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1.(2025·扬州江都区期末)⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O （
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交
A
）A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，即可判断直线和圆的位置关系。首先从题干中提取两个关键量：⊙O的半径r=2，圆心O到直线l的距离d=3，接下来比较d和r的大小，再对应到相应的位置关系就能得到答案。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 当d ＜ r时，直线与圆相交；
2. 当d = r时，直线与圆相切；
3. 当d ＞ r时，直线与圆相离。
由题可知，⊙O的半径r=2，圆心O到直线l的距离d=3，显然3＞2，即d＞r，因此直线l与⊙O相离。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查直线与圆位置关系的判定，只需牢记d与r的大小对应关系即可快速求解，是对基础概念掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，即可判断直线和圆的位置关系。首先从题干中提取两个关键量：⊙O的半径r=2，圆心O到直线l的距离d=3，接下来比较d和r的大小，再对应到相应的位置关系就能得到答案。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 当d ＜ r时，直线与圆相交；
2. 当d = r时，直线与圆相切；
3. 当d ＞ r时，直线与圆相离。
由题可知，⊙O的半径r=2，圆心O到直线l的距离d=3，显然3＞2，即d＞r，因此直线l与⊙O相离。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查直线与圆位置关系的判定，只需牢记d与r的大小对应关系即可快速求解，是对基础概念掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.9
2.(2025·宿迁沭阳县期末)如图，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，若$∠ C=70°$，则$∠ P$的度数为（
A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
C
）A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：PA、PB是圆的切线，可优先考虑切线的性质；已知圆周角∠C的度数，可结合圆周角定理求出对应圆心角的度数。具体步骤：①连接OA、OB，根据切线性质得到两个直角；②利用同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出∠AOB的度数；③根据四边形内角和为360°，代入计算即可得到∠P的度数。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵$∠ C$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理得：$∠ AOB=2∠ C=2×70°=140°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴$∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-140°=40°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是合理连接辅助线构造圆心角，熟练掌握切线性质和圆周角定理即可快速求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：PA、PB是圆的切线，可优先考虑切线的性质；已知圆周角∠C的度数，可结合圆周角定理求出对应圆心角的度数。具体步骤：①连接OA、OB，根据切线性质得到两个直角；②利用同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出∠AOB的度数；③根据四边形内角和为360°，代入计算即可得到∠P的度数。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵$∠ C$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理得：$∠ AOB=2∠ C=2×70°=140°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴$∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-140°=40°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是合理连接辅助线构造圆心角，熟练掌握切线性质和圆周角定理即可快速求解，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
3.(2025·宿迁沭阳县一模)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若$∠ BAC=55°$,则$∠ DBC$的度数是 (
A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$35°$
D
)A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$35°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：BD经过圆心O，可判断BD是圆的直径，根据直径的性质可得其所对的圆周角∠BCD为90°，即△BCD是直角三角形；要计算∠DBC的度数，需要先求出Rt△BCD中另一个锐角∠BDC的度数，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BDC与已知的∠BAC相等，最后利用直角三角形两锐角互余即可算出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵BD经过圆心O，
