1. 将多项式$x^2 - 4y^2$分解因式，结果正确的是().

A.$(x-2y)^2$
B.$(x+2y)(x-2y)$
C.$(x-4y)^2$
D.$(x+4y)(x-4y)$

B

【分析】
首先回忆因式分解的常用方法，第一步先观察多项式是否有公因式，本题中多项式$x^2-4y^2$没有公因式，再判断是否符合公式法分解的特征：该多项式是两个项的差，且两项都可以写成平方的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可以套用平方差公式分解，最后也可以通过将选项展开与原式对比验证结果。
【解析】
首先将多项式变形为平方差的标准形式：
$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x$，$b=2y$，代入得：
$x^2 - (2y)^2 = (x+2y)(x-2y)$
也可通过展开选项验证：
A选项：$(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2$，与原式不符，错误；
B选项：$(x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2$，与原式一致，正确；
C选项：$(x-4y)^2=x^2-8xy+16y^2$，与原式不符，错误；
D选项：$(x+4y)(x-4y)=x^2-16y^2$，与原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，解题时需先确认多项式满足“两项、异号、两项均为平方形式”的平方差公式特征，再准确对应公式中的a和b进行分解，也可通过整式乘法逆运算验证分解结果的正确性。
【难度系数】
0.9

2. 老师在课堂上布置了如下题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，这道题目的序号是().
用平方差公式分解因式：
①$x^2 - y^2$；②$-x^2 - y^2$；
③$-x^2 + y^2$；④$4m^2 -25n^2$.

A.①
B.②
C.③
D.④

B

【分析】
要判断哪道题不能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式的结构特征：能用平方差公式分解的多项式必须是两个数的平方差的形式，也就是形如$a^2 - b^2$，两个平方项的符号相反。我们只需要逐个分析四个式子是否符合这个特征，就能找到错误的题目。
【解析】
平方差公式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，适用的多项式需满足：是二项式，两项都可写成平方形式，且两项符号相反。
①$x^2 - y^2$：$x^2$、$y^2$为平方项，符号一正一负，符合平方差特征，可分解为$(x+y)(x-y)$；
②$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$：两项变形后为平方和的形式，符号相同，不符合平方差的结构，不能用平方差公式分解；
③$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2$：$y^2$、$x^2$为平方项，符号一正一负，符合特征，可分解为$(y+x)(y-x)$；
④$4m^2 - 25n^2 = (2m)^2 - (5n)^2$：两项都是平方项，符号一正一负，符合特征，可分解为$(2m+5n)(2m-5n)$。
因此不能用平方差公式分解的是②，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式；平方差公式的结构特征
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对平方差公式适用条件的掌握，只要抓住“两个平方项符号相反”的核心特点，就能快速做出判断，是因式分解部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

3. 分解因式：
(1)$(x+3)^2 -16$；
(2)$9(x-y)^2 -4(x+y)^2$。

解：(1)原式$=(x+3)^2-4^2=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)$.
(2)原式$=[3(x-y)]^2-[2(x+y)]^2=[3(x-y)+2(x+y)][3(x-y)-2(x+y)]=(3x-3y+2x+2y)·(3x-3y-2x-2y)=(5x-y)(x-5y)$.

【分析】
这两道因式分解题均可运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$求解，解题思路如下：1. 先将原式变形为两个整式的平方作差的形式，准确识别出公式中的$a$和$b$；2. 代入平方差公式展开；3. 对展开后的式子去括号、合并同类项，化简到不能再分解为止。
第(1)题中，$(x+3)^2$对应公式里的$a^2$，$16=4^2$对应$b^2$，直接套公式即可。第(2)题中，$9(x-y)^2=[3(x-y)]^2$对应$a^2$，$4(x+y)^2=[2(x+y)]^2$对应$b^2$，套公式后注意去括号时的符号变化，再合并同类项。
【解析】
(1) 先把16改写为$4^2$，符合平方差的形式：
原式$=(x+3)^2 - 4^2$
根据平方差公式分解得：$=(x+3+4)(x+3-4)$
合并同类项化简得：$=(x+7)(x-1)$
(2) 先把原式改写为两个平方的差的形式：
原式$=[3(x-y)]^2 - [2(x+y)]^2$
根据平方差公式分解得：$=[3(x-y)+2(x+y)][3(x-y)-2(x+y)]$
分别去括号：$=(3x-3y+2x+2y)(3x-3y-2x-2y)$
合并同类项化简得：$=(5x-y)(x-5y)$
【答案】
(1)$(x+7)(x-1)$；(2)$(5x-y)(x-5y)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 去括号法则
3. 合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握平方差公式的结构特征，解题时需准确对应公式中的$a$、$b$，分解后要注意化简结果，保证每个因式都不能再分解为止，去括号时要留心符号避免出错。
【难度系数】
0.8

4. 利用因式分解计算：$75^2 - 5^4$

解：原式$=75^2-(5^2)^2=(75+5^2)×(75-5^2)=100×50=5\ 000$.

