1. 已知$\triangle ABC\cong\triangle DEF$,$BC = EF = 6cm$,$\triangle ABC的面积为18cm^{2}$,则$EF$边上的高线长为____.

6cm

2. 如图,已知$D$,$E是\triangle ABC中AB$,$AC$边上的两点,$AB = AC$,请你再添加一个条件,使$\triangle ABE\cong\triangle ACD$：____.(只要写出一种即可)

$AE = AD$ 或 $BD = CE$ 或 $ \angle ABE = \angle ACD$ 等

3. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图(如图),若要说明$∠AOC = ∠BOC$,只需证明$\triangle NOC\cong\triangle MOC$,此时这两个三角形全等的依据是().
A. $SSS$
B. $ASA$
C. $AAS$
D. $SAS$

A

4. 如图,八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上. 根据图中标示的各点位置,下列三角形与$\triangle ACD$全等的是().
A. $\triangle ACF$
B. $\triangle ADE$
C. $\triangle ABC$
D. $\triangle BCF$

B

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BE$,$CF分别是AC$,$AB$边上的高线,$BE$,$CF相交于点O$. 求证：$OE = OF$.

解：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
因为$BE$，$CF$分别是$AC$，$AB$边上的高线，所以$\angle BFC=\angle CEB = 90^{\circ}$。
在$\triangle BFC$和$\triangle CEB$中：
$\begin{cases}\angle BFC=\angle CEB\\\angle FBC=\angle ECB\\BC = CB\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle BFC\cong\triangle CEB$。
所以$BF = CE$。
在$\triangle BOF$和$\triangle COE$中：
$\begin{cases}\angle BOF=\angle COE\\\angle BFO=\angle CEO\\BF = CE\end{cases}$
根据$AAS$可得$\triangle BOF\cong\triangle COE$。
所以$OE = OF$。

6. 如图甲,在$\triangle ABC$中,直线$ME垂直平分AB$,分别交$AB$,$BC于点E$,$M$；直线$NF垂直平分AC$,分别交$AC$,$BC于点F$,$N$.

(1)求证：$\triangle AMN的周长等于BC$的长.
(2)结合(1)的启发,解决下列问题：如图乙,在$∠AOB = 60^{\circ}内部有一点P$,且$OP = 4$,试在$OA$,$OB上确定两点M$,$N$,使$\triangle PMN$的周长最短,并求出最短周长.

(1) ∵ 直线 $ ME $ 为线段 $ AB $ 的垂直平分线，∴ $ MA = MB $．
又 ∵ 直线 $ NF $ 为线段 $ AC $ 的垂直平分线，∴ $ NA = NC $．
∴ $ \triangle AMN $ 的周长 $ = AM + MN + AN = BM + MN + NC = BC $．

(2) 如图，作点 $ P $ 关于 $ OA $，$ OB $ 的对称点 $ C $，$ D $，连接 $ OC $，$ OD $，则当 $ M $，$ N $ 是 $ CD $ 与 $ OA $，$ OB $ 的交点时，$ \triangle PMN $ 的周长最短，最短的值是 $ CD $ 的长．
∵ 点 $ P $，$ C $ 关于 $ OA $ 对称，∴ $ \angle COP = 2 \angle AOP $，$ OC = OP $．
同理 $ \angle DOP = 2 \angle BOP $，$ OP = OD $．
∴ $ \angle COD = \angle COP + \angle DOP = 2 ( \angle AOP + \angle BOP ) = 2 \angle AOB = 120 ^ { \circ } $，$ OC = OD $．
∵ $ OP = 4 $，∴ $ OC = OD = 4 $．∴ $ CD = 4 \sqrt { 3 } $．∴ $ \triangle PMN $ 的周长最短为 $ 4 \sqrt { 3 } $