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2. 六鸡、七鸭共重 $24$ 千克,鸡重鸭轻,互换其中一只恰好一样重。问：每只鸡、鸭平均重多少千克？设每只鸡平均重 $x\ kg$,每只鸭平均重 $y\ kg$,根据题意可列出方程组为(
A.$\begin{cases}6x + 7y = 24,\\5x + y = 6y + x\end{cases} $
B.$\begin{cases}7x + 6y = 24,\\5x - y = 6y - x\end{cases} $
C.$\begin{cases}6x + y = 24,\\6x - y = 7y - x\end{cases} $
D.$\begin{cases}6x + 7y = 24,\\6x + y = 7y + x\end{cases} $
A
)。A.$\begin{cases}6x + 7y = 24,\\5x + y = 6y + x\end{cases} $
B.$\begin{cases}7x + 6y = 24,\\5x - y = 6y - x\end{cases} $
C.$\begin{cases}6x + y = 24,\\6x - y = 7y - x\end{cases} $
D.$\begin{cases}6x + 7y = 24,\\6x + y = 7y + x\end{cases} $
答案
A
解析
设每只鸡平均重$x\ kg$，每只鸭平均重$y\ kg$。
因为六鸡、七鸭共重24千克，所以$6x + 7y = 24$。
互换其中一只后，左边变为五只鸡和一只鸭，重量为$5x + y$；右边变为六只鸭和一只鸡，重量为$6y + x$，此时恰好一样重，所以$5x + y = 6y + x$。
综上，可列出方程组为$\begin{cases}6x + 7y = 24\\5x + y = 6y + x\end{cases}$，答案选A。
因为六鸡、七鸭共重24千克，所以$6x + 7y = 24$。
互换其中一只后，左边变为五只鸡和一只鸭，重量为$5x + y$；右边变为六只鸭和一只鸡，重量为$6y + x$，此时恰好一样重，所以$5x + y = 6y + x$。
综上，可列出方程组为$\begin{cases}6x + 7y = 24\\5x + y = 6y + x\end{cases}$，答案选A。
3. 已知方程组 $\begin{cases}ax + by = 4,\\bx + ay = 5\end{cases} $ 解是 $\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases} $ 则 $(a - b)^{2025}=$
−1
。答案
−1
解析
将$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax + by = 4\\bx + ay = 5\end{cases}$，得：
$\begin{cases}2a + b = 4 \\2b + a = 5\end{cases}$
由第一个方程得$b = 4 - 2a$，代入第二个方程：
$2(4 - 2a) + a = 5$
$8 - 4a + a = 5$
$-3a = -3$
$a = 1$，则$b = 4 - 2×1 = 2$
$a - b = 1 - 2 = -1$
$(a - b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
$-1$
$\begin{cases}2a + b = 4 \\2b + a = 5\end{cases}$
由第一个方程得$b = 4 - 2a$，代入第二个方程：
$2(4 - 2a) + a = 5$
$8 - 4a + a = 5$
$-3a = -3$
$a = 1$，则$b = 4 - 2×1 = 2$
$a - b = 1 - 2 = -1$
$(a - b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
$-1$
4. 解方程组：
(1) $\begin{cases}x - y = 0,\\2x + y = 3;\end{cases} $
(2) $\begin{cases}3(x - 1) = y + 5,\\\dfrac{y - 1}{3} = \dfrac{x}{5} + 1。\end{cases} $
(1) $\begin{cases}x - y = 0,\\2x + y = 3;\end{cases} $
(2) $\begin{cases}3(x - 1) = y + 5,\\\dfrac{y - 1}{3} = \dfrac{x}{5} + 1。\end{cases} $
答案
(1)$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=1\end{array}\right.$
