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1. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+ax - 2b = 0 $ 的两个实数根,且 $ x_{1}+x_{2}= -2 $,$ x_{1}x_{2}= 1 $,则 $ b^{a} $ 的值是( )
A.$ \dfrac{1}{4} $
B.$ -\dfrac{1}{4} $
C.$ 4 $
D.$ -1 $
A.$ \dfrac{1}{4} $
B.$ -\dfrac{1}{4} $
C.$ 4 $
D.$ -1 $
答案
A
解析
由根与系数的关系得：
$x_{1}+x_{2}=-a=-2$，解得$a=2$；
$x_{1}x_{2}=-2b=1$，解得$b=-\dfrac{1}{2}$。
则$b^{a}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$。
答案：A
$x_{1}+x_{2}=-a=-2$，解得$a=2$；
$x_{1}x_{2}=-2b=1$，解得$b=-\dfrac{1}{2}$。
则$b^{a}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$。
答案：A
2. 下列所给方程中,没有实数根的是( )
A.$ x^{2}+x = 0 $
B.$ 5x^{2}-4x - 1 = 0 $
C.$ 3x^{2}-4x + 1 = 0 $
D.$ 4x^{2}-5x + 2 = 0 $
A.$ x^{2}+x = 0 $
B.$ 5x^{2}-4x - 1 = 0 $
C.$ 3x^{2}-4x + 1 = 0 $
D.$ 4x^{2}-5x + 2 = 0 $
答案
D
解析
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，根的判别式为$\Delta=b^{2}-4ac$。当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
选项A：方程$x^{2}+x = 0$，其中$a = 1$，$b = 1$，$c = 0$。$\Delta=1^{2}-4×1×0=1＞0$，有两个不相等的实数根。
选项B：方程$5x^{2}-4x - 1 = 0$，其中$a = 5$，$b=-4$，$c=-1$。$\Delta=(-4)^{2}-4×5×(-1)=16 + 20=36＞0$，有两个不相等的实数根。
选项C：方程$3x^{2}-4x + 1 = 0$，其中$a = 3$，$b=-4$，$c = 1$。$\Delta=(-4)^{2}-4×3×1=16-12 = 4＞0$，有两个不相等的实数根。
选项D：方程$4x^{2}-5x + 2 = 0$，其中$a = 4$，$b=-5$，$c = 2$。$\Delta=(-5)^{2}-4×4×2=25-32=-7＜0$，没有实数根。
D
选项A：方程$x^{2}+x = 0$，其中$a = 1$，$b = 1$，$c = 0$。$\Delta=1^{2}-4×1×0=1＞0$，有两个不相等的实数根。
选项B：方程$5x^{2}-4x - 1 = 0$，其中$a = 5$，$b=-4$，$c=-1$。$\Delta=(-4)^{2}-4×5×(-1)=16 + 20=36＞0$，有两个不相等的实数根。
选项C：方程$3x^{2}-4x + 1 = 0$，其中$a = 3$，$b=-4$，$c = 1$。$\Delta=(-4)^{2}-4×3×1=16-12 = 4＞0$，有两个不相等的实数根。
选项D：方程$4x^{2}-5x + 2 = 0$，其中$a = 4$，$b=-5$，$c = 2$。$\Delta=(-5)^{2}-4×4×2=25-32=-7＜0$，没有实数根。
D
3. 已知 $ x = 1 $ 是方程 $ x^{2}+kx - 2 = 0 $ 的一个根,则方程的另一个根是( )
A.$ 1 $
B.$ -2 $
C.$ -1 $
D.$ 2 $
A.$ 1 $
B.$ -2 $
C.$ -1 $
D.$ 2 $
答案
B
解析
设方程的另一个根为$x_2$。
因为$x = 1$是方程$x^2 + kx - 2 = 0$的一个根，根据韦达定理，两根之积为$-2$，即$1 × x_2 = -2$，解得$x_2 = -2$。
B
因为$x = 1$是方程$x^2 + kx - 2 = 0$的一个根，根据韦达定理，两根之积为$-2$，即$1 × x_2 = -2$，解得$x_2 = -2$。
B
4. 以 $ x = 2 $ 和 $ x = 4 $ 为根的一元二次方程是( )
A.$ x^{2}+6x + 8 = 0 $
