例【问题提出】
如图1，已知AD为$△ ABC$的中线，求证：$AB+AC＞2AD$.
证明：如图2，延长AD到E，使得$DE=AD$，连接CE，易证$△ ABD≌△ ECD$，得$AB=$，在$△ ACE$中，$AC+CE＞$，得$AB+AC＞2AD$.




【问题解决】
(1)如图3，在$△ ABC$中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且$BE=AC$，延长BE交AC于点F，求证：$AF=EF$；
(2)如图4，AD是$△ ABC$的中线，$AB=AE$，$AC=AF$，且$∠ BAE=∠ FAC=90°$，请写出AD与EF的数量关系及位置关系，并说明理由.
解:【问题提出】CE；AE.
【问题解决】(1)证明:如图3，延长AD到G，使得$DG=AD$，连接BG.
$\because AD$是$△ ABC$的中线，$\therefore BD=CD$.
在$△ ADC$和$△ GDB$中，
$\{\begin{array}{l}AD=GD,\\∠ ADC=∠ GDB,\\CD=BD,\end{array} $
$\therefore△ ADC≌△ GDB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AC=BG,∠ CAD=∠ G$.
$\because BE=AC,\therefore BE=BG,\therefore∠ BEG=∠ G$.
$\because∠ BEG=∠ AEF,\therefore∠ AEF=∠ CAD$.
$\therefore AF=EF$.
(2)$EF=2AD,EF⊥ AD$.理由如下:
如图4，延长AD到G，使$DG=AD$，延长DA交EF于P，连接BG，易得$△ BGD≌△ CAD$.
$\therefore BG=AC,∠ GBD=∠ ACD,∠ DGB=∠ DAC$,
$\therefore∠ ABG=∠ ABD+∠ GBD=∠ ABD+∠ ACD=180°-∠ BAC=∠ EAF$.
$\because AF=AC,\therefore BG=AF$.
又$\because AB=AE,\therefore△ ABG≌△ EAF(\mathrm{SAS})$.
$\therefore EF=AG=2AD,∠ EFA=∠ DGB=∠ DAC$.
$\because∠ DAC+∠ PAF=180°-∠ FAC=180°-90°=90°$,
$\therefore∠ EFA+∠ PAF=90°,\therefore∠ APF=90°$.
$\therefore EF⊥ AD$.

解：【问题提出】$CE$；$AE$
【问题解决】
(1)证明：如图3，延长$AD$到$G$，使得$DG=AD$，连接$BG$。
$\because AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ GDB$中，
$\begin{cases}AD=GD,\\∠ ADC=∠ GDB,\\CD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ GDB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=BG$，$∠ CAD=∠ G$。
$\because BE=AC$，
$\therefore BE=BG$，
$\therefore ∠ BEG=∠ G$。
$\because ∠ BEG=∠ AEF$，
$\therefore ∠ AEF=∠ CAD$。
$\therefore AF=EF$。
(2)$EF=2AD$，$EF⊥ AD$。理由如下：
如图4，延长$AD$到$G$，使$DG=AD$，延长$DA$交$EF$于点$P$，连接$BG$。
$\because AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ BGD$和$△ CAD$中，
$\begin{cases}DG=AD,\\∠ GDB=∠ ADC,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BGD≌△ CAD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BG=AC$，$∠ GBD=∠ ACD$，$∠ DGB=∠ DAC$。
$\therefore ∠ ABG=∠ ABD+∠ GBD=∠ ABD+∠ ACD=180°-∠ BAC$。
$\because ∠ BAE=∠ FAC=90°$，
$\therefore ∠ EAF=360°-∠ BAE-∠ FAC-∠ BAC=180°-∠ BAC$，
$\therefore ∠ ABG=∠ EAF$。
$\because AC=AF$，
$\therefore BG=AF$。
又$\because AB=AE$，
$\therefore △ ABG≌△ EAF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore EF=AG=2AD$，$∠ EFA=∠ DGB=∠ DAC$。
$\because ∠ DAC+∠ PAF=180°-∠ FAC=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ EFA+∠ PAF=90°$，
$\therefore ∠ APF=90°$。
$\therefore EF⊥ AD$。

【分析】
本题是三角形全等的典型题型，核心解题方法为倍长中线法：
① 问题提出部分：已知AD是中线，可得BD=CD，延长AD到E使DE=AD，即可利用SAS证明△ABD≌△ECD，将AB转化为CE，再利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，在△ACE中即可推出AB+AC＞2AD；
② 第(1)问：类比问题提出的思路，倍长AD到G，构造△ADC≌△GDB，将AC转化为BG，结合BE=AC可得BE=BG，利用等腰三角形等边对等角得∠BEG=∠G，再通过对顶角相等、等量代换得到∠AEF=∠EAF，即可用等角对等边证明AF=EF；
③ 第(2)问：先倍长中线构造△BGD≌△CAD，得到BG=AC、推出∠ABG=∠EAF，结合已知AB=AE、AC=AF可证△ABG≌△EAF，得到EF=AG=2AD，再通过角度代换计算出∠APF=90°，即可得到EF与AD的位置关系为垂直。
【解析】
解：【问题提出】$CE$；$AE$
【问题解决】
(1)证明：如图3，延长$AD$到$G$，使得$DG=AD$，连接$BG$。
$\because AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ GDB$中，
$\begin{cases}AD=GD,\\∠ ADC=∠ GDB,\\CD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ GDB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=BG$，$∠ CAD=∠ G$。
$\because BE=AC$，
$\therefore BE=BG$，
$\therefore ∠ BEG=∠ G$。
$\because ∠ BEG=∠ AEF$，
$\therefore ∠ AEF=∠ CAD$。
$\therefore AF=EF$。
(2)$EF=2AD$，$EF⊥ AD$。理由如下：
如图4，延长$AD$到$G$，使$DG=AD$，延长$DA$交$EF$于点$P$，连接$BG$。
$\because AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ BGD$和$△ CAD$中，
$\begin{cases}DG=AD,\\∠ GDB=∠ ADC,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BGD≌△ CAD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BG=AC$，$∠ GBD=∠ ACD$，$∠ DGB=∠ DAC$。
$\therefore ∠ ABG=∠ ABD+∠ GBD=∠ ABD+∠ ACD=180°-∠ BAC$。
$\because ∠ BAE=∠ FAC=90°$，
$\therefore ∠ EAF=360°-∠ BAE-∠ FAC-∠ BAC=180°-∠ BAC$，
$\therefore ∠ ABG=∠ EAF$。
$\because AC=AF$，
$\therefore BG=AF$。
又$\because AB=AE$，
$\therefore △ ABG≌△ EAF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore EF=AG=2AD$，$∠ EFA=∠ DGB=∠ DAC$。
$\because ∠ DAC+∠ PAF=180°-∠ FAC=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ EFA+∠ PAF=90°$，
$\therefore ∠ APF=90°$。
$\therefore EF⊥ AD$。
【答案】
【问题提出】$CE$；$AE$
(1) $AF=EF$，证明成立；
(2) 数量关系：$\boldsymbol{EF=2AD}$，位置关系：$\boldsymbol{EF⊥AD}$
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题以三角形中线为载体，逐层递进考查了倍长中线辅助线的构造方法，通过构造全等三角形实现边和角的转移，将分散的已知条件集中到同一个三角形中解决问题，是三角形全等章节的典型题型，能很好地训练逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6