1. 在同一平面直角坐标系中，直线 $ y = 4x + 1 $ 与直线 $ y = -x + b $ 的交点不可能在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1. D
解析
联立两直线方程：$\begin{cases}y = 4x + 1 \\ y = -x + b\end{cases}$
解得：$x = \frac{b - 1}{5}$，$y = \frac{4b + 1}{5}$
当$b ＞ 1$时，$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，交点在第一象限；
当$-\frac{1}{4} ＜ b ＜ 1$时，$x ＜ 0$，$y ＞ 0$，交点在第二象限；
当$b ＜ -\frac{1}{4}$时，$x ＜ 0$，$y ＜ 0$，交点在第三象限；
当$b = 1$时，$x = 0$，$y = 1$，交点在y轴；
当$b = -\frac{1}{4}$时，$x = -\frac{1}{4}$，$y = 0$，交点在x轴。
综上，交点不可能在第四象限。
D
解得：$x = \frac{b - 1}{5}$，$y = \frac{4b + 1}{5}$
当$b ＞ 1$时，$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，交点在第一象限；
当$-\frac{1}{4} ＜ b ＜ 1$时，$x ＜ 0$，$y ＞ 0$，交点在第二象限；
当$b ＜ -\frac{1}{4}$时，$x ＜ 0$，$y ＜ 0$，交点在第三象限；
当$b = 1$时，$x = 0$，$y = 1$，交点在y轴；
当$b = -\frac{1}{4}$时，$x = -\frac{1}{4}$，$y = 0$，交点在x轴。
综上，交点不可能在第四象限。
D
2. 方程 $ 2x - y = 2 $ 的解有
无数
组，用 $ x $ 表示 $ y $ 为y=2x-2
，此时 $ y $ 是 $ x $ 的一次
函数。答案
2. 无数 y=2x-2 一次
解析
无数；$y=2x-2$；一次
3. (2024·北京改编)在平面直角坐标系中，函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 与 $ y = -kx + 3 $ 的图象交于点 $ (2,1) $，则方程组 $ \begin{cases}kx - y = -b, \\ kx + y = 3\end{cases}$ 的解是 ______ 。
答案
3. $\begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases}$
4. 两条直线 $ y = 2x - 1 $ 和 $ y = 2x - 3 $ 的位置关系为 ______ 。由此可知，方程组 $ \begin{cases}2x - y = 1, \\ 2x - y = 3\end{cases}$ 的解的情况为 ______ 。
答案
4. 平行 无解
5. 在平面直角坐标系中，$ O $ 为坐标原点。若直线 $ y = x + 3 $ 分别与 $ x $ 轴、直线 $ y = -2x $ 交于点 $ A $，$ B $，则 $ \triangle AOB $ 的面积为
3
。答案
5. 3
解析
解：对于直线$y = x + 3$，令$y = 0$，则$x + 3 = 0$，解得$x=-3$，所以点$A$的坐标为$(-3,0)$，$OA=|-3|=3$。
联立$\begin{cases}y = x + 3 \\ y=-2x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1 \\ y=2\end{cases}$，所以点$B$的坐标为$(-1,2)$。
点$B$到$x$轴的距离为$2$，即$\triangle AOB$中$OA$边上的高为$2$。
$\triangle AOB$的面积为$\frac{1}{2}× OA× 2=\frac{1}{2}× 3× 2 = 3$。
3
联立$\begin{cases}y = x + 3 \\ y=-2x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1 \\ y=2\end{cases}$，所以点$B$的坐标为$(-1,2)$。
点$B$到$x$轴的距离为$2$，即$\triangle AOB$中$OA$边上的高为$2$。
$\triangle AOB$的面积为$\frac{1}{2}× OA× 2=\frac{1}{2}× 3× 2 = 3$。
3
6. 用图象法解下面的二元一次方程组：
（1）$ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = 0 \end{cases} $
（2）$ \begin{cases} x - 2y - 2 = 0, \\ 2x - 6y - 6 = 0 \end{cases} $
（1）$ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = 0 \end{cases} $
（2）$ \begin{cases} x - 2y - 2 = 0, \\ 2x - 6y - 6 = 0 \end{cases} $
答案
6. (1) 如图①，二元一次方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{4}{3}, \\ y = \frac{4}{3} \end{cases}$ (2) 如图②，二元一次方程组的解为$\begin{cases} x = 0, \\ y = -1 \end{cases}$
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = ax + a^2 $ 与 $ y = a^2x + a $ 的图象可能是(
A.
B.
C.
D.
D
)A.
B.
C.
D.
