总长度为20 m的栅栏一面靠墙,围成一个矩形的花圃(图5-1).如果花圃的宽是x m,花圃的面积是$y\ \mathrm{m}^{2}$,写出y与x之间的函数表达式,并推测x取何值时,花圃的面积最大.

解：
由题意得，矩形花圃的长为$(20 - 2x)\ \mathrm{m}$，
则$y = x(20 - 2x)$，
整理得：$y = -2x^2 + 20x$（$0 ＜ x ＜ 10$）。
对于二次函数$y = -2x^2 + 20x$，$a = -2 ＜ 0$，函数图象开口向下，
当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2×(-2)} = 5$时，$y$取得最大值。
答：$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y = -2x^2 + 20x\ (0 ＜ x ＜ 10)}$；当$\boldsymbol{x = 5}$时，花圃的面积最大。

例1 某工厂第一年的利润为20万元,第三年的利润为y万元,年平均增长率为x,写出y与x之间的函数表达式.
分析 因为该工厂第一年的利润为20万元,年平均增长率为x,所以第二年的利润为$20(1+x)$万元,第三年的利润为$20(1+x)^{2}$万元.
解 y与x之间的函数表达式是$y=20(1+x)^{2}$.

解：
第二年的利润为$20(1+x)$万元，
第三年的利润为$20(1+x)^2$万元，
y与x之间的函数表达式是$y=20(1+x)^2$。

例2 已知一条隧道的截面如图5-2所示,它的上部是一个半圆,下部是一个矩形,且矩形的一条边长为2.5 m.
(1)写出隧道截面的面积$y(\mathrm{m}^{2})$与截面上部半圆的半径$x(\mathrm{m})$之间的函数表达式;
(2)当隧道截面上部半圆的半径为2 m时,隧道截面的面积约是多少(精确到$0.1\ \mathrm{m}^{2}$)?
分析 隧道截面上部的半圆面积是$\frac{1}{2}π x^{2}\ \mathrm{m}^{2}$,下部的矩形面积是$(2.5×2x)\mathrm{m}^{2}$,即$5x\ \mathrm{m}^{2}$.隧道截面的面积等于这两部分面积的和.

解 (1) y与x之间的函数表达式是$y=\frac{1}{2}π x^{2}+5x$;
(2)当$x=2$时,$y=\frac{1}{2}π×2^{2}+5×2=2π+10≈16.3(\mathrm{m}^{2})$.
所以当隧道截面上部半圆的半径为2 m时,隧道截面的面积约是$16.3\ \mathrm{m}^{2}$.

解：
(1) 上部半圆的面积为$\frac{1}{2}π x^2\ \mathrm{m}^2$，下部矩形的面积为$2.5×2x=5x\ \mathrm{m}^2$，
则隧道截面的面积$y$与半圆半径$x$的函数表达式为：
$y=\frac{1}{2}π x^2+5x$
(2) 当$x=2$时，
$y=\frac{1}{2}π×2^2+5×2$
$=2π+10$
$\approx2×3.14+10$
$\approx16.3(\mathrm{m}^2)$
答：(1) 函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}π x^2+5x}$；
(2) 当隧道截面上部半圆的半径为2 m时，隧道截面的面积约是$\boldsymbol{16.3\ \mathrm{m}^2}$。

(1) 若$y=(a+3)x^{2}-2x-3$是关于x的二次函数,则a满足的条件是;

解：
根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，
则 $a+3 ≠ 0$，
解得 $a ≠ -3$。
答：$a ≠ -3$。

(2) 若关于x的二次函数$y=(m-1)x^{2}+2x+m^{2}-3$的图像经过点$(1,0)$,则m的值为.

解：
因为二次函数$y=(m-1)x^{2}+2x+m^{2}-3$的图像经过点$(1,0)$，
将$x=1$，$y=0$代入解析式得：
$(m-1)×1^{2}+2×1+m^{2}-3=0$
化简得：$m^{2}+m-2=0$
因式分解得：$(m+2)(m-1)=0$
解得$m=-2$或$m=1$
又因为二次函数的二次项系数$m-1≠0$，即$m≠1$，
所以$m$的值为$-2$。