10. 如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连结OB，IA。若∠OBC = 20°，则∠CAI的度数为（）

A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

D

【分析】
解题时先回忆三角形外心、内心的性质以及圆周角定理：①外心是外接圆圆心，到三角形三个顶点的距离相等，即OB=OC；②同弧所对的圆周角是圆心角的一半；③内心是三角形角平分线的交点，AI平分∠BAC。首先利用等腰三角形性质求出∠BOC的度数，再用圆周角定理得到∠BAC的度数，最后根据角平分线的性质计算∠CAI即可。
【解析】
∵O是△ABC外接圆的圆心（外心）
∴OB=OC
∴∠OCB=∠OBC=20°
在△OBC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-20°-20°=140°$
根据圆周角定理，同弧BC所对的圆周角∠BAC是圆心角∠BOC的一半：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$
又
∵I是△ABC的内心
∴AI是∠BAC的角平分线
∴$∠ CAI=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$
【答案】
D
【知识点】
外心的性质；圆周角定理；内心的性质
【点评】
本题是三角形相关性质的基础综合题，解题的核心是准确区分外心和内心的性质，结合圆周角定理逐步推导角度，需要熟练掌握特殊点的几何性质。
【难度系数】
0.7

11. 已知$AC ⊥ BC$于点C，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，下列选项中$\odot O$的半径为$\frac{ab}{a+b}$的是（）

C

【分析】
要判断哪个选项中⊙O的半径为$\frac{ab}{a+b}$，我们可以结合圆的切线性质（圆心到切线的距离等于半径），通过构造相似三角形，分别求出每个选项中圆的半径，再和目标表达式对比即可。解题时先观察每个选项中圆与直角三角形三边的位置关系，再建立半径与三角形边长$a、b$的等量关系求解。
【解析】
已知$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，逐个分析选项：
1. 选项A：该圆是$△ ABC$的内切圆，根据内切圆半径计算方法，由面积法得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，解得$r=\frac{ab}{a+b+c}≠\frac{ab}{a+b}$，不符合要求。
2. 选项B：设半径为$r$，圆心$O$在$AC$上，圆与$BC$切于$C$、与$AB$相切，过$O$作$OD⊥ AB$于$D$，则$OD=OC=r$，$AO=b-r$。由$∠ A=∠ A$，$∠ ADO=∠ ACB=90°$，得$△ AOD∽△ ABC$，因此$\frac{AO}{AB}=\frac{OD}{BC}$，即$\frac{b-r}{c}=\frac{r}{a}$，解得$r=\frac{ab}{a+c}≠\frac{ab}{a+b}$，不符合要求。
3. 选项C：设半径为$r$，圆与$AC、BC$均相切，过$O$作$OD⊥ BC$于$D$，$OE⊥ AC$于$E$，由$∠ C=90°$，得四边形$ODCE$是正方形，故$OD=OE=r$，$BD=a-r$。由$OD// AC$，得$△ BOD∽△ BAC$，因此$\frac{OD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{r}{b}=\frac{a-r}{a}$，整理得$ar=ab-br$，即$r(a+b)=ab$，解得$r=\frac{ab}{a+b}$，符合要求。
4. 选项D：圆与$AB$所在直线、$BC$所在直线相切，通过切线长定理或相似三角形推导可得其半径不等于$\frac{ab}{a+b}$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，相似三角形的应用，内切圆半径计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题，核心是利用切线的性质得到半径与三角形边长的关联，再通过相似三角形建立方程求解半径，解题时需注意观察不同位置下圆与三角形边的相切关系，避免混淆等量条件。
【难度系数】
0.6

12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = ∠ ABC$，点$M$在$AB$边上，连结$CM$，点$N$是$△ ACM$的内心，连结$CN$，若$∠ NCB = 50°$，则$∠ CMB =$ °。

80

【分析】
解题时首先利用等角对等边可知△ABC是等腰三角形，再结合三角形内心的性质：内心是三角形三条内角平分线的交点，可得CN平分∠ACM，我们可以设∠ACN=x，用含x的代数式分别表示出∠MCB、∠ABC的度数，最后在△CMB中利用三角形内角和定理计算∠CMB即可，计算时参数x会抵消，无需算出x的具体值。
【解析】
设∠ACN = x，
∵点N是△ACM的内心，
∴CN平分∠ACM，即∠ACM=2x，∠NCM=∠ACN=x。
已知∠NCB=50°，且∠NCB=∠NCM+∠MCB，
∴∠MCB=50°-x。
∴∠ACB=∠ACM+∠MCB=2x+(50°-x)=x+50°，
又
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC=x+50°。
在△CMB中，由三角形内角和为180°得：
∠CMB=180°-∠MCB-∠ABC
=180°-(50°-x)-(x+50°)
=180°-50°+x-x-50°
=80°
【答案】
80
【知识点】
三角形内心的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查角度的计算，解题的关键是熟练掌握三角形内心的性质得到角的等量关系，合理设参数，利用“设而不求”的思路消去参数得到结果，是几何角度计算中常用的技巧。
【难度系数】
0.65

13. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为AC边上一点,$\odot I$为$△ ABD$的内切圆,G,E,F为切点。
(1)求证:$BE=CF$。
(2)若$BD=10$,$CD=4$,求$BE$的长。

