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4. 据报道，某高速路通车后，由A地至B地可实现1 h通达，比原来节省了30 min. 小艺爸爸发现通车后从A地去B地出差比通车前少行驶27.5 km，如果平均车速比原来快17 km/h，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去B地出差的平均速度是多少？
答案
解 设通车前小艺爸爸驾车去 B 地出差的路程为 x km,则通车后小艺爸爸驾车去 B 地出差的路程为$(x-27.5)$ km,根据“平均车速比原来快 17 km/h”,列得方程$\dfrac{x-27.5}{1}-\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=17.$
去分母,得 $3(x-27.5)-2x=17×3.$
去括号,得 $3x-82.5-2x=51.$
移项,得 $3x-2x=51+82.5$,
合并同类项,得 $x=133.5.$
$\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=\dfrac{133.5}{1+\dfrac{1}{2}}=89.$
答:通车前小艺爸爸驾车去 B 地出差的平均速度是 89 km/h.
去分母,得 $3(x-27.5)-2x=17×3.$
去括号,得 $3x-82.5-2x=51.$
移项,得 $3x-2x=51+82.5$,
合并同类项,得 $x=133.5.$
$\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=\dfrac{133.5}{1+\dfrac{1}{2}}=89.$
答:通车前小艺爸爸驾车去 B 地出差的平均速度是 89 km/h.
解析
【分析】
这是行程类一元一次方程应用题，核心用到“速度=路程÷时间”的公式，解题时先梳理通车前后的各个量：通车后行驶时间为1h，通车前行驶时间为1h+30min=1.5h，通车后路程比通车前少27.5km，通车后速度比通车前快17km/h。我们可以设通车前的路程为x km，通车后的路程即为$(x-27.5)$km，用路程除以时间分别表示出两个阶段的速度，再根据“速度差为17km/h”这一等量关系列方程，求出路程后再计算通车前的平均速度即可。
【解析】
设通车前小艺爸爸驾车去B地出差的路程为x km，则通车后行驶的路程为$(x-27.5)$ km。
根据题意列方程：$\dfrac{x-27.5}{1}-\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=17$
去分母，得：$3(x-27.5)-2x=17×3$
去括号，得：$3x-82.5-2x=51$
移项，得：$3x-2x=51+82.5$
合并同类项，得：$x=133.5$
则通车前的平均速度为：$\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=\dfrac{133.5}{1.5}=89\ (\mathrm{km/h})$
答：通车前小艺爸爸驾车去B地出差的平均速度是89 km/h。
【答案】
89 km/h
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题公式；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题关键是统一时间单位，理清通车前后路程、时间、速度的对应关系，抓住速度差这一核心等量关系列方程，计算去分母时注意不要漏乘常数项，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这是行程类一元一次方程应用题，核心用到“速度=路程÷时间”的公式，解题时先梳理通车前后的各个量：通车后行驶时间为1h，通车前行驶时间为1h+30min=1.5h，通车后路程比通车前少27.5km，通车后速度比通车前快17km/h。我们可以设通车前的路程为x km，通车后的路程即为$(x-27.5)$km，用路程除以时间分别表示出两个阶段的速度，再根据“速度差为17km/h”这一等量关系列方程，求出路程后再计算通车前的平均速度即可。
【解析】
设通车前小艺爸爸驾车去B地出差的路程为x km，则通车后行驶的路程为$(x-27.5)$ km。
根据题意列方程：$\dfrac{x-27.5}{1}-\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=17$
去分母，得：$3(x-27.5)-2x=17×3$
去括号，得：$3x-82.5-2x=51$
移项，得：$3x-2x=51+82.5$
合并同类项，得：$x=133.5$
则通车前的平均速度为：$\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=\dfrac{133.5}{1.5}=89\ (\mathrm{km/h})$
答：通车前小艺爸爸驾车去B地出差的平均速度是89 km/h。
【答案】
89 km/h
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题公式；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题关键是统一时间单位，理清通车前后路程、时间、速度的对应关系，抓住速度差这一核心等量关系列方程，计算去分母时注意不要漏乘常数项，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 阅读以下材料，完成任务.
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，那么像$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程.
解：原方程可化为$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$，去分母，得$3x - 2 + 14 = -6 - 4x$，移项、合并同类项，得$7x = -18$，系数化为1，得$x = -\frac{18}{7}$.
任务：
(1) 该同学由$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$变形到$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$是利用了(
A. 等式的性质1
B. 等式的性质2
C. 分数的性质
D. 去分母
(2) 请仿照上述方法解方程：$\frac{2x}{0.03} + \frac{0.25 - 0.1x}{0.02} = 1$.
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，那么像$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程.
解：原方程可化为$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$，去分母，得$3x - 2 + 14 = -6 - 4x$，移项、合并同类项，得$7x = -18$，系数化为1，得$x = -\frac{18}{7}$.
