1. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧，下列格点中，与点B的连线能够与该圆弧相切的是()

A.$(0,3)$
B.$(2,3)$
C.$(5,1)$
D.$(6,1)$

1. C

连接AB、BC，作AB、BC的垂直平分线交于点O(2,0)，则O为圆心，半径$r = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{5}$。
点B坐标为(3,2)，直线OB斜率$k_{OB} = \frac{2 - 0}{3 - 2} = 2$，切线斜率为$-\frac{1}{2}$，切线方程：$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 3)$，即$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$。
验证各选项：
(0,3)：$3 \neq -\frac{1}{2} × 0 + \frac{7}{2} = 3.5$
(2,3)：$3 \neq -\frac{1}{2} × 2 + \frac{7}{2} = 2.5$
(5,1)：$1 = -\frac{1}{2} × 5 + \frac{7}{2} = 1$
(6,1)：$1 \neq -\frac{1}{2} × 6 + \frac{7}{2} = 0.5$
C

2. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ }$，以BC为直径作$\odot O$，交斜边AB于点E，D为AC的中点，连接DO、DE.下列结论不一定正确的是()

A.$DO// AB$
B.$△ADE$是等腰三角形
C.$DE⊥AC$
D.DE是$\odot O$的切线

2. C

证明：
选项A：

∵D为AC中点，O为BC中点，

∴DO为△ABC中位线，

∴DO//AB，A正确。
选项B：
连接OE，CE。

∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，∠AEC=90°。

∵D为AC中点，
∴DE=AD=CD（直角三角形斜边中线性质），

∴△ADE是等腰三角形，B正确。
选项C：
假设DE⊥AC，则∠ADE=90°，
由DE=AD得∠A=45°，即△ABC为等腰直角三角形。
但题中未明确∠A=45°，故DE⊥AC不一定成立，C错误。
选项D：

∵DO//AB，
∴∠COD=∠B，∠DOE=∠OEB。

∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B，
∴∠COD=∠DOE。
又OC=OE，OD=OD，

∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OED=∠OCD=90°，

∴DE是⊙O切线，D正确。
结论：不一定正确的是C。
答案：C

3. 如图，A、B是$\odot O$上的两点，AC是过点A的一条直线.若$∠AOB=120^{\circ }$，则当$∠CAB=$$^{\circ }$时，AC才能成为$\odot O$的切线.

3. 60

证明：
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=(180°-120°)/2=30°．
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°．
∴∠CAB=∠OAC-∠OAB=90°-30°=60°．
60

4. 如图，在$△ABC$中，$∠ABC=90^{\circ },∠ACB$的平分线交边AB于点P，以点P为圆心，PB为半径作$\odot P$，则AC与$\odot P$的位置关系是.

4. 相切

证明：过点$P$作$PD \perp AC$于点$D$。
因为$CP$平分$\angle ACB$，$\angle ABC = 90°$，$PD \perp AC$，
所以$PB = PD$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又因为$\odot P$的半径为$PB$，
所以圆心$P$到$AC$的距离$PD$等于半径，
故$AC$与$\odot P$相切。
相切

5. (2024·淮安)如图，在$△ABC$中，$BA=BC$，以AB为直径作$\odot O$交AC于点D，过点D作$DE⊥BC$，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F.求证：DF为$\odot O$的切线.

5. 如图，连接OD、BD。
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC。
∵AB=CB，
∴AD=CD。
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD//BC，
∴∠ODE=∠DEC。
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，即DF⊥OD。
∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线

6. 如图，在$△ABC$中，$∠A=28^{\circ }$，以AB为直径的$\odot O$交AC于点D，$DE// CB$，连接BD.若添加一个条件，使BC是$\odot O$的切线，则下列四个条件不符合的是()

A.$DE⊥AB$
B.$∠EDB=28^{\circ }$
C.$∠ADE=∠ABD$
D.$OB=BC$

6. D

证明：要使BC是$\odot O$的切线，则需$\angle ABC=90°$。
$\because$AB是$\odot O$的直径，$\therefore\angle ADB=90°$，$\angle ABD+\angle A=90°$。
若$\angle ABC=90°$，则$\angle A+\angle C=90°$，$\therefore\angle C=\angle ABD$。
$\because DE// CB$，$\therefore\angle ADE=\angle C$，$\angle AED=\angle ABC$。
A. 若$DE\perp AB$，则$\angle AED=90°$，$\therefore\angle ABC=90°$，符合。
B. 若$\angle EDB=28°$，$\angle ADE+\angle EDB+\angle ADB=180°$，$\angle ADB=90°$，$\therefore\angle ADE=62°$。$\angle A=28°$，$\angle ADE+\angle A=90°$，$\angle AED=90°$，$\angle ABC=90°$，符合。
C. 若$\angle ADE=\angle ABD$，$\angle ADE=\angle C$，$\therefore\angle C=\angle ABD$。$\angle A+\angle ABD=90°$，$\angle A+\angle C=90°$，$\angle ABC=90°$，符合。
D. 若$OB=BC$，无法直接得出$\angle ABC=90°$，不符合。
答案：D