例1 如图，E，F是线段AB上的点，且AE = BF，AD = BC，DF = CE. 求证：△ADF≌△BCE.

【思路导析】△ADF和△BCE中，已经有了AD=BC，DF=CE，而EF是这两个三角形第三边上的公共部分，又知AE=BF，可得AF=BE. 用“SSS”可证.
【请你解答】

证明：
∵ AE = BF，
∴ AE + EF = BF + EF，
即 AF = BE。
在△ADF和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD = BC, \\DF = CE, \\AF = BE,\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BCE（SSS）。

【分析】
要证明△ADF≌△BCE，首先回忆三角形全等的判定定理，题目已经给出两组对应边相等：AD=BC、DF=CE，若用SSS判定全等，还需证明第三组对应边AF=BE。观察线段组成可知AF=AE+EF，BE=BF+EF，已知AE=BF，根据等式的性质，给相等的两条线段同时加上公共线段EF，即可推出AF=BE，凑齐三组对应边相等的条件后，就能用SSS定理证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
∵ AE = BF，
∴ AE + EF = BF + EF，
即 AF = BE。
在△ADF和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD = BC, \\DF = CE, \\AF = BE,\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BCE（SSS）。
【答案】
证明过程如上，△ADF≌△BCE得证。
【知识点】
线段的和差计算；全等三角形SSS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题核心是通过线段和差关系推导得到全等所需的对应边相等条件，熟练掌握全等三角形判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

例2 如图，已知$AB=AD$，$CB=CD$，那么$∠ B=∠ D$吗？为什么？
【思路导析】连接$AC$，证$△ ABC ≌ △ ADC$即可。
【请你解答】

解：∠B=∠D，理由如下：
连接AC。
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\CB=CD \\AC=AC\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）

【分析】
要判断∠B与∠D是否相等，通常可证明两角所在的三角形全等。已知题目给出AB=AD、CB=CD两组边相等，观察图形可发现AC是△ABC和△ADC的公共边，因此我们可以连接AC构造两个三角形，凑齐三组对应边相等的条件，即可用SSS判定两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得到对应角相等。
【解析】
∠B=∠D，理由如下：
连接辅助线AC。
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD(\mathrm{已知}) \\CB=CD(\mathrm{已知}) \\AC=AC(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SSS})$
根据全等三角形的对应角相等，可得$∠ B=∠ D$。
【答案】
$∠ B=∠ D$
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题属于三角形全等判定的基础题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，利用图形隐含的公共边条件结合已知边相等的信息，完成全等判定后推导对应角相等，是对全等判定和性质的基础考察。
【难度系数】
0.85

例3 如图,有一块三角形厚铁板,根据实际生产需要,工人师傅要把∠MAN平分,现在他手边只有一把尺子和一根细绳,请你帮工人师傅想个解决办法,并说明这样做的理由.

【思路导析】要把∠MAN平分,可设法使分成的角为两个全等三角形的一对对应角,而已知工具中,细绳可以测量长度,直尺可以用来画线,于是可根据“SSS”设计方案.
【示范解答】用绳子的一定长度在AM和AN边上截取AB=AC,再选取适当长度的绳子,将其对折,得到绳子的中点D,把绳子的两端固定在B,C两点上,拉住绳子的中点D,向外拉直BD和CD,再在铁板上画出点D的位置,作射线AD,则AD平分∠MAN.理由如下:
在△ABD和△ACD中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACD(SSS).
∴ ∠MAD=∠NAD(全等三角形的对应角相等).
【变式探究】

解：
作法：
① 用细绳在AM、AN边上截取AB=AC；
② 取适当长度的细绳对折，得到绳子的中点D，将细绳两端固定在B、C两点，拉住中点向外拉直BD、CD，在铁板上标记出点D的位置；
③ 用直尺作射线AD，则AD平分∠MAN。
理由如下：
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB=AC, \\BD=CD, \\AD=AD,\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，
∴ $∠ MAD = ∠ NAD$（全等三角形的对应角相等），即AD平分$∠ MAN$。

【分析】
我们的目标是平分∠MAN，也就是得到两个相等的角，可通过构造全等三角形，利用全等三角形对应角相等来实现。现有工具中，细绳可以测量出等长的线段，直尺可以用来画直线，因此可以依据“SSS”的全等判定方法设计方案：首先用细绳在∠MAN的两条边上截取相等长度的线段AB=AC，再通过对折细绳得到等长的BD=CD，此时△ABD和△ACD三边对应相等，可证明两个三角形全等，进而得到对应角∠MAD=∠NAD，射线AD就是∠MAN的平分线。
【解析】
作法：
1. 用细绳在AM、AN边上分别截取$AB=AC$；
2. 取适当长度的细绳对折，得到绳子的中点D，将细绳两端分别固定在B、C两点，拉住中点D向外拉直BD、CD，在铁板上标记出点D的位置；
3. 用直尺作射线AD，则AD平分$∠ MAN$。
理由：
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC, \\BD=CD, \\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ MAD = ∠ NAD$（全等三角形的对应角相等），即AD平分$∠ MAN$。
【答案】
作法：① 用细绳在AM、AN边上截取$AB=AC$；② 取适当长度的细绳对折，得到绳子的中点D，将细绳两端固定在B、C两点，拉住中点向外拉直BD、CD，在铁板上标记出点D的位置；③ 用直尺作射线AD，则AD平分$∠ MAN$。
理由：在$△ ABD$和$△ ACD$中，$\begin{cases}AB=AC, \\BD=CD, \\AD=AD,\end{cases}$$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$，$\therefore ∠ MAD = ∠ NAD$，即AD平分$∠ MAN$。
【知识点】
SSS证三角形全等、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合实际生产场景，考查了全等三角形相关知识的实际应用，引导学生灵活利用现有工具，结合所学数学知识解决实际问题，充分体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7