9. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2$,$BC=4$。以点$B$为圆心,$BA$为半径画弧,与$BC$边交于点$E$;以点$C$为圆心,$CB$为半径画弧,与$AD$边交于点$F$,两条弧交于点$G$。设$\overset{\frown}{BG}$,$\overset{\frown}{GE}$和线段$BE$围成的图形的面积为$S_1$,$\overset{\frown}{AG}$,$\overset{\frown}{GF}$和线段$AF$围成的图形的面积为$S_2$,求$S_1 - S_2$的值。

9. $S_1-S_2=S_{\mathrm{扇形}ABE}+S_{\mathrm{扇形}BCF}+S_{△ CDF}-S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{7}{3}π+2\sqrt{3}-8$。

【分析】
直接求解$S_1$、$S_2$的面积难度较大，因此采用割补转化的思路：观察图形的面积组成，可将$S_1-S_2$转化为规则图形的面积和差计算，即$S_1-S_2=S_{\mathrm{扇形}ABE}+S_{\mathrm{扇形}BCF}+S_{△ CDF}-S_{\mathrm{矩形}ABCD}$，只需分别计算各规则图形的面积代入即可。
【解析】
1. 计算矩形$ABCD$的面积：
矩形中$AB=2$，$BC=4$，因此$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=2×4=8$。
2. 计算扇形$ABE$的面积：
扇形$ABE$以$B$为圆心，$BA=2$为半径，圆心角$∠ ABE=90°$，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得：
$S_{\mathrm{扇形}ABE}=\frac{90π×2^2}{360}=π$。
3. 计算扇形$BCF$的面积：
由题意得$CF=BC=4$，矩形中$CD=AB=2$，$∠ D=90°$，在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\cos∠ DCF=\frac{CD}{CF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，因此$∠ DCF=60°$，则$∠ BCF=90°-∠ DCF=30°$。
代入扇形面积公式得：
$S_{\mathrm{扇形}BCF}=\frac{30π×4^2}{360}=\frac{4π}{3}$。
4. 计算$△ CDF$的面积：
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，因此：
$S_{△ CDF}=\frac{1}{2}× CD× DF=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
5. 代入计算$S_1-S_2$：
$S_1-S_2=S_{\mathrm{扇形}ABE}+S_{\mathrm{扇形}BCF}+S_{△ CDF}-S_{\mathrm{矩形}ABCD}=π+\frac{4π}{3}+2\sqrt{3}-8=\frac{7π}{3}+2\sqrt{3}-8$。
【答案】
$\frac{7}{3}π + 2\sqrt{3} - 8$
【知识点】
扇形面积计算，矩形的性质，解直角三角形
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题型，解题关键是灵活运用割补转化思想，将无法直接计算的不规则图形面积差转化为熟悉的规则图形面积的和差运算，解题时需注意准确求解扇形的圆心角，避免角度计算出错。
【难度系数】
0.6