22.(10分)如图,已知OC是∠AOB的平分线.
(1)当∠AOB=66°时,求∠AOC的度数;
(2)在(1)的条件下,∠EOC=90°,请在图中补全图形,并求∠AOE的度数;
(3)当∠AOB=α,∠EOC=90°时,直接写出∠AOE的度数.(用含α的代数式表示)

解：
(1) ∵ OC是∠AOB的平分线，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB。
∵ ∠AOB=66°，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2} × 66° = 33°$。
(2) 分两种情况补全图形求解：
① 当射线OE与射线OB在OC的异侧时：
∠AOE = ∠EOC - ∠AOC = $90° - 33° = 57°$；
② 当射线OE与射线OA在OC的异侧时：
∠AOE = ∠AOC + ∠EOC = $33° + 90° = 123°$。
∴ ∠AOE的度数为$57°$或$123°$。
(3) ∠AOE的度数为$90° + \frac{α}{2}$或$90° - \frac{α}{2}$。

23.(12分)将一副三角板放在同一平面内,使直角顶点重合于点O.
(1)如图1,若∠AOB=155°,求∠AOD,∠BOC,∠DOC的度数；
(2)如图1,你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系?∠AOB与∠DOC有何关系?直接写出你的结论；
(3)如图2,当△AOC与△BOD没有重合部分时,(2)中你发现的结论是否仍然成立,请说明理由。

解：
(1) 由题意可知，∠AOC=90°，∠BOD=90°
∵ ∠AOB=155°
∴ ∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 155° - 90° = 65°
∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 155° - 90° = 65°
∴ ∠DOC = ∠BOD - ∠BOC = 90° - 65° = 25°
(2) 结论：$\boldsymbol{∠ AOD = ∠ BOC}$，$\boldsymbol{∠ AOB + ∠ DOC = 180°}$
(3) (2)中的结论仍然成立，理由如下：
∵ ∠AOC=90°，∠BOD=90°
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 90° + ∠COD
∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 90° + ∠COD
∴ ∠AOD = ∠BOC
又∵ ∠AOB + ∠DOC = ∠AOC + ∠COB + ∠DOC
= 90° + (∠COB + ∠DOC)
= 90° + ∠BOD
= 90° + 90° = 180°
∴ ∠AOB + ∠DOC = 180°，两个结论均成立。

24.(12分)如图,点C,D,E都在直线AB上,C是线段AB的中点,E是线段CB的中点,CE=5.
(1)当点D在线段AC上且AD:DC=1:4时,求DC和AB的长;
(2)若P是直线AB上的动点,动点P从点A出发,以3个单位长度/秒的速度沿着AB的方向运动,运动时间为t秒.
①已知另一动点Q从点E出发,以2个单位长度/秒的速度沿着EA的方向同时运动.是否存在PB=QB?若存在,求出此时运动的时间t;若不存在,请说明理由;
②当动点P在线段AC上运动时,M,N分别是线段AC和BP的中点,试判断AB−CP与线段MN之间的数量关系,并说明理由.

解：
(1) ∵ E是线段CB的中点，CE=5，
∴ CB=2CE=10，
∵ C是线段AB的中点，
∴ AB=2CB=20，AC=CB=10，
∵ AD:DC=1:4，
∴ DC=$\frac{4}{1+4}$AC=$\frac{4}{5} × 10=8$，
即DC的长为8，AB的长为20。
(2) ① 存在。
由题意得：AP=3t，EQ=2t，
∵ AB=20，EB=CE=5，
∴ PB=|AB-AP|=|20-3t|，
QB=EQ+EB=2t+5，
若PB=QB，则|20-3t|=2t+5，
当$20-3t\ge0$，即$t\le\frac{20}{3}$时，
20-3t=2t+5，
解得t=3；
当$20-3t＜0$，即$t＞\frac{20}{3}$时，
3t-20=2t+5，
解得t=25。
综上，存在t=3或t=25，使得PB=QB。
② $AB-CP=2MN$，理由如下：
∵ M是线段AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$，
∵ C是AB中点，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB$，
∵ P在线段AC上，
∴ BP=CP+CB=CP+AC，
∵ N是线段BP的中点，
∴ $PN=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(CP+AC)$，
∵ MN=MC+PN-CP，
代入得：
$MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}(CP+AC)-CP$
$=AC-\frac{1}{2}CP$
$=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}CP$
$=\frac{1}{2}(AB-CP)$
即$AB-CP=2MN$。