典例2 如图，在$\odot O$中，AB，CD为两条弦，且AB//CD，直径MN经过AB的中点E，交CD于点F。
(1)F是CD的中点吗？并说明理由。
(2)$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$吗？

典例解析

1. F是CD的中点.理由如下：
$\because$直径MN平分不是直径的弦AB，
$\therefore MN⊥ AB$.
$\because AB// CD$，$\therefore MN⊥ CD$，
$\therefore CF=FD$，
$\therefore F$是CD的中点.
2. 由$MN⊥ AB$，$MN⊥ CD$，得$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$，$\overset{\frown}{CN}=\overset{\frown}{DN}$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

举一反三 如图，AB是$\odot O$的弦，OC交AB于中点D.若$AB=8$，$OD=3$，求$\odot O$的半径.
$\because GF=19\ \mathrm{m}$，
$\therefore OG=GF-OF=19-9=10(\mathrm{m})$，
$\therefore CG=\sqrt{OC^2-OG^2}=\sqrt{15^2-10^2}=5\sqrt{5}\ (\mathrm{m})$，$\therefore CD=2CG=10\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，
故此时水面CD的宽为$10\sqrt{5}\ \mathrm{m}$.
典例2
解 (1)F是CD的中点.理由如下：
$\because$直径MN平分不是直径的弦AB，
$\therefore MN⊥ AB$.
$\because AB// CD$，$\therefore MN⊥ CD$，
$\therefore CF=FD$，
$\therefore F$是CD的中点.
(2)由$MN⊥ AB$，$MN⊥ CD$，得$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$，$\overset{\frown}{CN}=\overset{\frown}{DN}$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

解 如图,连接OA，
∵D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB,AD=BD=4.
在Rt△OAD中,OD=3，
OA²=AD²+OD²,即OA²=4²+3²，
∴OA=5,即⊙O的半径为5.