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1. (★)抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 与 $ y = ax^2 $ 的
形状
相同,位置
不同. (填“形状”或“位置”)答案
形状，位置
解析
抛物线$y=a(x-h)^2 + k$与$y=ax^2$的二次项系数均为$a$，二次项系数决定抛物线的形状，所以形状相同；$y=a(x-h)^2 + k$是由$y=ax^2$平移得到的，平移改变位置，所以位置不同。
2. (★)抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的顶点坐标是
$(h,k)$
,对称轴是直线$x=h$
.答案
$(h,k)$；$x=h$
解析
抛物线$y=a(x-h)^2 + k$是顶点式，其顶点坐标为$(h,k)$，对称轴是直线$x=h$。
3. (★)抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x + 1)^2 - 2 $ 的对称轴是直线【
A.$ x = 1 $
B.$ x = -1 $
C.$ x = 2 $
D.$ x = -2 $
B
】A.$ x = 1 $
B.$ x = -1 $
C.$ x = 2 $
D.$ x = -2 $
答案
B
解析
对于抛物线的一般顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$，其对称轴为直线 $x = h$。
在题目中，抛物线方程为 $y = -\frac{1}{4}(x + 1)^2 - 2$，可以改写为 $y = -\frac{1}{4}(x - (-1))^2 - 2$，因此对称轴为直线 $x = -1$。
在题目中，抛物线方程为 $y = -\frac{1}{4}(x + 1)^2 - 2$，可以改写为 $y = -\frac{1}{4}(x - (-1))^2 - 2$，因此对称轴为直线 $x = -1$。
4. (★)在平面直角坐标系中,将抛物线 $ y = x^2 - 4 $ 先向右平移 2 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,得到的抛物线解析式为【
A.$ y = (x + 2)^2 + 2 $
B.$ y = (x - 2)^2 - 2 $
C.$ y = (x - 2)^2 + 2 $
D.$ y = (x + 2)^2 - 2 $
B
】A.$ y = (x + 2)^2 + 2 $
B.$ y = (x - 2)^2 - 2 $
C.$ y = (x - 2)^2 + 2 $
D.$ y = (x + 2)^2 - 2 $
答案
B
解析
原抛物线为 $ y = x^2 - 4 $，顶点坐标为 $ (0, -4) $。向右平移 2 个单位长度，顶点横坐标变为 $ 0 + 2 = 2 $；再向上平移 2 个单位长度，顶点纵坐标变为 $ -4 + 2 = -2 $。平移后抛物线顶点坐标为 $ (2, -2) $，解析式为 $ y = (x - 2)^2 - 2 $。
5. (★)二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 2 $ 的最小值是【
A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $
C
】A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $
答案
C
解析
对于二次函数 $y = (x - 1)^2 + 2$，其形式为顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $a = 1 ＞ 0$，所以函数开口向上，顶点为 $(h, k) = (1, 2)$。因此，函数的最小值为顶点的纵坐标 $k = 2$。
6. (★)关于二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 5 $,下列说法正确的是【
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是 $ (-1, 5) $
C.该函数有最大值,最大值是 5
D.当 $ x ＞ 1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D
】A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是 $ (-1, 5) $
C.该函数有最大值,最大值是 5
D.当 $ x ＞ 1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
答案
D
解析
二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 5 $ 为顶点式，其开口方向由二次项系数决定，系数为正，开口向上；顶点坐标为 $ (1, 5) $；
由于开口向上，函数有最小值，无最大值，最小值是 5；当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大。
对比选项：
A. 错误，开口向上；
B. 错误，顶点坐标为 $ (1, 5) $；
C. 错误，函数有最小值；
D. 正确。
7. (★★)已知 $ m $ 是常数.
(1)如果抛物线 $ y = (m + 1)x^2 $ 的最高点是原点,那么 $ m $ 的取值范围是
(2)如果抛物线 $ y = x^2 + m + 1 $ 的顶点是原点,那么 $ m $ 的值是
(3)如果抛物线 $ y = (x + m)^2 + m + 1 $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $,那么它的顶点坐标是
(4)如果抛物线 $ y = m(x + 1)^2 + m + 1 $ 的顶点坐标是 $ (-1, -2) $,那么它的开口向
(1)如果抛物线 $ y = (m + 1)x^2 $ 的最高点是原点,那么 $ m $ 的取值范围是
$m ＜ -1$
；(2)如果抛物线 $ y = x^2 + m + 1 $ 的顶点是原点,那么 $ m $ 的值是
$-1$
；(3)如果抛物线 $ y = (x + m)^2 + m + 1 $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $,那么它的顶点坐标是
$(1,0)$
