例1 在平面直角坐标系中，$\odot P$的圆心坐标为$(3,4)$，半径为5，那么$y$轴与$\odot P$的位置关系是。

相交

【分析】
要判断y轴与⊙P的位置关系，需用到直线与圆的位置关系判定方法：先求出圆心到直线的距离d，再将d与圆的半径r比较大小，若d＜r则位置关系为相交，d=r为相切，d＞r为相离。本题中y轴是直线x=0，圆心P坐标为(3,4)，只需先算出圆心P到y轴的距离，再和半径5比较即可得出结论。
【解析】
判断直线与圆的位置关系，可通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小判断：
1. 计算圆心P(3,4)到y轴的距离：y轴对应的直线为x=0，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，即d=|3|=3；
2. 已知⊙P的半径r=5；
3. 比较大小：
∵3＜5，即d＜r，
∴y轴与⊙P的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定，点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础考查题，解题核心是熟练掌握位置关系的判定规则，能准确提取坐标的几何意义算出点到坐标轴的距离，是平面几何中非常典型的基础题型。
【难度系数】
0.8

变式1 已知$\odot O$的半径为2，直线l上有一点M。若$OM=2$，则直线l与$\odot O$的位置关系是（）

A.相交
B.相离或相交
C.相离或相切
D.相交或相切

D

【分析】
要判断直线l与$\odot O$的位置关系，核心是比较圆心O到直线l的距离$d$与圆半径$r=2$的大小关系。已知$OM=2$等于半径，但M只是直线l上的点，OM不一定是O到直线l的距离，因此需要分两种情况讨论：一是OM垂直于直线l，二是OM不垂直于直线l，结合垂线段最短的性质分别判断$d$和$r$的大小，即可确定位置关系。
【解析】
解：设圆心O到直线l的距离为$d$，$\odot O$的半径$r=2$。
直线与圆的位置关系判定规则：
①若$d＜r$，直线与圆相交；②若$d=r$，直线与圆相切；③若$d＞r$，直线与圆相离。
已知点M在直线l上，且$OM=2=r$，分两种情况分析：
1. 当$OM⊥ l$时，O到直线l的距离$d=OM=2=r$，此时直线l与$\odot O$相切；
2. 当OM与直线l不垂直时，根据垂线段最短的性质，O到直线l的距离$d＜OM=2=r$，此时直线l与$\odot O$相交。
综上，直线l与$\odot O$的位置关系为相交或相切，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 垂线段的性质
【点评】
本题易错点是误将OM的长度直接当作圆心到直线的距离，忽略OM与直线不垂直的情况，解题时需注意分类讨论，结合几何性质全面分析所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

变式2 直线$ l $与$ \odot O $相交，若$ \odot O $的半径为4 cm，则圆心$ O $到直线$ l $的距离$ d $4 cm。（填“＜”“＞”或“=”）

＜

【分析】
解题时首先要回忆直线与圆的三种位置关系对应的圆心到直线的距离d和圆半径r的数量关系，再根据题干给出的“直线与圆相交”的条件，对应找到d和r的大小关系，代入半径数值即可得到答案。
【解析】
直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离d、圆半径r的对应关系如下：
1. 直线与圆相离：$d＞r$；
2. 直线与圆相切：$d=r$；
3. 直线与圆相交：$d＜r$。
已知$\odot O$的半径$r=4\mathrm{cm}$，直线$l$与$\odot O$相交，因此对应关系为$d＜r$，即$d＜4\mathrm{cm}$。
【答案】
＜
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念题，核心考查直线与圆的位置关系和d、r大小的对应规则，牢记三类位置关系对应的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9

例2 如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，过点C作$CE⊥ AD$于点E。
(1)求$∠ DAB$的度数。
(2)证明：直线CE是$\odot O$的切线。

解:(1)连结OD,OC。
因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，
所以$∠ AOD=∠ DOC=∠ BOC=\frac{1}{3} × 180°=60°$。
因为$OD=OA$,所以$△ AOD$是等边三角形，
所以$∠ DAB=60°$。
(2)证明:因为$CE⊥ AD$于点E，
所以$∠ E=90°$。
因为$∠ BOC=∠ DAB=60°$，
所以$OC// AD$，
所以$∠ OCE=180°-∠ E=90°$。
因为OC是$\odot O$的半径,且$CE⊥ OC$，
所以直线CE是$\odot O$的切线。