任务：
(1) 该同学由$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$变形到$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$是利用了(
C
).A. 等式的性质1
B. 等式的性质2
C. 分数的性质
D. 去分母
(2) 请仿照上述方法解方程：$\frac{2x}{0.03} + \frac{0.25 - 0.1x}{0.02} = 1$.
答案
(1) C
(2) 解 原方程可化为$\dfrac{200x}{3}+\dfrac{25-10x}{2}=1.$
去分母,得 $400x+3(25-10x)=6.$
去括号,得 $400x+75-30x=6.$
移项,得 $400x-30x=6-75.$
合并同类项,得 $370x=-69.$
系数化为 1,得 $x=-\dfrac{69}{370}.$
(2) 解 原方程可化为$\dfrac{200x}{3}+\dfrac{25-10x}{2}=1.$
去分母,得 $400x+3(25-10x)=6.$
去括号,得 $400x+75-30x=6.$
移项,得 $400x-30x=6-75.$
合并同类项,得 $370x=-69.$
系数化为 1,得 $x=-\dfrac{69}{370}.$
解析
【分析】
(1) 先明确各相关性质的区别：等式性质1是等式两边同时加减同一个数/式子，等式仍成立；等式性质2是等式两边同时乘/除以同一个非零数，等式仍成立；分数的性质是分数的分子、分母同时乘/除以同一个非零数，分数值不变。观察变形过程，仅对每个分数内部的分子、分母同时乘10，没有对等式整体做乘除操作，也不属于去分母步骤，因此是利用了分数的性质。
(2) 解含小数分母的一元一次方程时，第一步先利用分数的性质将每个分数的分母化为整数：将两个分数的分子、分母同时乘100消去分母的小数，注意这一步不需要给等式右侧的常数项乘任何数，避免和去分母步骤混淆；之后再按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤解方程即可。
【解析】
(1) 该变形过程是将$\frac{0.3x-0.2}{0.2}$的分子分母同乘10得到$\frac{3x-2}{2}$，将$\frac{-1.5-x}{0.5}$的分子分母同乘10得到$\frac{-3-2x}{1}$，仅改变了分数分子分母的书写形式，分数的大小保持不变，符合分数的基本性质，故选C。
(2) 解：利用分数的基本性质，将原方程中两个分数的分子、分母同时乘100，可化为：
$\dfrac{200x}{3}+\dfrac{25-10x}{2}=1$
去分母，等式两边同时乘6得：
$400x+3(25-10x)=6$
去括号得：
$400x+75-30x=6$
移项得：
$400x-30x=6-75$
合并同类项得：
$370x=-69$
系数化为1得：
$x=-\dfrac{69}{370}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{C}$
(2) $\boldsymbol{x=-\dfrac{69}{370}}$
【知识点】
分数的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查含小数分母的一元一次方程的解法，解题核心是区分分数的基本性质和等式的基本性质，化小数分母为整数时仅对单个分数的分子、分母同乘非零数，不要对等式其余项做乘法运算，后续按照解一元一次方程的常规步骤计算即可，注意计算时避免符号和运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确各相关性质的区别：等式性质1是等式两边同时加减同一个数/式子，等式仍成立；等式性质2是等式两边同时乘/除以同一个非零数，等式仍成立；分数的性质是分数的分子、分母同时乘/除以同一个非零数，分数值不变。观察变形过程，仅对每个分数内部的分子、分母同时乘10，没有对等式整体做乘除操作，也不属于去分母步骤，因此是利用了分数的性质。
(2) 解含小数分母的一元一次方程时，第一步先利用分数的性质将每个分数的分母化为整数：将两个分数的分子、分母同时乘100消去分母的小数，注意这一步不需要给等式右侧的常数项乘任何数，避免和去分母步骤混淆；之后再按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤解方程即可。
【解析】
(1) 该变形过程是将$\frac{0.3x-0.2}{0.2}$的分子分母同乘10得到$\frac{3x-2}{2}$，将$\frac{-1.5-x}{0.5}$的分子分母同乘10得到$\frac{-3-2x}{1}$，仅改变了分数分子分母的书写形式，分数的大小保持不变，符合分数的基本性质，故选C。
(2) 解：利用分数的基本性质，将原方程中两个分数的分子、分母同时乘100，可化为：
$\dfrac{200x}{3}+\dfrac{25-10x}{2}=1$
去分母，等式两边同时乘6得：
$400x+3(25-10x)=6$
去括号得：
$400x+75-30x=6$
移项得：
$400x-30x=6-75$
合并同类项得：
$370x=-69$
系数化为1得：
$x=-\dfrac{69}{370}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{C}$
(2) $\boldsymbol{x=-\dfrac{69}{370}}$
【知识点】
分数的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查含小数分母的一元一次方程的解法，解题核心是区分分数的基本性质和等式的基本性质，化小数分母为整数时仅对单个分数的分子、分母同乘非零数，不要对等式其余项做乘法运算，后续按照解一元一次方程的常规步骤计算即可，注意计算时避免符号和运算错误。
【难度系数】
0.7
