16. (★★) 如图 22.1 - 11,二次函数 $ y = (x + 2)^2 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $.
(1) 求点 $ A $,$ B $ 的坐标,并计算 $ \triangle AOB $ 的面积.
(2) 求抛物线的对称轴.
(3) 在对称轴上是否存在一点 $ P $,使以 $ P $,$ A $,$ O $,$ B $ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

(1) $ A(-2,0) $，$ B(0,4) $，面积4；(2) 直线$ x=-2 $；(3) 存在，$ P(-2,4) $或$ (-2,-4) $。

(1) 令$ y=0 $，则$ (x+2)^2=0 $，解得$ x=-2 $，∴$ A(-2,0) $；令$ x=0 $，则$ y=(0+2)^2=4 $，∴$ B(0,4) $。$ OA=2 $，$ OB=4 $，$ S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2} × OA × OB=\frac{1}{2} × 2 × 4=4 $。
(2) 抛物线$ y=(x+2)^2 $的对称轴为直线$ x=-2 $。
(3) 存在。设$ P(-2,p) $，$ A(-2,0) $，$ O(0,0) $，$ B(0,4) $。
若$ OA $与$ BP $为对角线，$ OA $中点$(-1,0)$，$ BP $中点$(-1,\frac{4+p}{2})$，则$\frac{4+p}{2}=0$，$ p=-4 $，$ P(-2,-4) $；
若$ AB $与$ OP $为对角线，$ AB $中点$(-1,2)$，$ OP $中点$(-1,\frac{p}{2})$，则$\frac{p}{2}=2$，$ p=4 $，$ P(-2,4) $。
综上，$ P(-2,4) $或$ (-2,-4) $。

17. (★★★) (2023·台湾) 平面坐标上有两个二次函数的图形,它们的顶点 $ P $,$ Q $ 都在 $ x $ 轴上,且有一水平线与两图形相交于 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 四点,各点位置如图 22.1 - 12 所示,若 $ AB = 10 $,$ BC = 5 $,$ CD = 6 $,则 $ PQ $ 的长度为【】

A.$ 7 $
B.$ 8 $
C.$ 9 $
D.$ 10 $

B

设水平线为$y=k(k＞0)$，顶点$P(p,0)$、$Q(q,0)$且$p＜q$。设两抛物线解析式为$y=a(x-p)^2$和$y=b(x-q)^2$，与$y=k$交于四点$A,B,C,D$（横坐标$x_A＜x_B＜x_C＜x_D$）。
由抛物线对称性，交点关于顶点对称。设$A,C$是第一个抛物线交点，则$AC=AB+BC=15$，中点$P$满足$x_C-x_P=x_P-x_A$，故$x_P=\frac{x_A+x_C}{2}$，$AC=2\sqrt{\frac{k}{a}}=15$。
$B,D$是第二个抛物线交点，$BD=BC+CD=11$，中点$Q$满足$x_D-x_Q=x_Q-x_B$，故$x_Q=\frac{x_B+x_D}{2}$，$BD=2\sqrt{\frac{k}{b}}=11$。
设$x_A=m$，则$x_B=m+10$，$x_C=m+15$，$x_D=m+21$。
可得$x_P=\frac{m+(m+15)}{2}=m+7.5$，$x_Q=\frac{(m+10)+(m+21)}{2}=m+15.5$。
$PQ= x_Q-x_P=(m+15.5)-(m+7.5)=8$。

18. (★★★) 已知二次函数 $ y = -(x - h)^2 $($ h $ 为常数),当 $ 2 \leq x \leq 5 $ 时,函数 $ y $ 的最大值为 $ -1 $,则 $ h $ 的值为.

$1$或$6$（或分别填 $1$ 和 $6$）

二次函数 $y = -(x - h)^2$ 的开口方向是向下，对称轴为 $x = h$，顶点坐标为 $(h, 0)$。
当 $h ＜ 2$ 时（即对称轴在区间 $2 \leq x \leq 5$ 的左侧）：
由于函数开口向下，函数在区间 $2 \leq x \leq 5$ 上是单调递减的。
因此，当 $x = 2$ 时，函数取得最大值，即 $y = -(2 - h)^2 = -1$。
解这个方程，得到 $h = 1$ 或 $h = 3$。
由于 $h ＜ 2$，所以 $h = 1$ 是符合条件的解，而 $h = 3$ 不符合条件，需要舍去。
当 $2 \leq h \leq 5$ 时（即对称轴在区间 $2 \leq x \leq 5$ 内）：
由于函数开口向下，函数在 $x = h$ 处取得最大值，即 $y = 0$。
但题目中给出的最大值为 $-1$，所以这种情况不符合条件，需要舍去。
当 $h ＞ 5$ 时（即对称轴在区间 $2 \leq x \leq 5$ 的右侧）：
由于函数开口向下，函数在区间 $2 \leq x \leq 5$ 上是单调递增的。
因此，当 $x = 5$ 时，函数取得最大值，即 $y = -(5 - h)^2 = -1$。
解这个方程，得到 $h = 4$ 或 $h = 6$。
由于 $h ＞ 5$，所以 $h = 6$ 是符合条件的解，而 $h = 4$ 不符合条件，需要舍去。
综上所述，$h$ 的值为 $1$ 或 $6$。