【分析】
(1)求∠DAB的度数时，先利用“同圆中等弧所对的圆心角相等”的性质，结合AB是直径对应平角180°，可求出三个等弧对应的圆心角均为60°；再根据OA、OD都是圆的半径，相等，可判定△AOD是等边三角形，即可得到∠DAB的度数。
(2)证明CE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明CE垂直于半径OC。已知CE⊥AD，因此只需证明OC//AD即可；由第一问得到的∠BOC与∠DAB相等，可通过同位角相等推出OC//AD，进而得到∠OCE=90°，即可完成证明。
【解析】
(1) 连结OD、OC。
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠AOD=∠DOC=∠BOC=\frac{1}{3}×180°=60°$，
又
∵OA和OD都是⊙O的半径，即OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴$∠DAB=60°$。
(2) 证明：
∵CE⊥AD，
∴$∠E=90°$，
由(1)可得$∠BOC=∠DAB=60°$，
∴OC//AD（同位角相等，两直线平行），
∴$∠OCE+∠E=180°$，
代入∠E=90°得$∠OCE=90°$，即OC⊥CE，
又
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CE是⊙O的切线。
【答案】
解:(1)连结OD,OC。
因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，
所以$∠ AOD=∠ DOC=∠ BOC=\frac{1}{3} × 180°=60°$。
因为$OD=OA$,所以$△ AOD$是等边三角形，
所以$∠ DAB=60°$。
(2)证明:因为$CE⊥ AD$于点E，
所以$∠ E=90°$。
因为$∠ BOC=∠ DAB=60°$，
所以$OC// AD$，
所以$∠ OCE=180°-∠ E=90°$。
因为OC是$\odot O$的半径,且$CE⊥ OC$，
所以直线CE是$\odot O$的切线。

【知识点】
弧与圆心角的关系，等边三角形判定，切线的判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆的基本性质和切线的证明思路，连接圆心与待证切点是切线判定类问题的常用辅助线做法，这类题型是圆章节的高频考点，需要熟练掌握角度转化的方法。
【难度系数】
0.7

变式1 如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC经过AB的中点D，$CE// AB$，点F在$\odot O$上，连结CF，BF，下列结论中不正确的是（）

A.$∠ F=\frac{1}{2}∠ AOC$
B.$AB⊥ BF$
C.CE是$\odot O$的切线
D.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$

变式1题图 变式2题图

B

【分析】
解题时先结合已知条件“半径OC经过AB中点D”，优先运用垂径定理推导垂直、弧相等的基础结论，再逐一分析每个选项：1. 利用同弧所对圆周角和圆心角的关系判断A选项；2. 验证是否有条件能推出AB⊥BF，判断B选项；3. 结合平行线性质和切线判定定理判断C选项；4. 直接用垂径定理的弧相等结论判断D选项。
【解析】
∵半径OC经过AB的中点D，根据垂径定理可得：$OC⊥AB$，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故D选项结论正确，不符合题意；
对A选项：∠AOC是圆心角，对应弧为$\overset{\frown}{AC}$，∠F是圆周角，对应弧为$\overset{\frown}{BC}$，结合$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据圆周角定理“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，可得$∠F=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}∠AOC$，故A选项结论正确，不符合题意；
对C选项：
∵$CE//AB$，且$OC⊥AB$，
∴$OC⊥CE$，又OC是$\odot O$的半径，根据切线判定定理“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，可得CE是$\odot O$的切线，故C选项结论正确，不符合题意；
对B选项：题中仅说明点F在$\odot O$上，未给出CF是直径等可推出$∠ABF=90°$的条件，无法保证$AB⊥BF$，故B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【点评】
本题综合考查圆的基础性质，解题关键是熟练掌握垂径定理、圆周角与圆心角的关系、切线判定定理，注意未明确给出的条件不能随意默认，避免误判。
【难度系数】
0.7

