h=150-5×2^2=130 $；
当$ t=3 $时，$ h=150-5×3^2=105 $；
当$ t=4 $时，$ h=150-5×4^2=70 $；
当$ t=5 $时，$ h=150-5×5^2=25 $；
填表结果：
| 时间$ t/\mathrm{s} $ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 石头距水面的高度$ h/\mathrm{m} $ | 150 | 145 | 130 | 105 | 70 | 25 |
4. 从边长为20 cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x cm的小正方形铁片,写出剩下的铁片面积$y(\mathrm{cm}^{2})$与边长$x(\mathrm{cm})$之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
答案
解：
由题意得，大正方形的面积为$20^2 = 400(\mathrm{cm}^2)$，小正方形的面积为$x^2(\mathrm{cm}^2)$，
则剩下的铁片面积$y = 400 - x^2$，即$y = -x^2 + 400$。
自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 20$。
答：剩下的铁片面积与边长之间的函数表达式为$y = -x^2 + 400$，自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 20$。
由题意得，大正方形的面积为$20^2 = 400(\mathrm{cm}^2)$，小正方形的面积为$x^2(\mathrm{cm}^2)$，
则剩下的铁片面积$y = 400 - x^2$，即$y = -x^2 + 400$。
自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 20$。
答：剩下的铁片面积与边长之间的函数表达式为$y = -x^2 + 400$，自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 20$。
5. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm.
(1) 当一条直角边长为4 cm时,求这个直角三角形的面积;
(2) 设这个直角三角形的面积为$S\ \mathrm{cm}^{2}$,其中一条直角边长为x cm,写出S与x之间的函数表达式.
(1) 当一条直角边长为4 cm时,求这个直角三角形的面积;
(2) 设这个直角三角形的面积为$S\ \mathrm{cm}^{2}$,其中一条直角边长为x cm,写出S与x之间的函数表达式.
答案
解：
(1) 当一条直角边长为4 cm时，另一条直角边长为$10 - 4 = 6(\mathrm{cm})$，
则这个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×4×6 = 12(\mathrm{cm}^{2})$。
答：这个直角三角形的面积为12 cm²。
(2) 由题意，另一条直角边长为$(10 - x)\mathrm{cm}$，
则$S = \frac{1}{2}x(10 - x)$，
整理得$S = -\frac{1}{2}x^{2} + 5x$（$0 ＜ x ＜ 10$）。
(1) 当一条直角边长为4 cm时，另一条直角边长为$10 - 4 = 6(\mathrm{cm})$，
则这个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×4×6 = 12(\mathrm{cm}^{2})$。
答：这个直角三角形的面积为12 cm²。
(2) 由题意，另一条直角边长为$(10 - x)\mathrm{cm}$，
则$S = \frac{1}{2}x(10 - x)$，
整理得$S = -\frac{1}{2}x^{2} + 5x$（$0 ＜ x ＜ 10$）。
6. 已知长方体的高是6 cm,底面是边长为x cm的正方形,它的表面积是$S\ \mathrm{cm}^{2}$,体积是$V\ \mathrm{cm}^{3}$.
(1) 分别写出S与x、V与x之间的函数表达式;
(2) (1)中的两个函数是关于x的二次函数吗?
(1) 分别写出S与x、V与x之间的函数表达式;
(2) (1)中的两个函数是关于x的二次函数吗?
答案
解：
(1) $S = 2x^2 + 4× 6x = 2x^2 + 24x$（$x＞0$）；
$V = 6x^2$（$x＞0$）。
(2) 根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）的函数是二次函数。
对于$S=2x^2+24x$，其中$a=2≠0$，是关于$x$的二次函数；
对于$V=6x^2$，其中$a=6≠0$，是关于$x$的二次函数。
答：(1) $S$与$x$的函数表达式为$S=2x^2+24x$（$x＞0$），$V$与$x$的函数表达式为$V=6x^2$（$x＞0$）；(2) 两个函数都是关于$x$的二次函数。
(1) $S = 2x^2 + 4× 6x = 2x^2 + 24x$（$x＞0$）；
$V = 6x^2$（$x＞0$）。
(2) 根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）的函数是二次函数。
对于$S=2x^2+24x$，其中$a=2≠0$，是关于$x$的二次函数；
对于$V=6x^2$，其中$a=6≠0$，是关于$x$的二次函数。
答：(1) $S$与$x$的函数表达式为$S=2x^2+24x$（$x＞0$），$V$与$x$的函数表达式为$V=6x^2$（$x＞0$）；(2) 两个函数都是关于$x$的二次函数。
