11. (★★)二次函数 $ y = (x + m)^2 + n $ 的图象如图,22.1 - 13 ,则一次函数 $ y = mx + n $ 的图象不经过【】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

A

观察二次函数$y = (x + m)^2 + n$的图象，因为抛物线的开口向上，
所以其顶点所在的位置为最低点，由图象可知顶点的位置在第四象限，
所以顶点的横坐标小于0（因为如果在y轴左侧则为正，右侧则为负，这里在右侧且开口向上，所以$-m＞0$，即$m＜0$），纵坐标也小于0（即$n＜0$），
由于一次函数为$y = mx + n$，其中已经得出$m＜0$，$n＜0$，
根据一次函数的性质，当斜率$m＜0$时，函数图象是一个从左上到右下的直线；
再根据截距$n＜0$，说明该直线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
由此可以判断出，该一次函数的图象会经过第二、三、四象限，不会经过第一象限。

12. (★★)已知点 $ A(4, y_1) $, $ B(\sqrt{2}, y_2) $, $ C(-2, y_3) $ 都在二次函数 $ y = (x - 2)^2 - 1 $ 的图象上,则 $ y_1 $, $ y_2 $, $ y_3 $ 的大小关系是.

$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$

二次函数$y=(x - 2)^2 - 1$的对称轴为直线$x=2$，开口向上。
点$A(4,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$|4 - 2|=2$；
点$B(\sqrt{2},y_2)$到对称轴$x=2$的距离为$|2 - \sqrt{2}| \approx 2 - 1.414 = 0.586$；
点$C(-2,y_3)$到对称轴$x=2$的距离为$| - 2 - 2|=4$。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，且$4 ＞ 2 ＞ 0.586$，所以$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$。

13. (★★)如图 22.1 - 14,点 $ A $, $ B $ 的坐标分别为 $ (1, 4) $ 和 $ (4, 4) $,抛物线 $ y = a(x - m)^2 + n $ 的顶点在线段 $ AB $ 上运动,与 $ x $ 轴交于 $ C $, $ D $ 两点( $ C $ 在 $ D $ 的左侧),点 $ C $ 横坐标的最小值为 $ -3 $,则点 $ D $ 横坐标的最大值为【】

A.$ -3 $
B.$ 1 $
C.$ 5 $
D.$ 8 $

D

1. 已知顶点在线段$AB$上，$A(1,4)$，$B(4,4)$，所以顶点的纵坐标$n = 4$，抛物线方程为$y=a(x - m)^{2}+4$。
2. 当顶点为$A(1,4)$时，此时抛物线对称轴为$x = 1$，点$C$横坐标最小为$-3$，设抛物线与$x$轴交点$C(x_1,0)$，$D(x_2,0)$，由抛物线对称性可知$\frac{x_1 + x_2}{2}=1$，把$x_1=-3$代入可得$\frac{-3 + x_2}{2}=1$，解得$x_2 = 5$，此时$D$点坐标为$(5,0)$，同时可得$a\lt0$，把$C(-3,0)$代入$y=a(x - 1)^{2}+4$，得$0=a(-3 - 1)^{2}+4$，即$16a+4 = 0$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
3. 当顶点为$B(4,4)$时，抛物线对称轴为$x = 4$，抛物线方程为$y=-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}+4$，令$y = 0$，则$-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}+4=0$，$(x - 4)^{2}=16$，$x - 4=\pm4$，解得$x_1=-0$（这里应该是$x = 0$或$x = 8$），$x_2 = 8$，$D$点横坐标最大为$8$。

14. (★★)音乐广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一座高为 1 米的喷泉喷出的水流是抛物线形,喷水最大高度为 3 米,此时喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为 $ \frac{1}{2} $ 米. 在如图 22.1 - 15 所示的平面直角坐标系中,这座喷泉满足的函数关系式是【】