(2)$\left\{\begin{array}{l} x=5,\\ y=7\end{array}\right.$
5. 深圳学子组织秋游活动,交通工具有限乘客 $2$ 人车和限乘客 $5$ 人车两种,限乘客 $2$ 人车每人每次 $18$ 元,限乘客 $5$ 人车每人每次 $8$ 元,共 $100$ 名学生参与活动,乘坐两种车若干,且每辆车正好坐满。
(1)若一共花去车费 $1300$ 元,则两种车各租用了多少辆？(列二元一次方程组解决问题)
(2)因场地停车位置有限,只能停靠 $24$ 辆车,故新提供了限乘客 $7$ 人车供选择,每辆限乘客 $7$ 人车的租金为每次 $30$ 元。若每种车型必须都租用且停满车位,请你通过计算说明有哪些租车方案,并计算最低租金。
(1)若一共花去车费 $1300$ 元,则两种车各租用了多少辆？(列二元一次方程组解决问题)
(2)因场地停车位置有限,只能停靠 $24$ 辆车,故新提供了限乘客 $7$ 人车供选择,每辆限乘客 $7$ 人车的租金为每次 $30$ 元。若每种车型必须都租用且停满车位,请你通过计算说明有哪些租车方案,并计算最低租金。
答案
解:
(1)设租用的限乘客2人车共坐学生a人，租用的限乘客5人车共坐学生b人，根据题意得$\left\{\begin{array}{l} a+b=100①,\\ 18a+8b=1300②,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=50,\\ b=50,\end{array}\right.$则$50÷2=25$(辆)，$50÷5=10$(辆)。所以租用限乘客2人车25辆，租用限乘客5人车10辆。
(2)设租用限乘客2人车x辆，限乘客5人车y辆，则租用限乘客7人车$(24 - x - y)$辆，根据题意得$2x + 5y + 7(24 - x - y) = 100$，即$5x + 2y = 68$。因为x，y为正整数，且$x + y ＜ 24$，所以$\left\{\begin{array}{l} x=8,\\ y=14\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=9\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} x=12,\\ y=4\end{array}\right.$，则限乘客7人车租用的数量依次为2，5，8，则租车方案有3种。方案一:租限乘客2人车8辆，限乘客5人车14辆，限乘客7人车2辆，租金为$2×8×18 + 5×14×8 + 2×30 = 908$(元);方案二:租限乘客2人车10辆，限乘客5人车9辆，限乘客7人车5辆，租金为$2×10×18 + 5×9×8 + 5×30 = 870$(元);方案三:租限乘客2人车12辆，限乘客5人车4辆，限乘客7人车8辆，租金为$2×12×18 + 5×4×8 + 8×30 = 832$(元)。因为$832 ＜ 870 ＜ 908$，所以租车方案三租金最低，租金最低为832元。
(1)设租用的限乘客2人车共坐学生a人，租用的限乘客5人车共坐学生b人，根据题意得$\left\{\begin{array}{l} a+b=100①,\\ 18a+8b=1300②,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=50,\\ b=50,\end{array}\right.$则$50÷2=25$(辆)，$50÷5=10$(辆)。所以租用限乘客2人车25辆，租用限乘客5人车10辆。
(2)设租用限乘客2人车x辆，限乘客5人车y辆，则租用限乘客7人车$(24 - x - y)$辆，根据题意得$2x + 5y + 7(24 - x - y) = 100$，即$5x + 2y = 68$。因为x，y为正整数，且$x + y ＜ 24$，所以$\left\{\begin{array}{l} x=8,\\ y=14\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=9\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} x=12,\\ y=4\end{array}\right.$，则限乘客7人车租用的数量依次为2，5，8，则租车方案有3种。方案一:租限乘客2人车8辆，限乘客5人车14辆，限乘客7人车2辆，租金为$2×8×18 + 5×14×8 + 2×30 = 908$(元);方案二:租限乘客2人车10辆，限乘客5人车9辆，限乘客7人车5辆，租金为$2×10×18 + 5×9×8 + 5×30 = 870$(元);方案三:租限乘客2人车12辆，限乘客5人车4辆，限乘客7人车8辆，租金为$2×12×18 + 5×4×8 + 8×30 = 832$(元)。因为$832 ＜ 870 ＜ 908$，所以租车方案三租金最低，租金最低为832元。
