完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的，加上(或减去)它们的积的。
用字母表示为$(a+b)^2=$，
$(a-b)^2=$。

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。用字母表示为$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$。

典例1 运用完全平方公式计算：
(1)$(2x+3y)^2$；
(2)$(\frac{1}{3}m - \frac{1}{2}n)^2$；
(3)$(3x-y)^2 - (x-2y)(x+2y)$。

(1)$(2x+3y)^2$
$=(2x)^2 + 2·(2x)·(3y)+(3y)^2$
$=4x^2 +12xy +9y^2.$
(2)$(\frac{1}{3}m - \frac{1}{2}n)^2$
$=(\frac{1}{3}m)^2 -2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2$
$=\frac{1}{9}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{1}{4}n^2.$
(3)$(3x - y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$
$=9x^2 -6xy + y^2 -x^2 +4y^2$
$=8x^2 -6xy +5y^2.$

举一反三 运用完全平方公式计算：
(1)$(-cd+\dfrac{1}{2})^2$；
(2)$(-a-b)^2$；
(3)$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2$。

解 (1)$(-cd+\frac{1}{2})^2=(\frac{1}{2}-cd)^2=(\frac{1}{2})^2 - 2·(cd)·(\frac{1}{2})+(cd)^2=\frac{1}{4}-cd+c^2d^2.$
(2)$(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$
(3)$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2=9y^2-16x^2-16x^2-24xy-9y^2=-32x^2-24xy.$

典例2 (1)运用完全平方公式计算：
①$50.01^2$；
②$49.9^2$。
(2)已知$(x+y)^2=16,(x-y)^2=4$，求$xy$的值。
规律方法 (1)运用完全平方公式进行计算时，关键是把已知数拆成适当两数(容易平方的数)的和或差的形式。
(2)完全平方公式的常见变形：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$；
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；
$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$。
举一反三 (1)计算：
①$105^2$；
②$199^2$。
(2)若$(a+b)^2=13,(a-b)^2=7$，求$a^2+b^2$和$ab$的值。

解 (1)①$105^2=(100+5)^2=100^2+2×100×5+5^2=10000+1000+25=11025.$
②$199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40000-400+1=39601.$
(2)$\because (a+b)^2=13,(a-b)^2=7,$
$\therefore a^2+2ab+b^2=13,①$
$a^2-2ab+b^2=7,②$
①+②,得$2a^2+2b^2=20,\therefore a^2+b^2=10.$
①-②,得$4ab=6,\therefore ab=\frac{3}{2}.$