11.如图，$AB=CB$，$∠ BAD=∠ BCD=90°$，D是边EF上一点，$AE⊥ EF$于点E，$CF⊥ EF$于点F，$AE=CF$，求证：$△ ADE ≌△ CDF$.

证明：
连接BD。
∵ ∠BAD=∠BCD=90°，
∴ △ABD和△CBD都是直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CB \\BD=BD\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△CBD（HL），
∴ AD = CD。
∵ AE⊥EF，CF⊥EF，
∴ ∠E = ∠F = 90°，
∴ △ADE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AE=CF \\AD=CD\end{array} $
∴ Rt△ADE ≌ Rt△CDF（HL）。

【分析】
要证明△ADE≌△CDF，首先观察已知条件：AE⊥EF、CF⊥EF，可得△ADE和△CDF都是直角三角形，且题目给出AE=CF，因此只需再证明两个三角形的斜边AD=CD，即可用HL判定全等。要证AD=CD，结合已知AB=CB，∠BAD=∠BCD=90°，可通过连接BD，构造两个共斜边的直角三角形△ABD和△CBD，利用HL先证明这两个三角形全等，即可得到AD=CD，进而完成目标全等的证明。
【解析】
证明：
连接BD。
∵ ∠BAD=∠BCD=90°，
∴ △ABD和△CBD都是直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CB \\BD=BD\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△CBD（HL），
∴ AD = CD。
∵ AE⊥EF，CF⊥EF，
∴ ∠E = ∠F = 90°，
∴ △ADE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AE=CF \\AD=CD\end{array} $
∴ Rt△ADE ≌ Rt△CDF（HL）。
【答案】
证明过程如上，△ADE ≌△CDF得证。
【知识点】
直角三角形全等的HL判定，全等三角形的性质，垂直的定义
【点评】
本题是三角形全等判定的基础综合题，解题关键是合理作辅助线构造全等三角形，通过两次全等证明得到结论，考查了对直角三角形全等判定方法的掌握和辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7

12.如图,已知$A(-2,0),B(0,-4),C(1,1)$,点$P$为线段$OB$上一动点(不包括点$O$),$CD⊥CP$,$CD$交$x$轴于点$D$,$CP$与$x$轴交于点$K$.当点$P$运动时:
(1)求证:$∠CPO=∠CDO$;
(2)求证:$CP=CD$;
(3)给出下列两个结论:①$AD－BP$的值不变;②$AD＋BP$的值不变.选择正确的结论并求其值.

证明：(1)
∵ CD⊥CP，
∴ ∠PCD=90°，
∵ ∠KOP=90°，
又∵ ∠CKD=∠PKO，
∴ 180°-∠PCD-∠CKD=180°-∠KOP-∠PKO，
即∠CPO=∠CDO。
证明：(2)
过点C作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N。
∵ C(1,1)，
∴ CM=CN=1，∠CMO=∠CNO=∠MON=90°，
∴ 四边形CMON是正方形。
在△CNP和△CMD中，
$\{\begin{array}{l}∠CNP=∠CMD \\∠CPN=∠CDM \\CN=CM\end{array} $
∴ △CNP≌△CMD(AAS)，
∴ CP=CD。
解：(3) 结论②AD+BP的值不变，其值为8。
由△CNP≌△CMD，得NP=MD。
∵ N(0,1)，M(1,0)，
∴ NP=ON+OP=1+OP，MD=OD-OM=OD-1，
∴ 1+OP=OD-1，即OD=OP+2。
∵ A(-2,0)，B(0,-4)，
∴ AD=OA+OD=2+OD，BP=OB-OP=4-OP，
∴ AD+BP=2+OD+4-OP=6+(OP+2)-OP=8。
即AD+BP的值不变，值为8。

【分析】
(1) 要证∠CPO=∠CDO，观察两个角分别在△PKO和△CKD中，已知CD⊥CP得∠PCD=90°，x轴⊥y轴得∠KOP=90°，结合对顶角∠CKD=∠PKO，利用三角形内角和定理即可推出两角相等。
(2) 要证线段相等通常证所在三角形全等。点C(1,1)到x轴、y轴距离相等，因此过C分别作x轴、y轴的垂线，得到正方形CMON，可得一组等边CM=CN，结合(1)中已证的等角和两个直角，用AAS证明△CNP≌△CMD，即可得CP=CD。
(3) 判断AD与BP的和/差是否为定值，需将两条线段用公共量表示。由(2)的全等得NP=MD，结合坐标将NP、MD用OP、OD表示，推导得到OD与OP的关系，再将AD、BP分别用OD、OP表示，代入式子计算即可判断定值。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD⊥CP，
∴ ∠PCD=90°，
∵ x轴与y轴垂直，即∠KOP=90°，
又
∵ ∠CKD=∠PKO（对顶角相等），
∴ 180°-∠PCD-∠CKD=180°-∠KOP-∠PKO（三角形内角和为180°），
即∠CPO=∠CDO。
(2) 证明：
过点C作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N。
∵ C(1,1)，
∴ CM=CN=1，∠CMO=∠CNO=∠MON=90°，
∴ 四边形CMON是正方形（三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形）。
在△CNP和△CMD中，
$\{\begin{array}{l}∠CNP=∠CMD=90° \\∠CPN=∠CDM（已证∠CPO=∠CDO） \\CN=CM\end{array} $
∴ △CNP≌△CMD（AAS），
∴ CP=CD。
(3) 解：结论②AD+BP的值不变，求值过程如下：
由△CNP≌△CMD，得NP=MD。
由C点坐标可知N(0,1)，M(1,0)，
∴ NP=ON+OP=1+OP，MD=OD-OM=OD-1，
∴ 1+OP=OD-1，整理得OD=OP+2。
已知A(-2,0)，B(0,-4)，
∴ AD=OA+OD=2+OD，BP=OB-OP=4-OP，
代入AD+BP得：
AD+BP=2+OD+4-OP=6+(OP+2)-OP=8。
【答案】
(1) ∠CPO=∠CDO得证；
(2) CP=CD得证；
(3) 结论②正确，AD+BP的值为8。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是平面直角坐标系下的几何综合题，考查了等角、等线段证明及定值问题，解题核心是作辅助线构造全等三角形，将所求线段通过全等性质转化，体现了转化的数学思想，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6