B.$ x^{2}-6x + 8 = 0 $
C.$ x^{2}+6x - 8 = 0 $
D.$ x^{2}-6x - 8 = 0 $
A.$ x^{2}+6x + 8 = 0 $
B.$ x^{2}-6x + 8 = 0 $
C.$ x^{2}+6x - 8 = 0 $
D.$ x^{2}-6x - 8 = 0 $
答案
B
解析
已知一元二次方程的根为$x = 2$和$x = 4$，则可设方程为$(x - 2)(x - 4) = 0$。
展开得：$x^2 - 4x - 2x + 8 = 0$，即$x^2 - 6x + 8 = 0$。
结论：B
展开得：$x^2 - 4x - 2x + 8 = 0$，即$x^2 - 6x + 8 = 0$。
结论：B
5. 规定一个新运算“$ * $”,对于任意实数 $ a,b,c $,有 $ (a,b)*c = ab + c $,其中等式右边是通常的乘法和加法运算,如 $ (2,3)*1 = 2×3 + 1 = 7 $。若关于 $ x $ 的方程 $ (x,mx)*(x + 2) = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ m $ 的取值范围为( )
A.$ m \lt \dfrac{1}{8} $
B.$ m \gt \dfrac{1}{8} $
C.$ m \gt \dfrac{1}{8} $ 且 $ m \neq 0 $
D.$ m \lt \dfrac{1}{8} $ 且 $ m \neq 0 $
A.$ m \lt \dfrac{1}{8} $
B.$ m \gt \dfrac{1}{8} $
C.$ m \gt \dfrac{1}{8} $ 且 $ m \neq 0 $
D.$ m \lt \dfrac{1}{8} $ 且 $ m \neq 0 $
答案
D
解析
由新运算“$*$”的定义，$(x, mx)*(x + 2) = x \cdot mx + (x + 2)$。
化简得方程：$mx^2 + x + 2 = 0$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以该方程为一元二次方程且判别式$\Delta ＞ 0$。
首先，二次项系数$m \neq 0$。
其次，判别式$\Delta = 1^2 - 4 \cdot m \cdot 2 = 1 - 8m ＞ 0$，解得$m ＜ \frac{1}{8}$。
综上，$m$的取值范围为$m ＜ \frac{1}{8}$且$m \neq 0$。
D
化简得方程：$mx^2 + x + 2 = 0$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以该方程为一元二次方程且判别式$\Delta ＞ 0$。
首先，二次项系数$m \neq 0$。
其次，判别式$\Delta = 1^2 - 4 \cdot m \cdot 2 = 1 - 8m ＞ 0$，解得$m ＜ \frac{1}{8}$。
综上，$m$的取值范围为$m ＜ \frac{1}{8}$且$m \neq 0$。
D
6. 三角形两边的长分别为 $ 3 $ 和 $ 6 $,第三边的长是方程 $ x^{2}-6x + 8 = 0 $ 的解,则此三角形的周长为______。
答案
13
解析
解方程$x^{2}-6x + 8 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 4)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。
当第三边为$2$时，$3 + 2 = 5\lt6$，不满足三角形三边关系，舍去；
当第三边为$4$时，$3 + 4 = 7\gt6$，$6 - 3 = 3\lt4$，满足三角形三边关系。
此三角形周长为$3 + 6 + 4 = 13$。
13
当第三边为$2$时，$3 + 2 = 5\lt6$，不满足三角形三边关系，舍去；
当第三边为$4$时，$3 + 4 = 7\gt6$，$6 - 3 = 3\lt4$，满足三角形三边关系。
此三角形周长为$3 + 6 + 4 = 13$。
13
7. 某药品原来每盒卖 $ 96 $ 元,两次降价后每盒卖 $ 54 $ 元,则平均每次降价的百分率为______。
答案
25%
解析
设平均每次降价的百分率为$x$。
第一次降价后的价格为$96(1 - x)$元，第二次降价后的价格为$96(1 - x)^2$元。
依题意，得$96(1 - x)^2 = 54$，
方程两边同时除以$96$：$(1 - x)^2=\frac{54}{96}=\frac{9}{16}$，
开平方：$1 - x=\pm\frac{3}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{4}=25\%$，$x_2=\frac{7}{4}$（不合题意，舍去）。