A.$ y = -(x - \frac{1}{2})^2 + 3 $
B.$ y = 3(x - \frac{1}{2})^2 + 1 $

C.$ y = -8(x - \frac{1}{2})^2 + 3 $
D.$ y = -8(x + \frac{1}{2})^2 + 3 $

C

该题给出喷泉喷出的水流形成抛物线形，且已知抛物线的顶点坐标为 $(\frac{1}{2}, 3)$，并且喷泉底部的起点坐标为 $(0, 1)$。
设抛物线的方程为 $y = a(x - \frac{1}{2})^2 + 3$。
将点 $(0, 1)$ 代入方程，得到：
$1 = a(0 - \frac{1}{2})^2 + 3$，
$1 = a \cdot \frac{1}{4} + 3$，
$a \cdot \frac{1}{4} = 1 - 3$，
$a \cdot \frac{1}{4} = -2$，
$a = -8$。
所以，抛物线的方程为 $y = -8(x - \frac{1}{2})^2 + 3$。

15. (★★)(2022·玉林)小嘉说,将二次函数 $ y = x^2 $ 的图象平移或翻折后经过点 $ (2, 0) $ 有以下方法：
①向右平移 2 个单位长度；②向右平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度；③向下平移 4 个单位长度；④沿 $ x $ 轴翻折,再向上平移 4 个单位长度.
你认为小嘉说的方法正确的有【】
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

D

①向右平移2个单位长度：
原函数$y = x^{2}$向右平移2个单位长度后，得到新的函数$y = (x - 2)^{2}$。
将点$(2, 0)$代入新函数，得$y = (2 - 2)^{2} = 0$，满足条件。
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度：
原函数$y = x^{2}$向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到新的函数$y = (x - 1)^{2} - 1$。
将点$(2, 0)$代入新函数，得$y = (2 - 1)^{2} - 1 = 0$，满足条件。
③向下平移4个单位长度：
原函数$y = x^{2}$向下平移4个单位长度后，得到新的函数$y = x^{2} - 4$。
将点$(2, 0)$代入新函数，得$y = 2^{2} - 4 = 0$，满足条件。
④沿$x$轴翻折，再向上平移4个单位长度：
原函数$y = x^{2}$沿$x$轴翻折后，得到新的函数$y = -x^{2}$，再向上平移4个单位长度，得到$y = -x^{2} + 4$。
将点$(2, 0)$代入新函数，得$y = -2^{2} + 4 = 0$，满足条件。

16. (★★★)(2024·郑州模拟)如图,22.1 - 16,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ (0, 2) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (4, 2) $. 若抛物线 $ y = -\frac{3}{2}(x - h)^2 + k(h, k $ 为常数)与线段 $ AB $ 交于 $ C $, $ D $ 两点,且 $ CD = \frac{1}{2}AB $,则 $ k $ 的值为.

$\frac{7}{2}$

1. 已知点 $A(0, 2)$ 和点 $B(4, 2)$，线段 $AB$ 的长度为 $4$。
2. 抛物线 $y = -\frac{3}{2}(x - h)^2 + k$ 与线段 $AB$ 交于 $C$ 和 $D$ 两点，且 $CD = \frac{1}{2}AB = 2$。
3. 线段 $AB$ 的方程为 $y = 2$，代入抛物线方程，得 $2 = -\frac{3}{2}(x - h)^2 + k$。
4. 化简得 $(x - h)^2 = \frac{2(k - 2)}{3}$。
5. 设 $C$ 和 $D$ 的横坐标分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则 $x_1 = h - \sqrt{\frac{2(k - 2)}{3}}$，$x_2 = h + \sqrt{\frac{2(k - 2)}{3}}$。
6. $CD = |x_2 - x_1| = 2\sqrt{\frac{2(k - 2)}{3}} = 2$。
7. 解得 $\sqrt{\frac{2(k - 2)}{3}} = 1$，即 $\frac{2(k - 2)}{3} = 1$。
8. 解得 $2(k - 2) = 3$，即 $k - 2 = \frac{3}{2}$，$k = \frac{7}{2}$。