登录
关于 $ x $ 的方程 $ (a - 3)x^{|a - 1|} + x - 1 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ a $ 的值是____。
【点睛】要注意二次项系数 $ a - 3 \neq 0 $。
【点睛】要注意二次项系数 $ a - 3 \neq 0 $。
答案
-1
1. (2025 襄阳)下列方程一定是一元二次方程的是()
A. $ x^{2} - \frac{1}{x} = 0 $
B. $ x^{2} - 1 = 0 $
C. $ x(x + 1) = x^{2} - 2 $
D. $ x^{2} + x + y = 0 $
A. $ x^{2} - \frac{1}{x} = 0 $
B. $ x^{2} - 1 = 0 $
C. $ x(x + 1) = x^{2} - 2 $
D. $ x^{2} + x + y = 0 $
答案
B
2. (2025 南通)将一元二次方程 $ 3x^{2} + 1 = 6x $ 化为一般形式后,常数项为 1,则二次项系数和一次项系数分别为()
A. 3,-6
B. 3,6
C. 3,1
D. $ 3x^{2} $,-6x
A. 3,-6
B. 3,6
C. 3,1
D. $ 3x^{2} $,-6x
答案
A
3. (2025 大连)方程化为 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的形式后,其中 $ a = 2 $,$ b = - 3 $,$ c = 1 $ 的方程是()
A. $ 2x^{2} - 1 = 3x $
B. $ 2x^{2} + 1 = 3x $
C. $ 2x^{2} + 3x = 1 $
D. $ 2x^{2} + 3x = - 1 $
A. $ 2x^{2} - 1 = 3x $
B. $ 2x^{2} + 1 = 3x $
C. $ 2x^{2} + 3x = 1 $
D. $ 2x^{2} + 3x = - 1 $
答案
B
4. (教材 $ P_{3} $ 例题变式)将方程 $ (2x - 3)(3x + 1) = x $ 化为一般形式,并写出方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
答案
解：$6x^{2}-8x-3=0$；二次项系数、一次项系数、常数项分别是 6，-8，-3.
5. (2024 深圳中考改)若一元二次方程 $ x^{2} - 3x + a = 0 $ 的一个根为 $ x = - 1 $,则 $ a $ 的值为____。
答案
-4
6. (2024 南充中考改)已知 $ m $ 是方程 $ x^{2} + 3x - 1 = 0 $ 的一个根,则 $ (m + 4)(m - 1) $ 的值为____。
答案
-3
7. (2025 黄冈)已知 $ a $ 是方程 $ x^{2} - 2x - 3 = 0 $ 的一个根,求 $ 3a^{2} - 6a - 25 $ 的值。
答案
解：$\because a$是方程$x^{2}-2x-3=0$的一个根，$\therefore a^{2}-2a-3=0$，
$\therefore a^{2}-2a=3$，
$\therefore$原式$=3(a^{2}-2a)-25$
$=3×3-25$
$=-16$.
$\therefore a^{2}-2a=3$，
$\therefore$原式$=3(a^{2}-2a)-25$
$=3×3-25$
$=-16$.
8. (教材 $ P_{4} $ 习题 $ T_{2} $ 变式)根据下列问题,列出方程,并将其化为一般形式：
(1)用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 $ 64 cm^{2} $ 的长方形,求长方形的长 $ x $；
(2)一个直角三角形的斜边长为 10,两条直角边相差 2,求较长的直角边长 $ x $。
(1)用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 $ 64 cm^{2} $ 的长方形,求长方形的长 $ x $；
(2)一个直角三角形的斜边长为 10,两条直角边相差 2,求较长的直角边长 $ x $。
答案
解：(1)依题意，得$x(20-x)=64$，化为一般形式，得$x^{2}-20x+64=0$；
(2)依题意，得$x^{2}+(x-2)^{2}=10^{2}$，化为一般形式，得$2x^{2}-4x-96=0$.
(2)依题意，得$x^{2}+(x-2)^{2}=10^{2}$，化为一般形式，得$2x^{2}-4x-96=0$.