∴BD是⊙O的直径，
根据直径所对的圆周角为直角，得∠BCD=90°。
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，得∠BDC=∠BAC=55°。
在Rt△BCD中，∠DBC + ∠BDC = 90°，
∴∠DBC=90° - 55°=35°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握圆周角相关推论，找到已知角和待求角之间的关联，是圆相关考点中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：BD经过圆心O，可判断BD是圆的直径，根据直径的性质可得其所对的圆周角∠BCD为90°，即△BCD是直角三角形；要计算∠DBC的度数，需要先求出Rt△BCD中另一个锐角∠BDC的度数，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BDC与已知的∠BAC相等，最后利用直角三角形两锐角互余即可算出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵BD经过圆心O，
∴BD是⊙O的直径，
根据直径所对的圆周角为直角，得∠BCD=90°。
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，得∠BDC=∠BAC=55°。
在Rt△BCD中，∠DBC + ∠BDC = 90°，
∴∠DBC=90° - 55°=35°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握圆周角相关推论，找到已知角和待求角之间的关联，是圆相关考点中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
4.(2025·宿迁宿豫区期中)如图,我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形的内切圆半径为6,且圆心到大正方形中心的距离为$\sqrt{170}$,则大正方形的边长为 (
A.25
B.26
C.30
D.34
D
)A.25
B.26
C.30
D.34
答案
4.D
解析
【分析】要解决本题，首先明确大正方形的边长等于直角三角形的斜边长，设为c，直角三角形两直角边为a、b。第一步，根据直角三角形内切圆半径公式，可得到a+b与c的关系；第二步，利用圆心到大正方形中心的距离，结合几何关系可得到(b-a)与c的关系；第三步，联立勾股定理，构造关于c的方程求解即可。
【解析】设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c（即大正方形的边长）。
1. 根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，已知$r=6$，代入得：
$\frac{a+b-c}{2}=6$，整理得$a+b=c+12$①。
2. 已知圆心到大正方形中心的距离为$\sqrt{170}$，由几何关系和两点距离公式，两边平方后整理得：
$(b-a)^2+(c-12)^2=4×(\sqrt{170})^2=680$②。
3. 由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$③。
将①两边平方：$(a+b)^2=(c+12)^2$，展开得$a^2+2ab+b^2=c^2+24c+144$，代入③得$2ab=24c+144$。
又因为$(b-a)^2=a^2+b^2-2ab$，代入$a^2+b^2=c^2$和$2ab=24c+144$，得$(b-a)^2=c^2-24c-144$④。
将④代入②：$c^2-24c-144+(c-12)^2=680$，展开化简：
$c^2-24c-144+c^2-24c+144=680$，即$2c^2-48c-680=0$，两边除以2得$c^2-24c-340=0$。
解该一元二次方程：$c=\frac{24\pm\sqrt{24^2+4×340}}{2}=\frac{24\pm44}{2}$，由于边长为正，故$c=\frac{24+44}{2}=34$。
【答案】D
【知识点】直角三角形内切圆性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】本题结合赵爽弦图考查几何综合计算，将古代数学文化与初中几何知识结合，解题的关键是梳理各线段的数量关系，灵活运用方程思想求解。
【难度系数】0.55
【解析】设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c（即大正方形的边长）。
1. 根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，已知$r=6$，代入得：
$\frac{a+b-c}{2}=6$，整理得$a+b=c+12$①。
2. 已知圆心到大正方形中心的距离为$\sqrt{170}$，由几何关系和两点距离公式，两边平方后整理得：
$(b-a)^2+(c-12)^2=4×(\sqrt{170})^2=680$②。
3. 由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$③。
将①两边平方：$(a+b)^2=(c+12)^2$，展开得$a^2+2ab+b^2=c^2+24c+144$，代入③得$2ab=24c+144$。
又因为$(b-a)^2=a^2+b^2-2ab$，代入$a^2+b^2=c^2$和$2ab=24c+144$，得$(b-a)^2=c^2-24c-144$④。
将④代入②：$c^2-24c-144+(c-12)^2=680$，展开化简：
$c^2-24c-144+c^2-24c+144=680$，即$2c^2-48c-680=0$，两边除以2得$c^2-24c-340=0$。
解该一元二次方程：$c=\frac{24\pm\sqrt{24^2+4×340}}{2}=\frac{24\pm44}{2}$，由于边长为正，故$c=\frac{24+44}{2}=34$。
【答案】D
【知识点】直角三角形内切圆性质；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】本题结合赵爽弦图考查几何综合计算，将古代数学文化与初中几何知识结合，解题的关键是梳理各线段的数量关系，灵活运用方程思想求解。
