下面是小豫同学数学作业本上的一道未完成的习题,请补全解题过程.
已知$abc≠0$,三个关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$,$bx^2+cx+a=0$,$cx^2+ax+b=0$恰有一个公共解,求$a$,$b$,$c$满足的条件以及方程的公共解.
解:设这三个关于$x$的一元二次方程的公共解为$x=t$,
则$at^2+bt+c=0$①,$bt^2+ct+a=0$②,$ct^2+at+b=0$③.
∴①+②+③,得
……

$(a+b+c)t^2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0$.
$\therefore(a+b+c)(t^2+t+1)=0$.
$\because t^2+t+1=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$,
$\therefore a+b+c=0$,即公共解为$x=1$.
因此,三个关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0$恰有一个公共解$x=1$,$a,b,c$满足的条件是$a+b+c=0$且$abc≠0$.

【分析】
首先利用公共解的性质，设公共解为t，将其分别代入三个方程，得到三个含t、a、b、c的等式；再通过将三个等式整体相加，整理出含公因式的式子；接着用配方法判断二次式$t^2+t+1$的取值范围，排除其为0的可能，即可得到a、b、c的数量关系，最后回代验证得到公共解。
【解析】
设这三个关于x的一元二次方程的公共解为$x=t$，
则$at^2+bt+c=0$①，$bt^2+ct+a=0$②，$ct^2+at+b=0$③。
将①+②+③，得：
$(a+b+c)t^2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0$
提取公因式可得：$(a+b+c)(t^2+t+1)=0$
对$t^2+t+1$配方得：$t^2+t+1=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
∵$(t+\frac{1}{2})^2≥0$，
∴$(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$，即$t^2+t+1$恒大于0
因此只能$a+b+c=0$，将$a+b+c=0$代入原方程，可验证$x=1$是三个方程的公共解，结合题设$abc≠0$，即可得到a、b、c的满足条件。
【答案】
a,b,c满足的条件是$a+b+c=0$且$abc≠0$，方程的公共解为$x=1$。
【知识点】
一元二次方程的解的定义，因式分解的应用，配方法的应用
【点评】
本题核心是抓住公共解同时满足所有方程的特点，通过整体相加等式简化运算，结合配方法判断代数式符号推导参数关系和公共解，能有效考察学生的整体运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

如图所示，点C把线段AB分成AC与CB，若$\frac{AC}{AB}=\frac{CB}{AC}$，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。
(1)根据上述定义求黄金比。
(2)在中，利用尺规按以下步骤作图，并保留作图痕迹。
①作线段AB的垂直平分线，得线段AB的中点M；
②延长AB，过点B作AB的垂线$l$；
③以点B为圆心，以BM为半径作弧交$l$于点N；
④连接AN，以点N为圆心，以NB为半径作弧交AN于点P；
⑤以点A为圆心，以AP为半径作弧交AB于点C。
证明:按以上步骤作出的点C就是线段AB的黄金分割点。
(3)把一条线段分成两两不等的三条线段，三条线段的长度分别是$a,b,c$，且满足$a＞b＞c$，$a=b+c$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，找到合适的$a,b,c$，并用尺规作出线段的两个分点.(不写作法)

(1)设$AB=1,AC=x$,则$BC=1-x$.
由$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$,得$AC^2=AB· CB$.
$\therefore x^2=1×(1-x)$,整理,得$x^2+x-1=0$,
解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(不合题意,舍去).
答:黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(2)作图如所示.
证明:设$AB=x$,则$BM=AM=BN=\frac{1}{2}x$.
由勾股定理,得$AN=\sqrt{AB^2+BN^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$,
则$AC=AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$,
$\therefore AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$.
$\therefore$点$C$是线段$AB$的黄金分割点.
(3)$\because a=b+c,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$,
$\therefore \frac{1}{b+c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c},bc+c(b+c)=b(b+c)$.
$\therefore c^2+bc-b^2=0$,
解得$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$(负值舍去).
同理可得$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$.
作分点如所示,$AC=a,CD=b,BD=c$.

【分析】
(1) 求黄金比可根据黄金分割的定义设未知数，将比例关系转化为一元二次方程求解，结合线段长度为正的条件舍去不符合的根，即可得到黄金比。
(2) 先按题目给出的步骤完成尺规作图，要证明C是黄金分割点，只需验证AC与AB的比值为黄金比即可：设AB的长度，结合作图的等量关系，用勾股定理算出AN长度，再依次推导AP、AC的长度，验证比例是否符合黄金比。
(3) 先将已知的$a=b+c$和$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$联立，推导得到a、b、c依次满足黄金比的关系，再利用黄金分割的尺规作图方法作出两个分点即可。
【解析】
(1) 设$AB=1$，$AC=x$，则$BC=1-x$。
由$\frac{AC}{AB}=\frac{CB}{AC}$，得$AC^2=AB· CB$，
$\therefore x^2=1×(1-x)$，整理得$x^2+x-1=0$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（线段长度为正，不合题意，舍去）。
(2) 作图如所示。
证明：设$AB=x$，则$BM=AM=BN=\frac{1}{2}x$，
在$Rt△ ABN$中，由勾股定理得$AN=\sqrt{AB^2+BN^2}=\sqrt{x^2+(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
由作图可知$NP=NB=\frac{1}{2}x$，因此$AC=AP=AN-NP=\frac{\sqrt{5}}{2}x-\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
$\therefore AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，即点C是线段AB的黄金分割点。
(3) 将$a=b+c$代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，得$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$，
去分母整理得$c^2+bc-b^2=0$，解得$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$（负值舍去），
同理可得$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$，即三者依次满足黄金比关系。
作分点如所示，$AC=a,CD=b,BD=c$。
【答案】
(1) 黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
(2) 作图见，点C是线段AB的黄金分割点；
(3) $a、b、c$满足$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a，c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$，作图见。
【知识点】
黄金分割、尺规作图、勾股定理
【点评】
本题围绕黄金分割的概念展开，涵盖定义推导、作图验证、拓展应用三个部分，既考察了一元二次方程、勾股定理等知识点的运用，也考察了尺规作图的实践能力，需要准确理解黄金分割的比例本质才能顺利解题。
【难度系数】
0.6