解:(1)证明:因为⊙I为△ABD的内切圆,
所以 AG=AF,BG=BE。
因为 AB=AC,所以 BG=CF,所以 BE=CF。
(2)因为⊙I为△ABD的内切圆,所以 DF=DE。
设 DF=DE=x,因为 CD=4,所以 CF=4+x。
因为 BE=CF,所以 BE=4+x,
所以 BD=BE+DE=4+x+x=4+2x。
因为 BD=10,所以 4+2x=10,
解得 x=3,所以 BE=4+x=7,
即 BE 的长为 7。

【分析】
(1)要证明BE=CF，首先利用三角形内切圆的切线长定理，得到从同一点引内切圆的两条切线长相等，即AG=AF、BG=BE，再结合已知AB=AC，通过线段的和差关系推导得到BG=CF，即可推出BE=CF；(2)求BE的长度时，仍依据切线长定理得到DE=DF，设未知数表示两条等长的切线，再结合线段和的关系列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：
∵⊙I为△ABD的内切圆，G、E、F为切点，
∴根据切线长定理可得：$AG=AF$，$BG=BE$。
∵$AB=AC$，且$AB=AG+BG$，$AC=AF+CF$，
∴$AG+BG=AF+CF$，结合$AG=AF$，可得$BG=CF$，
∴$BE=CF$。
(2)解：
∵⊙I为△ABD的内切圆，E、F为切点，
∴根据切线长定理可得：$DF=DE$。
设$DF=DE=x$，
∵$CD=4$，
∴$CF=CD+DF=4+x$，
由(1)的结论$BE=CF$，得$BE=4+x$，
又
∵$BD=BE+DE$，且$BD=10$，
∴$4+x+x=10$，即$4+2x=10$，
解得$x=3$，
∴$BE=4+x=4+3=7$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\boxed{7}$
【知识点】
切线长定理；等腰三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内切圆的基础常考题，核心考查切线长定理的应用，第一问结合等腰三角形的边的性质即可完成证明，第二问通过切线长的等量关系设未知数列方程求解，解题关键是理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

14. 已知锐角三角形ABC内接于$\odot O$，点I是$△ ABC$的内心，连结AI并延长交$\odot O$于点D，过点D作BC的平行线l。
(1)求证：直线l与$\odot O$相切。
(2)若$\odot O$半径为5，$BC=8$。连结BD，求证：$DI=DB$。

证明:(1)如图 1,连结 OD,由题意可得,AD 平分∠BAC,
所以∠BAD=∠CAD,所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$,
所以 D 是$\overset{\frown}{BC}$的中点,所以 OD⊥BC。
因为直线 l//BC,所以 OD⊥l。
因为 OD 是⊙O 的半径,所以直线 l 与⊙O 相切。
(2)如图 2,连结 BI,由(1)得,∠BAD=∠CAD,
又 ∠CBD = ∠CAD, 所以 ∠BAD = ∠CBD =∠CAD。
因为点 I 是△ABC 的内心,所以 BI 平分∠ABC,
所以∠ABI=∠CBI。
因为∠BID=∠ABI+∠BAD,∠IBD=∠CBI +∠CBD,
所以∠BID=∠IBD,所以 DI=DB。

【分析】
(1)证明切线的核心是证明直线垂直于过切点的半径：首先由AI是△ABC的角平分线，可得∠BAD=∠CAD，进而推出弧BD和弧CD相等，得到D是弧BC的中点，根据垂径定理可知OD垂直BC；再结合l平行BC，即可推出OD垂直直线l，满足切线的判定条件。
(2)证明两条线段相等可通过证明对应的角相等：先利用圆周角定理得到∠CBD=∠CAD，结合(1)的结论可得∠BAD=∠CBD；再根据三角形内心的性质可知BI平分∠ABC，即∠ABI=∠CBI；最后利用三角形外角的性质，分别推导∠BID和∠IBD的组成，即可证明两角相等，进而得到DI=DB。
【解析】
(1)如图1，连结OD，由题意可得，AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，
所以D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以OD⊥BC。
因为直线$l// BC$，所以OD⊥l。
因为OD是⊙O的半径，所以直线l与⊙O相切。
(2)如图2，连结BI，由(1)得，∠BAD=∠CAD，
又 ∠CBD = ∠CAD， 所以 ∠BAD = ∠CBD =∠CAD。
因为点I是△ABC的内心，所以BI平分∠ABC，
所以∠ABI=∠CBI。
因为∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI +∠CBD，
所以∠BID=∠IBD，所以DI=DB。
【答案】
证明:(1)如图 1,连结 OD,由题意可得,AD 平分∠BAC,
所以∠BAD=∠CAD,所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$,
所以 D 是$\overset{\frown}{BC}$的中点,所以 OD⊥BC。
因为直线 l//BC,所以 OD⊥l。
因为 OD 是⊙O的半径,所以直线 l 与⊙O相切。
(2)如图 2,连结 BI,由(1)得,∠BAD=∠CAD,
又 ∠CBD = ∠CAD, 所以 ∠BAD = ∠CBD =∠CAD。
因为点 I 是△ABC 的内心,所以 BI 平分∠ABC,
所以∠ABI=∠CBI。
因为∠BID=∠ABI+∠BAD,∠IBD=∠CBI +∠CBD,
所以∠BID=∠IBD,所以 DI=DB。
【知识点】
切线的判定；三角形内心的性质；圆周角定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与三角形角平分线、外角的应用，解题时需根据求证目标逆向推导所需条件，合理添加辅助线，熟练掌握基础定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7