作一个角等于已知角
如图,已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.

作法:如图,(1)以点O为圆心,为半径作弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)作一条射线O'A',以点O'为圆心,为半径作弧,交O'A'于点C';
(3)以点C'为圆心,为半径作弧,与上一步作的弧相交于点D';
(4)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.

(1)以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)作一条射线O'A',以点O'为圆心,OC为半径作弧,交O'A'于点C';
(3)以点C'为圆心,CD为半径作弧,与上一步作的弧相交于点D';
(4)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.

【分析】
作一个角等于已知角的核心原理是构造三边对应相等的全等三角形，利用全等三角形对应角相等得到相等的角，思考逻辑如下：①首先要在已知∠AOB的两条边上截出两条等长线段，因此以O为圆心取固定长度为半径画弧，得到OC、OD两条等长的半径；②要保证新角的第一条边上的对应线段和OC相等，因此以O'为圆心、OC的长度为半径画弧，得到O'C'=OC；③要让两个三角形的第三条边也相等，即CD=C'D'，因此以C'为圆心、CD的长度为半径画弧找到点D'，此时△OCD和△O'C'D'三边对应相等、二者全等，对应角∠A'O'B'就和∠AOB相等。
【解析】
根据尺规作一个角等于已知角的标准步骤：
(1) 第一步需要在已知角的两条边上截取等长线段，因此以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点C、D；
(2) 第二步需要在新作的射线上截取和OC等长的线段，因此以点O'为圆心，OC的长为半径作弧，交O'A'于点C'；
(3) 第三步需要构造和CD等长的线段，因此以点C'为圆心，CD的长为半径作弧，与第二步所作的弧相交于点D'；
最后过点D'作射线O'B'，即可得到∠A'O'B'=∠AOB。
【答案】
(1)任意长；(2)OC的长；(3)CD的长
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 全等三角形SSS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，考查作一个角等于已知角的操作步骤，其本质是利用全等三角形对应角相等的原理构造等角，熟练掌握作图的每一步依据和操作要求，是后续学习复杂尺规作图的基础。
【难度系数】
0.85

典例1 如图，已知四边形ABCD，∠EAD是其一个外角.利用直尺和圆规在边BC上作一点M，使得DM//AB.

举一反三 如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，利用直尺和圆规过点D作BC的平行线.

作法 如图.
(1)在点 D 处作∠ACB 的同位角∠ADE,使∠ADE=∠ACB.
(2)射线 DE 交 AB 于点 E,反向延长 ED,得直线 DE,则直线 DE//BC.

【分析】
要过点D作BC的平行线，可依据平行线的判定定理构造相等的同位角来实现。我们学过“同位角相等，两直线平行”，因此只需利用尺规作图的基本技能“作一个角等于已知角”，在点D处作出与∠ACB相等的同位角，该角的另一边所在直线即为所求平行线。
【解析】
根据同位角相等，两直线平行的判定原理，按以下步骤作图：
1. 作∠ADE：以点D为顶点，AC为角的一边，利用尺规作∠ADE，使得∠ADE和∠ACB是同位角，且∠ADE=∠ACB；
2. 作直线：射线DE与AB交于点E，反向延长线段ED，得到直线DE，该直线即为所求的过D且平行于BC的直线。
【答案】
作法 如图.
(1)在点 D 处作∠ACB 的同位角∠ADE,使∠ADE=∠ACB.
(2)射线 DE 交 AB 于点 E,反向延长 ED,得直线 DE,则直线 DE//BC.

【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将平行线的判定规则和尺规基本操作结合，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，作图过程中要注意保留作图痕迹，符合尺规作图的规范要求。
【难度系数】
0.8

2. 作三角形
典例2 如图,已知线段a和∠α.求作△ABC,使AB = a,BC = 2a,∠ABC = ∠α.

举一反三 已知线段a,∠α,∠β,求作△ABC,使BC = a,∠B = ∠α,∠C = ∠β.

作法 如图.
(1)作∠MBN=∠α;
(2)在射线 BM 上作 BC=a;
(3)以 C 为顶点,CB 为一边,作∠ACB=∠β,射线 CA 交 BN 于点 A,则△ABC 就是所求作的三角形.

【分析】
本题属于已知两角及夹边作三角形的尺规作图题，解题可按照“定边→定角→找交点”的思路推导：首先明确已知条件给出了夹边BC的长度，以及夹边两端的角∠B、∠C的大小，我们先通过作已知角确定∠B的位置，再在∠B的边上截取对应长度得到BC边，最后在C点作出等于∠β的角，两个角的另一边的交点即为第三个顶点A，即可得到符合要求的三角形。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作：
1. 作∠MBN=∠α；
2. 在射线BM上截取线段BC=a；
3. 以点C为顶点，CB为一边，作∠ACB=∠β，射线CA与射线BN交于点A，所得△ABC就是所求作的三角形。
【答案】
作法 如图.
(1)作∠MBN=∠α;
(2)在射线 BM 上作 BC=a;
(3)以 C 为顶点,CB 为一边,作∠ACB=∠β,射线 CA 交 BN 于点 A,则△ABC 就是所求作的三角形.

【知识点】
作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，尺规作三角形
【点评】
本题是基础尺规作图题，主要考查基本作图的操作能力，以及利用“角边角”条件确定三角形的方法，作图时需注意保留完整的作图痕迹，不可随意擦除辅助弧线。
【难度系数】
0.8