12. 已知一元二次方程 $ x^{2}+kx - 15 = 0 $ 的一个根是 $ -3 $,求另一个根及 $ k $ 的值。

另一根为5,$ k=-2 $

设方程的另一个根为$x_1$。
因为一元二次方程$x^{2}+kx - 15 = 0$的一个根是$-3$，根据韦达定理，两根之积为$-15$，则：$-3x_1=-15$，解得$x_1 = 5$。
两根之和为$-k$，即$-3 + 5=-k$，解得$k=-2$。
另一个根为$5$，$k$的值为$-2$。

13. 一元二次方程 $ x^{2}+2x - 1 = 0 $ 的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,求 $ x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+4(x_{2}+1) $ 的值。

12

解：由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=-1$。
因为$x_{2}$是方程$x^{2}+2x - 1 = 0$的根，所以$x_{2}^{2}=-2x_{2}+1$。
同理$x_{1}^{2}=-2x_{1}+1$。
$\begin{aligned}x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+4(x_{2}+1)&=(-2x_{1}+1)+3(-2x_{2}+1)+4x_{2}+4\\&=-2x_{1}+1 - 6x_{2}+3 + 4x_{2}+4\\&=-2x_{1}-2x_{2}+8\\&=-2(x_{1}+x_{2})+8\end{aligned}$
将$x_{1}+x_{2}=-2$代入上式得：$-2×(-2)+8=4 + 8=12$。
12

14. 今年 $ 3 $ 月份某红色教育基地接待参观人数 $ 10 $ 万人,$ 5 $ 月份接待的参观人数增加到了 $ 12.1 $ 万人。
(1) 求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2) 按照这个增长率,预计 $ 6 $ 月份的参观人数是______万人。

(1)10%;
(2)13.31

15. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有两个实数根,且其中一个根是另一个根的 $ 3 $ 倍,那么称这样的方程为“三倍根方程”。例如,方程 $ x^{2}-4x + 3 = 0 $ 的两个根是 $ 1 $ 和 $ 3 $,则这个方程就是“三倍根方程”。
(1) 下列方程是三倍根方程的是______；
① $ x^{2}-3x + 2 = 0 $；
② $ x^{2}-3x = 0 $；
③ $ x^{2}-8x + 12 = 0 $。
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-6x + c = 0 $ 是“三倍根方程”,则 $ c = $______；
(3) 若 $ x^{2}-(m + n)x + mn = 0 $ 是关于 $ x $ 的“三倍根方程”,求代数式 $ \dfrac{mn}{m^{2}+n^{2}} $ 的值。

(1)③;
(2)$\dfrac{27}{4}$;
(3)$\dfrac{3}{10}$