【分析】
解题时先观察算式特征，发现算式中两项都可以转化为平方的形式：$5^4$可利用幂的乘方的逆运算变形为$(5^2)^2$，此时原式变为$75^2$与$25^2$的差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，因此先套用平方差公式因式分解，再计算加减乘法即可，比直接计算平方再相减更简便。
【解析】
解：原式$=75^2-(5^2)^2$
$=(75+5^2)×(75-5^2)$
$=(75+25)×(75-25)$
$=100×50$
$=5000$
【答案】
$5000$
【知识点】
平方差公式因式分解，幂的乘方运算，有理数简便计算
【点评】
本题是利用因式分解进行简便运算的典型题目，核心是识别出算式的平方差结构，熟练掌握相关公式即可快速求解，能有效降低大数运算的出错率。
【难度系数】
0.8

5. 若计算$(a+b+c)·M$的结果是$c^2-(a+b)^2$，则整式$M=$.

$c-a-b$

【分析】
要确定整式M，根据乘法和除法互为逆运算，可知M等于乘积结果$c^2-(a+b)^2$除以已知因式$(a+b+c)$。观察乘积结果的形式，符合平方差公式的结构特征，因此先利用平方差公式对$c^2-(a+b)^2$进行因式分解，再通过整式除法约分化简即可求出M。
【解析】
解：由题意得：
$M=[c^2-(a+b)^2]÷(a+b+c)$
根据平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，将分子因式分解，令$x=c$，$y=a+b$，可得：
$c^2-(a+b)^2=(c+a+b)(c-(a+b))=(a+b+c)(c-a-b)$
代入上式得：
$M=(a+b+c)(c-a-b)÷(a+b+c)$
约去公因式$a+b+c$（整式运算默认公因式不为0），得：
$M=c-a-b$
【答案】
$c-a-b$
【知识点】
平方差公式，因式分解，整式除法
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过逆用乘法运算转化为因式分解后化简求解，易错点是去括号时注意符号变化。
【难度系数】
0.8

6.（新定义）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”.例如：$8=3^2 -1^2$，$16=5^2 -3^2$，因此8，16都是“登高数”.请判断320是否为“登高数”，并说明理由.

解：320是“登高数”. 理由如下：设 $320=(2n+1)^2-(2n-1)^2$，其中 $n$ 是正整数. $\because(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n$，$\therefore8n=320$，解得 $n=40$. $\therefore320=81^2-79^2$，即 320 是“登高数”.

【分析】
解决本题首先要准确理解“登高数”的定义，再按以下思路推导：第一步，用含正整数n的代数式表示两个连续正奇数（较小奇数为2n-1，较大奇数为2n+1，n为正整数）；第二步，利用平方差公式对两个连续奇数的平方差化简，得到登高数的通用表达式；第三步，将320代入通用表达式求解n，若n为正整数则320是登高数，反之则不是。
【解析】
320是“登高数”，理由如下：
设 $320=(2n+1)^2-(2n-1)^2$，其中 $n$ 是正整数。
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对等式右边化简：
$\because(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n$
$\therefore8n=320$，解得 $n=40$，n是正整数，符合要求。
此时两个连续正奇数为$2×40+1=81$，$2×40-1=79$，即$320=81^2-79^2$。
【答案】
320是“登高数”。
【知识点】
平方差公式，新定义理解，代数式化简
【点评】
本题以新定义为背景考查平方差公式的应用，核心是需要将连续奇数转化为代数式，通过公式化简找到登高数的本质特征，再代入数值验证即可，侧重考查知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.75

7. 观察下列式子的因式分解做法：
①$x^2 -1=(x-1)(x+1)$；
②$x^3 -1=(x-1)(x^2 +x +1)$；
③$x^4 -1=(x-1)(x^3 +x^2 +x +1)$。
(1)仿照以上做法，对$x^5 -1$进行因式分解：$x^5 -1=\underline{\hspace{6cm}}$；
(2)猜想：$x^n -1=\underline{\hspace{6cm}}$（$n$为正整数）；
(3)根据上述规律，求$2^6 +2^5 +2^4 +2^3 +2^2 +2 +1$的值。

(1)$(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)$
(2)$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)$
(3)解：根据上述规律，可得原式$=(2-1)×(2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1)=2^7-1=127$.

【分析】
本题是规律探究类因式分解题，解题思路如下：①先观察给出的3个因式分解示例，提炼结构共性：分解后均含因式$(x-1)$，另一个因式是按x降幂排列的多项式，最高次比原式中x的次数小1，最低次为常数1，各项系数均为1；②依据得到的规律完成第(1)(2)问的因式分解；③第(3)问逆用推导的规律，给待求式乘数值为1的$(2-1)$，凑成规律中式子的结构，转化为幂的减法简化计算。
【解析】
(1) 观察已知式子的规律：当x的次数为k时，$x^k-1=(x-1)(x^{k-1}+x^{k-2}+\dots+x+1)$，取k=5，可得$x^5 -1=(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)$。
(2) 将规律推广到任意正整数n，可得$x^n -1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)$。
(3) 逆用上述规律，给待求式乘$(2-1)$（$2-1=1$，不改变原式大小）：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)×(2^6 +2^5 +2^4 +2^3 +2^2 +2 +1)\\&=2^7 -1\\&=128-1\\&=127\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)$
(2)$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)$
(3)$127$
【知识点】
因式分解规律探究，整式乘法逆用，幂的运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，既考查学生从已知示例中归纳共性、推导一般结论的逻辑推理能力，也考查对规律的灵活逆用能力，能有效锻炼学生的运算灵活性。
【难度系数】
0.7