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一、选择题
1. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3:1,则这个正多边形是(
A.正方形
B.正六边形
C.正八边形
D.正十边形
1. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3:1,则这个正多边形是(
C
).A.正方形
B.正六边形
C.正八边形
D.正十边形
答案
1. C
解析
设这个正多边形的每个外角为$x$度，则每个内角为$3x$度。
因为多边形的一个内角与它相邻外角的和为$180°$，所以$x + 3x=180°$，解得$x = 45°$。
由于多边形外角和为$360°$，所以这个正多边形的边数为$360°÷45° = 8$。
C
因为多边形的一个内角与它相邻外角的和为$180°$，所以$x + 3x=180°$，解得$x = 45°$。
由于多边形外角和为$360°$，所以这个正多边形的边数为$360°÷45° = 8$。
C
2. 如图所示,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则下列说法正确的是(
A.α=β
B.α＜β
C.α＞β
D.无法比较α与β的大小
A
).A.α=β
B.α＜β
C.α＞β
D.无法比较α与β的大小
答案
2. A
解析
解：任意多边形的外角和都为$360°$。
$△ ABC$是三角形，其外角和$α = 360°$；
四边形$BCDE$是四边形，其外角和$β = 360°$。
因此，$α = β$。
A
$△ ABC$是三角形，其外角和$α = 360°$；
四边形$BCDE$是四边形，其外角和$β = 360°$。
因此，$α = β$。
A
3. 将正五边形与正方形按如图所示摆放,公共顶点为O.若顶点A，B，C，D在同一条直线上,则∠BOC的度数为(
A.15°
B.18°
C.28°
D.30°
B
).A.15°
B.18°
C.28°
D.30°
答案
3. B
解析
解：正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$540°÷5=108°$，故$∠ OBA=108°$。
正方形每个内角为$90°$，故$∠ OCD=90°$。
点$A,B,C,D$共线，$∠ OBC=180°-∠ OBA=180°-108°=72°$，$∠ OCB=180°-∠ OCD=180°-90°=90°$。
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-72°-90°=18°$。
答案：B
正方形每个内角为$90°$，故$∠ OCD=90°$。
点$A,B,C,D$共线，$∠ OBC=180°-∠ OBA=180°-108°=72°$，$∠ OCB=180°-∠ OCD=180°-90°=90°$。
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-72°-90°=18°$。
答案：B
二、填空题
4. 正n边形的内角和等于1080°,那么这个正n边形的边数为
4. 正n边形的内角和等于1080°,那么这个正n边形的边数为
8
.答案
4. 8
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆正n边形的内角和公式：正n边形的内角和为$(n-2)×180°$（其中n为边数，n≥3且n为整数）。题目已知内角和等于1080°，我们的解题思路是将已知的内角和代入公式，得到关于n的一元一次方程，然后通过解方程求出n的值，也就是正n边形的边数。
【解析】
根据正n边形内角和公式：内角和$=(n-2)×180°$
已知该正n边形内角和为1080°，代入公式可得方程：
$(n-2)×180°=1080°$
方程两边同时除以180°，得：
$n-2=6$
移项计算得：
$n=6+2=8$
【答案】
8
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和公式的基础应用题型，难度较低。解题的关键在于牢记多边形内角和公式，根据题目给出的内角和数值建立方程并求解，考查学生对基础公式的掌握程度和简单方程的求解能力。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆正n边形的内角和公式：正n边形的内角和为$(n-2)×180°$（其中n为边数，n≥3且n为整数）。题目已知内角和等于1080°，我们的解题思路是将已知的内角和代入公式，得到关于n的一元一次方程，然后通过解方程求出n的值，也就是正n边形的边数。
【解析】
根据正n边形内角和公式：内角和$=(n-2)×180°$
已知该正n边形内角和为1080°，代入公式可得方程：
$(n-2)×180°=1080°$
方程两边同时除以180°，得：
$n-2=6$
移项计算得：
$n=6+2=8$
【答案】
8
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和公式的基础应用题型，难度较低。解题的关键在于牢记多边形内角和公式，根据题目给出的内角和数值建立方程并求解，考查学生对基础公式的掌握程度和简单方程的求解能力。
【难度系数】
0.9
5. 如果正n边形的每一个外角都是45°,那么这个正n边形的边数为
8
.答案
5. 8
解析
因为多边形的外角和为$360^{\circ}$，正$n$边形的每一个外角都是$45^{\circ}$，所以$n = 360^{\circ} ÷ 45^{\circ} = 8$。
8
8
6. 一个多边形外角和是内角和的$\frac{2}{9}$,则这个多边形的边数为
11
.答案
6. 11
解析
设这个多边形的边数为$n$。
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意多边形外角和为$360°$。
由题意得：$360° = \frac{2}{9}×(n - 2)×180°$
化简得：$360 = \frac{2}{9}×180×(n - 2)$
$360 = 40×(n - 2)$
$n - 2 = 9$
$n = 11$
11
多边形内角和公式为$(n - 2)×180°$，任意多边形外角和为$360°$。
由题意得：$360° = \frac{2}{9}×(n - 2)×180°$
化简得：$360 = \frac{2}{9}×180×(n - 2)$
$360 = 40×(n - 2)$
$n - 2 = 9$
$n = 11$
11
三、解答题
7. 若一个多边形的边数等于对角线条数的一半,求这个多边形的边数.
7. 若一个多边形的边数等于对角线条数的一半,求这个多边形的边数.
答案
7. 7
解析
设这个多边形的边数为$n$。
多边形对角线条数公式为$\frac{n(n - 3)}{2}$。
由题意得：$n=\frac{1}{2}×\frac{n(n - 3)}{2}$
化简得：$n=\frac{n(n - 3)}{4}$
两边同乘$4$：$4n = n(n - 3)$
移项得：$n(n - 3)-4n=0$
即：$n(n - 7)=0$
解得$n=0$（舍去）或$n=7$
这个多边形的边数为$7$。
多边形对角线条数公式为$\frac{n(n - 3)}{2}$。
由题意得：$n=\frac{1}{2}×\frac{n(n - 3)}{2}$
化简得：$n=\frac{n(n - 3)}{4}$
两边同乘$4$：$4n = n(n - 3)$
移项得：$n(n - 3)-4n=0$
即：$n(n - 7)=0$
解得$n=0$（舍去）或$n=7$
这个多边形的边数为$7$。
