6. 两个全等的梯形纸片按图（a）所示的方式重合摆放，将梯形纸片$ABCD$沿上底$AD$方向向右平移得到图（b）。已知$AD=4$，$BC=8$，若阴影部分的面积是四边形$A'B'CD$面积的$\frac{1}{3}$，求图（b）中的平移距离$A'A$。

设$ A ^ { \prime } A = x $，梯形高为$ h $，则根据平移的性质，得$ A ^ { \prime } D = 4 + x $，$ B ^ { \prime } C = 8 + x $，$ A D ^ { \prime } = 4 - x $，$ B C ^ { \prime } = 8 - x $，则梯形$ A ^ { \prime } B ^ { \prime } C D $的面积为$ \frac { ( 4 + x ) + ( 8 + x ) } { 2 } \cdot h $，阴影部分梯形的面积为$ \frac { ( 4 - x ) + ( 8 - x ) } { 2 } \cdot h $。由题意得$ \frac { 1 } { 3 } \cdot \frac { ( 4 + x ) + ( 8 + x ) } { 2 } \cdot h = \frac { ( 4 - x ) + ( 8 - x ) } { 2 } \cdot h $，解得$ x = 3 $，即平移距离$ A ^ { \prime } A = 3 $

1. 在下列生活、生产现象中:①把弯曲的公路改直,就能缩短路程;②用两颗钉子就可以把木条固定在墙上;③把粉笔看成一个点,当粉笔运动时就可以在黑板上画出一条线;④用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,会发现剩下的树叶周长小于原树叶的周长,可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是____(填序号)。

①④

2. 如图,已知点A,B,C,D,请用直尺和圆规按要求完成下列画图,并回答问题。

(1) 连结AB,延长AB到E,使BE=2AB。
(2) 分别画直线AC,射线AD。
(3) 在射线AD上找一点P,使PC+PB最小,画出点P,此画图的依据是____。

(1)(2)如图所示

(3)两点之间线段最短

3. 如图,A,E分别是△DBC的边BD,BC上的点,且AE⊥BC,∠1=∠2,求∠BCD的度数。

$ 90^{\circ} $

4. 要在一条河上架一座桥(桥通常与河岸垂直),使从A地到B地的路程最短。小聪、小明、小慧分别提供了一种设计方案,如图(a),则____的方案比较符合要求。

我们用“几何画板”来验证,如图(b):
① 画出直线j,并用“构造(C)”菜单中的“平行线(E)”功能,画直线k//j。
② 在直线k上取点C,过点C用“构造(C)”菜单中的“垂线(D)”功能作CD⊥j于点D,连结AC,DB。
③ 用“度量(M)”菜单中的“长度(L)”功能,分别测量出AC,CD,DB的长度,并用“数据(N)”菜单中的“计算(U)”功能,计算线段AC,CD,DB的长度和AC+CD+DB的值。
④ 拖动点C的位置,观察AC+CD+DB值的变化。
你的判断正确吗?

小明