；(4)如果抛物线 $ y = m(x + 1)^2 + m + 1 $ 的顶点坐标是 $ (-1, -2) $,那么它的开口向
下
.答案
(1) $m ＜ -1$
(2) $-1$
(3) $(1,0)$
(4)下
(2) $-1$
(3) $(1,0)$
(4)下
解析
(1) 抛物线 $y = (m + 1)x^2$ 的最高点是原点，说明抛物线开口向下，因此 $m + 1 ＜ 0$，解得 $m ＜ -1$。
(2) 抛物线 $y = x^2 + m + 1$ 的顶点是原点，即当 $x = 0$ 时，$y = 0$。代入得 $0 = 0 + m + 1$，解得 $m = -1$。
(3) 抛物线 $y = (x + m)^2 + m + 1$ 的对称轴是直线 $x = 1$，由对称轴公式 $x = -m$ 得 $-m = 1$，解得 $m = -1$。代入原方程得 $y = (x - 1)^2 + 0$，因此顶点坐标为 $(1, 0)$。
(4) 抛物线 $y = m(x + 1)^2 + m + 1$ 的顶点坐标是 $(-1, -2)$，代入 $x = -1, y = -2$ 得 $-2 = m(0) + m + 1$，解得 $m = -3$。因为 $m ＜ 0$，所以开口向下。
(2) 抛物线 $y = x^2 + m + 1$ 的顶点是原点，即当 $x = 0$ 时，$y = 0$。代入得 $0 = 0 + m + 1$，解得 $m = -1$。
(3) 抛物线 $y = (x + m)^2 + m + 1$ 的对称轴是直线 $x = 1$，由对称轴公式 $x = -m$ 得 $-m = 1$，解得 $m = -1$。代入原方程得 $y = (x - 1)^2 + 0$，因此顶点坐标为 $(1, 0)$。
(4) 抛物线 $y = m(x + 1)^2 + m + 1$ 的顶点坐标是 $(-1, -2)$，代入 $x = -1, y = -2$ 得 $-2 = m(0) + m + 1$，解得 $m = -3$。因为 $m ＜ 0$，所以开口向下。
8. (★★)把抛物线 $ y = -x^2 $ 向左平移 1 个单位长度,然后向上平移 3 个单位长度,则平移后抛物线的表达式为【
A.$ y = -(x - 1)^2 + 3 $
B.$ y = -(x + 1)^2 + 3 $
C.$ y = -(x - 1)^2 - 3 $
D.$ y = -(x + 1)^2 - 3 $
B
】A.$ y = -(x - 1)^2 + 3 $
B.$ y = -(x + 1)^2 + 3 $
C.$ y = -(x - 1)^2 - 3 $
D.$ y = -(x + 1)^2 - 3 $
答案
B
解析
原抛物线为 $y = -x^2$。
向左平移 1 个单位长度，替换 $x$ 为 $x + 1$，得到 $y = -(x + 1)^2$。
再向上平移 3 个单位长度，在表达式后加 3，得到 $y = -(x + 1)^2 + 3$。
向左平移 1 个单位长度，替换 $x$ 为 $x + 1$，得到 $y = -(x + 1)^2$。
再向上平移 3 个单位长度，在表达式后加 3，得到 $y = -(x + 1)^2 + 3$。
9. (★)抛物线 $ y = 2(x + m)^2 + n(m, n $ 是常数)的顶点坐标是【
A.$ (m, n) $
B.$ (-m, n) $
C.$ (m, -n) $
D.$ (-m, -n) $
B
】A.$ (m, n) $
B.$ (-m, n) $
C.$ (m, -n) $
D.$ (-m, -n) $
答案
B
解析
抛物线$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$）的顶点坐标为$(h,k)$。对于抛物线$y=2(x+m)^2 + n$，可变形为$y=2[x - (-m)]^2 + n$，所以$h=-m$，$k=n$，顶点坐标是$(-m,n)$。
10. (★★)(2022·雅安)抛物线的函数表达式为 $ y = (x - 2)^2 - 9 $,则下列结论正确的为【
①当 $ x = 2 $ 时, $ y $ 取得最小值 $ -9 $；②若点 $ (3, y_1) $, $ (4, y_2) $ 在其图象上,则 $ y_2 ＞ y_1 $；③将其函数图象向左平移 3 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度所得抛物线的函数表达式为 $ y = (x - 5)^2 - 5 $；④函数图象与 $ x $ 轴有两个交点,且两个交点间的距离为 6.
A.②③④
B.①②④
C.①③
D.①②③④
B
】①当 $ x = 2 $ 时, $ y $ 取得最小值 $ -9 $；②若点 $ (3, y_1) $, $ (4, y_2) $ 在其图象上,则 $ y_2 ＞ y_1 $；③将其函数图象向左平移 3 个单位长度,再向上平移 4 个单位长度所得抛物线的函数表达式为 $ y = (x - 5)^2 - 5 $；④函数图象与 $ x $ 轴有两个交点,且两个交点间的距离为 6.
A.②③④
B.①②④
C.①③
D.①②③④
答案
B
解析
① 函数表达式 $y = (x - 2)^2 - 9$ 为顶点式，顶点坐标为 $(2, -9)$，开口向上，故 $x=2$ 时 $y$ 取得最小值 $-9$，正确。
② 点 $(3, y_1)$ 和 $(4, y_2)$ 在抛物线上，由抛物线对称性，离对称轴 $x=2$ 越远，$y$ 值越大，$4-2=2＞3-2=1$，故 $y_2 ＞ y_1$，正确。
③ 原抛物线向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，新表达式为 $y = (x+1)^2 - 5$，与给出的 $y = (x - 5)^2 - 5$ 不符，错误。
④ 令 $y=0$，得 $(x - 2)^2 - 9 = 0$，解得 $x_1 = 5, x_2 = -1$，交点间距离为 $5 - (-1) = 6$，正确。
综上，①②④正确。
② 点 $(3, y_1)$ 和 $(4, y_2)$ 在抛物线上，由抛物线对称性，离对称轴 $x=2$ 越远，$y$ 值越大，$4-2=2＞3-2=1$，故 $y_2 ＞ y_1$，正确。
③ 原抛物线向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，新表达式为 $y = (x+1)^2 - 5$，与给出的 $y = (x - 5)^2 - 5$ 不符，错误。
④ 令 $y=0$，得 $(x - 2)^2 - 9 = 0$，解得 $x_1 = 5, x_2 = -1$，交点间距离为 $5 - (-1) = 6$，正确。
综上，①②④正确。