【难度系数】0.55
5.(2025·云南)已知$\odot O$的半径为5 cm.若点P在$\odot O$上,则点P到圆心O的距离为
5
cm.答案
5.5
解析
【分析】
解题时先回忆点与圆的位置关系对应的判定规律：若点在圆上，则该点到圆心的距离等于圆的半径。本题已经给出圆的半径长度，且明确点P在圆上，直接对应规律即可得出结果。
【解析】
根据圆的基本性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径。
已知$\odot O$的半径为5 cm，且点P在$\odot O$上，因此点P到圆心O的距离与$\odot O$的半径相等，即为5 cm。
【答案】
5
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆点与圆的位置关系对应的判定规律：若点在圆上，则该点到圆心的距离等于圆的半径。本题已经给出圆的半径长度，且明确点P在圆上，直接对应规律即可得出结果。
【解析】
根据圆的基本性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径。
已知$\odot O$的半径为5 cm，且点P在$\odot O$上，因此点P到圆心O的距离与$\odot O$的半径相等，即为5 cm。
【答案】
5
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6.若$△ ABC$的周长为30 cm，面积为30 $\mathrm{cm}^2$，则$△ ABC$内切圆的半径为
2
cm.答案
6.2
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心到三角形三边的距离都等于内切圆半径r。我们可以把△ABC分割成三个分别以三边为底、r为高的小三角形，三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，由此可推导出原三角形面积、周长与内切圆半径的关系式，再代入已知的周长和面积数值，就能求出r的值。
【解析】
设△ABC的内切圆半径为$r$，三边长分别为$a$、$b$、$c$，
由题可知：$a+b+c=30\ \mathrm{cm}$，$S_{△ ABC}=30\ \mathrm{cm}^2$。
∵内切圆的圆心到三角形三边的距离均等于半径$r$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
将$a+b+c=30$，$S_{△ ABC}=30$代入得：
$30=\frac{1}{2}×30× r$
解得：$r=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形内切圆性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握用分割法推导得到的三角形面积与内切圆半径、周长的关系公式，代入数值即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心到三角形三边的距离都等于内切圆半径r。我们可以把△ABC分割成三个分别以三边为底、r为高的小三角形，三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，由此可推导出原三角形面积、周长与内切圆半径的关系式，再代入已知的周长和面积数值，就能求出r的值。
【解析】
设△ABC的内切圆半径为$r$，三边长分别为$a$、$b$、$c$，
由题可知：$a+b+c=30\ \mathrm{cm}$，$S_{△ ABC}=30\ \mathrm{cm}^2$。
∵内切圆的圆心到三角形三边的距离均等于半径$r$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
将$a+b+c=30$，$S_{△ ABC}=30$代入得：
$30=\frac{1}{2}×30× r$
解得：$r=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形内切圆性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握用分割法推导得到的三角形面积与内切圆半径、周长的关系公式，代入数值即可快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
7. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,∠AOC=30°,圆 P 的半径为 1 cm,动点 P 在直线 AB 上从点 O 左侧且距离点 O 6 cm 处,以 1 cm/s 的速度向右运动,当圆 P 与直线 CD 相切时,圆心 P 的运动时间为
4或8
s.答案
7.4或8
解析
【分析】
解题时先明确直线与圆相切的核心判定条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。首先过圆心P作CD的垂线，结合已知的∠AOC=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出圆P与CD相切时OP的长度；再根据圆心P的运动方向，分P在点O左侧、P在点O右侧两种情况，结合P的初始位置和运动速度，分别计算对应的运动时间即可。
【解析】
解：过点P作PE⊥CD于点E，当⊙P与直线CD相切时，圆心P到CD的距离等于半径，即PE=1cm。
分两种情况讨论：
1. 当点P运动到点O左侧时：
在Rt△POE中，∠POE=∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2×1=2cm。
点P初始位置在O左侧6cm处，向右运动，此时P移动的距离为$6-2=4\mathrm{cm}$，
已知运动速度为1cm/s，对应运动时间$t_1=4÷1=4\mathrm{s}$。
2. 当点P运动到点O右侧时：
在Rt△POE中，∠POE=∠BOD=∠AOC=30°，同理可得OP=2PE=2cm。
此时P移动的距离为$6+2=8\mathrm{cm}$，对应运动时间$t_2=8÷1=8\mathrm{s}$。
综上，圆心P的运动时间为4s或8s。
【答案】
4或8
【知识点】