变式2 如图，AB是$\odot O$的直径，AC与$\odot O$相切，A为切点，连结BC交$\odot O$于点D。已知$∠ ACB=50°$，则$∠ BAD$的度数为。

50°

【分析】
解题时先从已知条件入手：①AC是⊙O的切线，根据切线的性质可得切线垂直于过切点的半径，即AB⊥AC，得到∠BAC=90°；②AB是直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°。接下来可利用直角三角形两锐角互余的性质，先求出∠ABC的度数，再在Rt△ADB中计算∠BAD，也可直接利用同角的余角相等快速得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AC与⊙O相切，AB是⊙O的直径，A为切点
∴AB⊥AC（切线垂直于过切点的半径）
∴∠BAC=90°
在Rt△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 90°
已知∠ACB=50°，
∴∠ABC=90°-50°=40°
又
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）
在Rt△ADB中，∠BAD + ∠ABC = 90°
∴∠BAD=90°-40°=50°
【答案】
50°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查圆的常用性质与直角三角形角度计算的结合，熟练掌握切线性质、直径所对圆周角为直角这两个结论是解题的关键，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

变式3 如图，AB为$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D。
(1)求证：AC平分$∠ DAB$。
(2)若$CD=3$，$AD=5$，求$\odot O$的半径长。

解:(1)证明:如图1,连结OC，
因为CD为$\odot O$的切线,所以$OC⊥ CD$。
因为$AD⊥ CD$,所以$AD// OC$,所以$∠ 1=∠ 4$。
因为$OA=OC$,所以$∠ 2=∠ 4$，
所以$∠ 1=∠ 2$,所以AC平分$∠ DAB$。

(2)如图2,作$OE⊥ AD$于点E，
设$\odot O$的半径为$x$，
因为$AD⊥ CD$,$OE⊥ AD$,所以$OE// CD$。
由(1),可得$AD// OC$,所以四边形OEDC是矩形，
所以$OE=CD=3$,$AE=AD-DE=5-x$，
所以$3^2+(5-x)^2=x^2$，
解得$x=3.4$,所以$\odot O$的半径是3.4。

【分析】
(1)要证明AC平分∠DAB，即证∠DAC=∠CAB。遇到圆的切线时，常规辅助线是连接圆心与切点，因此先连接OC，由切线性质可得OC⊥CD，结合已知AD⊥CD可推出AD//OC，得到内错角相等；再利用OA、OC均为半径，等腰三角形等边对等角的性质，通过等量代换即可证明两个角相等，得到AC平分∠DAB。
(2)要求⊙O的半径，可构造直角三角形利用勾股定理求解。过O作OE⊥AD于E，结合(1)中AD//OC的结论，可证得四边形OEDC是矩形，将已知的CD=3、AD=5转化为直角三角形OAE的边长，设半径为x，将OA、OE、AE用含x的式子表示，代入勾股定理列方程即可求解半径长度。
【解析】
(1)证明：如图1，连结OC，
因为CD为$\odot O$的切线，所以$OC⊥ CD$。
因为$AD⊥ CD$，所以$AD// OC$，所以$∠ 1=∠ 4$。
因为$OA=OC$，所以$∠ 2=∠ 4$，
所以$∠ 1=∠ 2$，所以AC平分$∠ DAB$。

(2)解：如图2，作$OE⊥ AD$于点E，
设$\odot O$的半径为$x$，
因为$AD⊥ CD$，$OE⊥ AD$，所以$OE// CD$。
由(1)可得$AD// OC$，所以四边形OEDC是矩形，
所以$OE=CD=3$，$AE=AD-DE=5-x$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得$OE^2+AE^2=OA^2$，即$3^2+(5-x)^2=x^2$，
解得$x=3.4$，所以$\odot O$的半径是3.4。

【答案】
(1)AC平分$∠ DAB$，证明成立；
(2)$\odot O$的半径长为$\boldsymbol{3.4}$。


【知识点】
切线的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考察“见切线连半径”的常用辅助线作法，第一问结合平行线性质、等腰三角形性质即可完成角平分线的证明，第二问通过构造矩形转化边长，利用勾股定理建立方程求解，体现了几何推理与方程思想的结合，掌握基础辅助线作法是解题的关键。
【难度系数】
0.7