25%
第一次降价后的价格为$96(1 - x)$元，第二次降价后的价格为$96(1 - x)^2$元。
依题意，得$96(1 - x)^2 = 54$，
方程两边同时除以$96$：$(1 - x)^2=\frac{54}{96}=\frac{9}{16}$，
开平方：$1 - x=\pm\frac{3}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{4}=25\%$，$x_2=\frac{7}{4}$（不合题意，舍去）。
25%
8. 若关于 $ x $ 的方程 $ (m - 1)x^{2}+mx - 1 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ m $ 的取值范围是______。
答案
$ m \neq 1 $
9. 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-3m = 4x $ 有两个不相等的实数根的条件是______。
答案
$ m ＞ -\dfrac{4}{3} $
解析
将方程化为一般形式：$x^{2}-4x - 3m=0$
判别式$\Delta=(-4)^{2}-4×1×(-3m)=16 + 12m$
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$
即$16 + 12m＞0$
解得$m＞-\dfrac{4}{3}$
判别式$\Delta=(-4)^{2}-4×1×(-3m)=16 + 12m$
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$
即$16 + 12m＞0$
解得$m＞-\dfrac{4}{3}$
10. 小明将环保倡议书发表在自己的社交平台上,再邀请 $ n $ 个好友转发,每个好友转发后又邀请 $ n $ 个互不相同的好友转发,依次类推。已知经过两轮传播后,共有 $ 111 $ 人参加了传播,则 $ n = $____。
答案
10
解析
经过第一轮传播，邀请了$n$个好友，此时传播人数为$n$人；第二轮每个好友又邀请$n$个互不相同的好友，所以第二轮新增传播人数为$n× n = n^2$人。
最初小明自己发表倡议书，所以总人数包括小明、第一轮传播的人数和第二轮传播的人数，可列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n = -11$（人数不能为负数，舍去）或$n = 10$
故$n = 10$
最初小明自己发表倡议书，所以总人数包括小明、第一轮传播的人数和第二轮传播的人数，可列方程：
$1 + n + n^2 = 111$
整理得：$n^2 + n - 110 = 0$
因式分解得：$(n + 11)(n - 10) = 0$
解得：$n = -11$（人数不能为负数，舍去）或$n = 10$
故$n = 10$
11. 选择合适的方法解下列一元二次方程：
(1) $ 4(x - 5)^{2}= 15 $；
(2) $ x^{2}-4x = 1 $；
(3) $ 4x^{2}-4x + 1 = x^{2}+6x + 9 $；
(4) $ x^{2}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}= 0 $；
(5) $ (x + 3)(x - 1)= 5 $；
(6) $ (2x + 1)^{2}+3(2x + 1)+2 = 0 $。
(1) $ 4(x - 5)^{2}= 15 $；
(2) $ x^{2}-4x = 1 $；
(3) $ 4x^{2}-4x + 1 = x^{2}+6x + 9 $；
(4) $ x^{2}+(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}= 0 $；
(5) $ (x + 3)(x - 1)= 5 $；
(6) $ (2x + 1)^{2}+3(2x + 1)+2 = 0 $。
答案
(1)$ x_{1}=5+\dfrac{\sqrt{15}}{2},x_{2}=5-\dfrac{\sqrt{15}}{2} $;
(2)$ x_{1}=2+\sqrt{5},x_{2}=2-\sqrt{5} $;
(3)$ x_{1}=4,x_{2}=-\dfrac{2}{3} $;
(4)$ x_{1}=-\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{3} $;
(5)$ x_{1}=-4,x_{2}=2 $;
(6)$ x_{1}=-\dfrac{3}{2},x_{2}=-1 $