直线与圆相切的判定；含30°角的直角三角形性质；动点分类讨论
【点评】
本题易错点是容易遗漏圆心在O点右侧的相切情况，解题时遇到动点相关的直线与圆位置关系问题，要注意分情况讨论所有可能的位置，结合几何性质准确计算线段长度即可求解。
【难度系数】
0.6
解题时先明确直线与圆相切的核心判定条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。首先过圆心P作CD的垂线，结合已知的∠AOC=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出圆P与CD相切时OP的长度；再根据圆心P的运动方向，分P在点O左侧、P在点O右侧两种情况，结合P的初始位置和运动速度，分别计算对应的运动时间即可。
【解析】
解：过点P作PE⊥CD于点E，当⊙P与直线CD相切时，圆心P到CD的距离等于半径，即PE=1cm。
分两种情况讨论：
1. 当点P运动到点O左侧时：
在Rt△POE中，∠POE=∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2×1=2cm。
点P初始位置在O左侧6cm处，向右运动，此时P移动的距离为$6-2=4\mathrm{cm}$，
已知运动速度为1cm/s，对应运动时间$t_1=4÷1=4\mathrm{s}$。
2. 当点P运动到点O右侧时：
在Rt△POE中，∠POE=∠BOD=∠AOC=30°，同理可得OP=2PE=2cm。
此时P移动的距离为$6+2=8\mathrm{cm}$，对应运动时间$t_2=8÷1=8\mathrm{s}$。
综上，圆心P的运动时间为4s或8s。
【答案】
4或8
【知识点】
直线与圆相切的判定；含30°角的直角三角形性质；动点分类讨论
【点评】
本题易错点是容易遗漏圆心在O点右侧的相切情况，解题时遇到动点相关的直线与圆位置关系问题，要注意分情况讨论所有可能的位置，结合几何性质准确计算线段长度即可求解。
【难度系数】
0.6
8.(2025·宿迁宿豫区二模)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$与x轴,y轴分别相交于点A,B,$\odot M$的圆心M的坐标为(3,4),半径为1,P是直线AB上的一个动点,直线PQ与$\odot M$相切于点Q,则线段PQ长度的最小值为
$\dfrac{12}{5}$
.答案
8.$\dfrac{12}{5}$
解析
【分析】
要解决切线长PQ的最小值问题，首先根据切线的性质可知，切线PQ与过切点的半径MQ垂直，因此△MQP为直角三角形，且MQ为固定的半径长度1。由勾股定理可得$PQ=\sqrt{PM^2-MQ^2}=\sqrt{PM^2-1}$，因此要使PQ最小，只需让PM最短即可。而PM是圆心M到直线AB上动点P的线段，根据垂线段最短，PM的最小值就是点M到直线AB的垂线段长度，求出该距离后代入公式即可得到PQ的最小值。
【解析】
1. 连接MQ，
∵PQ是$\odot M$的切线，Q为切点，
∴$MQ⊥ PQ$，且$MQ=1$（圆的半径）。
2. 在$Rt△ MQP$中，由勾股定理得：$PQ^2=PM^2-MQ^2=PM^2-1$，因此当PM取最小值时，PQ的长度最小。
3. 将直线AB的解析式$y=-\dfrac{3}{4}x+3$整理为一般式：$3x+4y-12=0$。
4. 根据垂线段最短，PM的最小值为点$M(3,4)$到直线AB的距离，由点到直线的距离公式得：
$d=\dfrac{|3×3+4×4-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|9+16-12|}{5}=\dfrac{13}{5}$，即PM的最小值为$\dfrac{13}{5}$。
5. 代入PQ的表达式计算最小值：
$PQ_{\mathrm{最小}}=\sqrt{(\dfrac{13}{5})^2-1^2}=\sqrt{\dfrac{169}{25}-\dfrac{25}{25}}=\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
切线的性质；点到直线的距离；勾股定理
【点评】
本题是动态几何最值问题，解题核心是将切线长的最值转化为圆心到直线的距离最值，用到了转化思想，结合切线性质、垂线段最短和勾股定理即可求解，是圆与一次函数结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
要解决切线长PQ的最小值问题，首先根据切线的性质可知，切线PQ与过切点的半径MQ垂直，因此△MQP为直角三角形，且MQ为固定的半径长度1。由勾股定理可得$PQ=\sqrt{PM^2-MQ^2}=\sqrt{PM^2-1}$，因此要使PQ最小，只需让PM最短即可。而PM是圆心M到直线AB上动点P的线段，根据垂线段最短，PM的最小值就是点M到直线AB的垂线段长度，求出该距离后代入公式即可得到PQ的最小值。
【解析】
1. 连接MQ，
∵PQ是$\odot M$的切线，Q为切点，
∴$MQ⊥ PQ$，且$MQ=1$（圆的半径）。
2. 在$Rt△ MQP$中，由勾股定理得：$PQ^2=PM^2-MQ^2=PM^2-1$，因此当PM取最小值时，PQ的长度最小。
3. 将直线AB的解析式$y=-\dfrac{3}{4}x+3$整理为一般式：$3x+4y-12=0$。
4. 根据垂线段最短，PM的最小值为点$M(3,4)$到直线AB的距离，由点到直线的距离公式得：
$d=\dfrac{|3×3+4×4-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|9+16-12|}{5}=\dfrac{13}{5}$，即PM的最小值为$\dfrac{13}{5}$。
5. 代入PQ的表达式计算最小值：
$PQ_{\mathrm{最小}}=\sqrt{(\dfrac{13}{5})^2-1^2}=\sqrt{\dfrac{169}{25}-\dfrac{25}{25}}=\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
切线的性质；点到直线的距离；勾股定理
【点评】
本题是动态几何最值问题，解题核心是将切线长的最值转化为圆心到直线的距离最值，用到了转化思想，结合切线性质、垂线段最短和勾股定理即可求解，是圆与一次函数结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
