7. (分类讨论思想)在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC所在的直线于点D，E，且DE=4，则AD+AE的长为(
A.6
B.10
C.6或14
D.6或10
C
)A.6
B.10
C.6或14
D.6或10
答案
7.C
解析
∵AB的垂直平分线交BC所在直线于D，
∴AD=BD。
∵AC的垂直平分线交BC所在直线于E，
∴AE=CE。
情况1：D、E在BC上且D在E左侧
∵BC=10，DE=4，
∴AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6。
情况2：D、E在BC上且D在E右侧
∵BC=10，DE=4，
∴AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14。
综上，AD+AE的长为6或14。
答案：C
8. (整体思想)如图，∠AOB内有一点P，分别作出点P关于OA，OB的对称点P₁，P₂，连接P₁P₂，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN。当P₁P₂=12cm时，△PMN的周长为
12
cm。答案
8.12
解析
解：
∵点P关于OA，OB的对称点分别为$P_1$，$P_2$，
∴$PM = P_1M$，$PN = P_2N$。
∵$P_1P_2 = 12\, cm$，
∴$\triangle PMN$的周长$= PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2 = 12\, cm$。
12
∵点P关于OA，OB的对称点分别为$P_1$，$P_2$，
∴$PM = P_1M$，$PN = P_2N$。
∵$P_1P_2 = 12\, cm$，
∴$\triangle PMN$的周长$= PM + MN + PN = P_1M + MN + P_2N = P_1P_2 = 12\, cm$。
12
9. 在△ABC中，∠A=90°，若BD是△ABC的角平分线，且ED是BC的垂直平分线，垂足为E，则∠ABD的度数为
30°
。答案
9.30° 解析:如图,
∵ED是BC的垂直平分线，
∴CE = BE，∠CED = ∠BED = 90°.在△CDE和△BDE中,
$\begin{cases} CE = BE, \\∠CED = ∠BED, \\DE = DE \end{cases}$
∴△CDE≌△BDE(SAS)，
∴∠C = ∠DBE.
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBE = ∠ABD，
∴∠C = ∠DBE = ∠ABD.
∵∠A = 90°，
∴∠C+∠DBE+∠ABD = 90°，
∴∠ABD = 30°.
10. （新情境·现实生活）为了推进农村新型合作医疗改革，某镇准备新建一个医疗点P，使点P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等（A村、B村、C村不在同一条直线上，地理位置如图所示）。请你用尺规作图的方法确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
10.如图，点P即为所求 解析:线段AB与线段AC的垂直平分线的交点P即为所求作的医疗点的位置.
11. 如图，D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，E为AD上一点，连接BE，CE。求证：BE=CE。
答案
11.
∵D是线段BC的中点，
∴BD = CD.根据画图过程，得
$\begin{cases} AB = AC, \\BD = CD, \\AD = AD \end{cases}$
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠ADB = ∠ADC = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴AD⊥BC，
∴直线AD是BC的垂直平分线.
∵点E在AD上，
∴BE = CE
∵D是线段BC的中点，
∴BD = CD.根据画图过程，得
$\begin{cases} AB = AC, \\BD = CD, \\AD = AD \end{cases}$
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠ADB = ∠ADC = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴AD⊥BC，
∴直线AD是BC的垂直平分线.
∵点E在AD上，
∴BE = CE
12. 如图，AB=CD，AC，BD的垂直平分线EM，EN相交于点E，连接BE，DE，BC。求证：∠ABE=∠CDE。
答案
12.如图，连接AE,CE.
∵AC,BD的垂直平分线EM,EN相交于点E，
∴AE = CE，BE = DE.在△ABE和△CDE中，
$\begin{cases} AB = CD, \\BE = DE, \\AE = CE \end{cases}$
∴△ABE≌△CDE(SSS)，
∴∠ABE = ∠CDE
