5. 计算：$\sqrt{81}=$；$\sqrt{\frac{16}{9}}=$；$\sqrt{6\frac{1}{4}}=$；$\sqrt{(-3)^{2}}=$。

9 $\frac{4}{3}$ $\frac{5}{2}$ 3

$\sqrt{81}=9$；$\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$；$\sqrt{6\frac{1}{4}}=\frac{5}{2}$；$\sqrt{(-3)^{2}}=3$。

6. 求下列各数的算术平方根：
(1)13；
(2)49；
(3)$\frac{16}{25}$；
(4)0.64；
(5)$10^{-6}$。

(1)$\sqrt{13}$。
(2)7。
(3)$\frac{4}{5}$。
(4)0.8。
(5)$10^{-3}$。

1. 如图 2-2-1,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AC = 1$,$AB = 2$,点 $A$ 与数轴上表示 $-1$ 的点重合,点 $C$ 与数轴上表示 $-2$ 的点重合,将 $\triangle ABC$ 沿数轴正方向顺时针旋转一次使得点 $B$ 落在数轴上的点 $B'$ 处,第二次旋转使得点 $C'$ 落在数轴上的点 $C''$ 处。依此类推,$\triangle ABC$ 第 2 020 次旋转后,落在数轴上的三角形的顶点中,右边的点表示的数是。

2020+673$\sqrt{5}$

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90°$，$AC=1$，$AB=2$，则$BC=\sqrt{AC^2 + AB^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
第一次旋转，点$B$落在数轴上点$B'$处，此时点$B'$表示的数为$-1 + 2 = 1$（数轴上点$A$表示$-1$，$AB=2$沿正方向旋转）。
第二次旋转，点$C'$落在数轴上点$C''$处，此时点$C''$表示的数为$1 + \sqrt{5}$（点$B'$表示$1$，$B'C'=BC=\sqrt{5}$沿正方向旋转）。
第三次旋转，点$A''$落在数轴上，此时该点表示的数为$1 + \sqrt{5} + 1 = 2 + \sqrt{5}$（点$C''$表示$1 + \sqrt{5}$，$C''A''=AC=1$沿正方向旋转）。
观察可知，每3次旋转为一个循环，每次循环沿数轴正方向移动的距离为$AB + BC + AC=2 + \sqrt{5} + 1=3 + \sqrt{5}$。
$2020÷3=673\cdots\cdots1$，即经过673个完整循环，剩余1次旋转。
673个循环移动的距离为$673×(3 + \sqrt{5})$，剩余1次旋转移动距离为$AB=2$。
初始位置右边的点为点$B$，表示的数为$-1 + 2 = 1$。
总移动距离为$673×(3 + \sqrt{5}) + 2$，则最终右边的点表示的数为$1 + 673×(3 + \sqrt{5}) + 2 - 3=2020 + 673\sqrt{5}$。
答案：$2020 + 673\sqrt{5}$

2. 我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”。例如：$-9$,$-4$,$-1$ 这三个数,$\sqrt{(-9)×(-4)} = 6$,$\sqrt{(-9)×(-1)} = 3$,$\sqrt{(-4)×(-1)} = 2$,其结果 6,3,2 都是整数,所以 $-9$,$-4$,$-1$ 这三个数称为“完美组合数”。
(1)$-18$,$-8$,$-2$ 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由。
(2)若三个数 $-3$,$m$,$-12$ 是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为 12,求 $m$ 的值。

解：
(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”。理由：因为$\sqrt{(-18)×(-8)}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)}=6$，$\sqrt{(-8)×(-2)}=4$，所以-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”。
(2)因为$\sqrt{(-3)×(-12)}=6$，所以分两种情况讨论：①当$\sqrt{-3m}=12$时，$-3m=144$，所以$m=-48$。②当$\sqrt{-12m}=12$时，$-12m=144$，所以$m=-12$(不符合题意，舍去)。综上所述，m的值是-48。