答案
7. D
解析
解：
1. 当 $a ＞ 0$ 时：
若 $a ＞ 1$，则 $a^2 ＞ a ＞ 0$，一次函数 $y = ax + a^2$ 与 $y = a^2x + a$ 的斜率均为正，且 $y = a^2x + a$ 斜率更大，截距 $a^2 ＞ a$，无符合选项。
若 $0 ＜ a ＜ 1$，则 $0 ＜ a^2 ＜ a$，两函数斜率均为正，$y = ax + a^2$ 斜率更大，截距 $a ＞ a^2$，无符合选项。
若 $a = 1$，两函数均为 $y = x + 1$，重合，不符合。
2. 当 $a ＜ 0$ 时：
$a^2 ＞ 0$，一次函数 $y = ax + a^2$ 斜率 $a ＜ 0$、截距 $a^2 ＞ 0$（过一、二、四象限）；$y = a^2x + a$ 斜率 $a^2 ＞ 0$、截距 $a ＜ 0$（过一、三、四象限）。
联立方程 $ax + a^2 = a^2x + a$，解得 $x = 1$，交点横坐标为 $1$，选项 D 符合。
D
1. 当 $a ＞ 0$ 时：
若 $a ＞ 1$，则 $a^2 ＞ a ＞ 0$，一次函数 $y = ax + a^2$ 与 $y = a^2x + a$ 的斜率均为正，且 $y = a^2x + a$ 斜率更大，截距 $a^2 ＞ a$，无符合选项。
若 $0 ＜ a ＜ 1$，则 $0 ＜ a^2 ＜ a$，两函数斜率均为正，$y = ax + a^2$ 斜率更大，截距 $a ＞ a^2$，无符合选项。
若 $a = 1$，两函数均为 $y = x + 1$，重合，不符合。
2. 当 $a ＜ 0$ 时：
$a^2 ＞ 0$，一次函数 $y = ax + a^2$ 斜率 $a ＜ 0$、截距 $a^2 ＞ 0$（过一、二、四象限）；$y = a^2x + a$ 斜率 $a^2 ＞ 0$、截距 $a ＜ 0$（过一、三、四象限）。
联立方程 $ax + a^2 = a^2x + a$，解得 $x = 1$，交点横坐标为 $1$，选项 D 符合。
D
8. (2024·兴安盟)点 $ P(m,n) $ 在直线 $ y = -\frac{3}{4}x + 4 $ 上，且 $ \begin{cases}x = m, \\ y = n\end{cases}$ 是二元一次方程 $ 5x - 6y = 33 $ 的解，则点 $ P $ 的位置在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
8. D
解析
因为点$P(m,n)$在直线$y = -\frac{3}{4}x + 4$上，所以$n=-\frac{3}{4}m + 4$。
又因为$\begin{cases}x = m\\ y = n\end{cases}$是方程$5x - 6y = 33$的解，所以$5m-6n=33$。
将$n=-\frac{3}{4}m + 4$代入$5m-6n=33$，得：
$5m-6\left(-\frac{3}{4}m + 4\right)=33$
$5m+\frac{9}{2}m - 24=33$
$\frac{10}{2}m+\frac{9}{2}m=33 + 24$
$\frac{19}{2}m=57$
$m=57×\frac{2}{19}=6$
将$m = 6$代入$n=-\frac{3}{4}m + 4$，得$n=-\frac{3}{4}×6 + 4=-\frac{9}{2}+4=-\frac{1}{2}$
所以点$P$的坐标为$(6,-\frac{1}{2})$，在第四象限。
D
又因为$\begin{cases}x = m\\ y = n\end{cases}$是方程$5x - 6y = 33$的解，所以$5m-6n=33$。
将$n=-\frac{3}{4}m + 4$代入$5m-6n=33$，得：
$5m-6\left(-\frac{3}{4}m + 4\right)=33$
$5m+\frac{9}{2}m - 24=33$
$\frac{10}{2}m+\frac{9}{2}m=33 + 24$
$\frac{19}{2}m=57$
$m=57×\frac{2}{19}=6$
将$m = 6$代入$n=-\frac{3}{4}m + 4$，得$n=-\frac{3}{4}×6 + 4=-\frac{9}{2}+4=-\frac{1}{2}$
所以点$P$的坐标为$(6,-\frac{1}{2})$，在第四象限。
D
9. 已知三条直线 $ y = 2x - 3 $，$ y = kx - 2 $，$ y = -2x + 1 $ 相交于同一点，则 $ k $ 的值为
1
。答案
9. 1
解析
解：联立$\begin{cases}y = 2x - 3 \\ y = -2x + 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}$
将$(1,-1)$代入$y = kx - 2$，得$-1 = k×1 - 2$
解得$k = 1$
解得$\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}$
将$(1,-1)$代入$y = kx - 2$，得$-1 = k×1 - 2$
解得$k = 1$
10. (2024·滨州)如图，四边形 $ AOBC $ 四个顶点的坐标分别是 $ A(-1,3) $，$ O(0,0) $，$ B(3,-1) $，$ C(5,4) $，在该平面内找一点 $ P $，使它到四个顶点的距离之和 $ PA + PO + PB + PC $ 最小，则点 $ P $ 的坐标为
$(\frac{10}{9}, \frac{8}{9})$
。答案
10. $(\frac{10}{9}, \frac{8}{9})$ 解析：根据“两点之间线段最短”，得 PO+PC 的最小值就是线段 OC 的长，PA+PB 的最小值就是线段 AB 的长，
∴ 到四个顶点的距离之和 PA+PO+PB+PC 最小的点就是直线 AB,OC 的交点 P. 易得直线 OC 对应的函数表达式为 y=$\frac{4}{5}x$，直线 AB 对应的函数表达式为 y=-x+2，联立方程组，即可得点 P 的坐标为$(\frac{10}{9}, \frac{8}{9})$
∴ 到四个顶点的距离之和 PA+PO+PB+PC 最小的点就是直线 AB,OC 的交点 P. 易得直线 OC 对应的函数表达式为 y=$\frac{4}{5}x$，直线 AB 对应的函数表达式为 y=-x+2，联立方程组，即可得点 P 的坐标为$(\frac{10}{9}, \frac{8}{9})$
