2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD=CD$，则下列结论中错误的是().


A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ BAC=∠ C$
C.$AD⊥ BC$
D.$∠ BAD=∠ CAD$

2.B

【分析】
首先观察图形，AD是△ABD和△ACD的公共边，结合已知条件AB=AC、BD=CD，可先通过SSS判定定理证明△ABD≌△ACD，再根据全等三角形对应角、对应边相等的性质逐一验证四个选项，找出错误的结论即可。
【解析】
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\BD=CD(\mathrm{已知})\\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ ABD ≌ △ ACD$（SSS）
根据全等三角形的性质可得：
$∠ B=∠ C$，$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ADB=∠ ADC$，故A、D选项结论正确；
∵$∠ ADB+∠ ADC=180°$，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$，即$AD⊥ BC$，故C选项结论正确；
B选项$∠ BAC=∠ C$仅当$△ ABC$为等边三角形时成立，题中仅说明$△ ABC$是等腰三角形，无法推出该结论，故B选项错误。
【答案】
B
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；等腰三角形性质
【点评】
本题是基础题，主要考查SSS判定三角形全等的方法及全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3.如图,在一个三角形测平架中,AB=AC,在BC的中点D处挂一个重锤DE,让其自然下垂,调整架身,使点A恰好在重锤线上,这时AD和BC的位置关系为。

3.垂直

【分析】
解题时首先从已知条件入手：已知AB=AC，D是BC中点，可得BD=CD，AD为△ABD和△ACD的公共边，因此可通过SSS判定两个三角形全等；再结合全等三角形对应角相等的性质，得到∠ADB与∠ADC相等，又因为两角组成平角和为180°，即可推出两角均为90°，从而判断AD和BC的位置关系。
【解析】
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC(已知)\\BD=CD(已证)\\AD=AD(公共边)\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）。
又
∵∠ADB+∠ADC=180°（平角的定义），
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC。
【答案】
垂直
【知识点】
SSS证三角形全等；全等三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题结合生活中的测平架场景考查三角形全等的判定与应用，将数学知识和实际生活结合，解题时要熟练掌握SSS全等判定方法，能结合全等性质和平角的定义推导角度关系，进而判断线段的位置关系。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$OA=OB$，$AC=BC$. 求证$∠ AOC=∠ BOC$.

4.证明 $\because$ 在$△ OAC$ 和$△ OBC$ 中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ OC=OC, \\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ OAC≌△ OBC(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC.$

【分析】
要证明两个角相等，可通过证明两角所在的三角形全等实现，因为全等三角形对应角相等。观察图形可知∠AOC属于△OAC，∠BOC属于△OBC，已知OA=OB、AC=BC，同时OC是两个三角形的公共边，满足三边对应相等的全等判定条件，因此先证△OAC≌△OBC，再根据全等性质即可推出待证结论。
【解析】
证明：
∵ 在$△ OAC$和$△ OBC$中，
$\begin{cases}OA=OB, \\OC=OC, \\AC=BC,\end{cases}$
∴ $△ OAC ≌ △ OBC(\mathrm{SSS})$，
∴ $∠ AOC=∠ BOC$。
【答案】
证明 $\because$ 在$△ OAC$ 和$△ OBC$ 中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ OC=OC, \\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ OAC≌△ OBC(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC.$
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等证明的基础题型，解题核心是挖掘出公共边这一隐含条件，熟练掌握SSS判定定理和全等三角形对应角相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，点B，C，D，E在同一条直线上，AB=FC，AD=FE，BC=DE，探索AB与FC的位置关系，并说明理由.

5.解 $AB// FC.$
理由：
$\because BC=DE,$
$\therefore BC+CD=DE+CD,$
即 $BD=CE.$
在$△ ABD$ 和$△ FCE$ 中,$\begin{cases} BD=CE, \\ AD=FE, \\ AB=FC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ FCE(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ B=∠ FCE,\therefore AB// FC.$

【分析】
要探索AB与FC的位置关系，首先观察图形可初步猜测二者平行，要证明平行需推导同位角、内错角相等或同旁内角互补。本题可通过证明三角形全等得到对应角相等来推导：已知BC=DE，利用线段和的性质可得到BD=CE，再结合题目给出的AB=FC、AD=FE，即可通过SSS判定△ABD和△FCE全等，得到∠B与∠FCE相等，二者是同位角，同位角相等即可推出两直线平行。
【解析】
解：$AB// FC$，理由如下：
$\because BC=DE,$
$\therefore BC+CD=DE+CD,$
即 $BD=CE.$
在$△ ABD$ 和$△ FCE$ 中,
$\begin{cases} BD=CE, \\ AD=FE, \\ AB=FC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ FCE(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ B=∠ FCE,$
根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// FC.$
【答案】
$AB// FC$
【知识点】
线段和差计算；SSS判定三角形全等；平行线的判定
【点评】
本题是三角形全等与平行线判定的综合基础题，解题的关键是先通过线段和差得到三角形全等所需的对应边相等，再利用全等三角形的性质得到对应角相等，进而推导两直线的位置关系，是全等三角形应用的常见题型。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在四边形ABCD中, E是BC的中点,连接AC, AE,若$AB = AC, AE = CD, AD=CE$,图中的全等三角形有几对?请分别证明它们.

6.解 三对.
证明：
在$△ ABE$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ AE=AE, \\ BE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACE(\mathrm{SSS}).$
在$△ AEC$ 和$△ CDA$ 中,$\begin{cases} AE=CD, \\ AC=AC, \\ EC=DA, \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ CDA(\mathrm{SSS}).$
$\therefore △ ABE≌△ CAD.$

【分析】
解题时先从已知条件入手，题目给出多组边相等的条件，且E是BC中点可得BE=CE，结合三角形全等的SSS判定定理寻找全等三角形：首先观察△ABE和△ACE，有AB=AC、公共边AE、BE=CE，可先证这对全等；再看已知AE=CD、AD=CE，还有公共边AC，可证△AEC和△CDA全等；最后根据全等三角形的传递性，就能得到第三对全等三角形，逐一验证即可。
【解析】
共有3对全等三角形，证明如下：
1. 证明$△ ABE≌△ ACE$：
因为E是BC的中点，所以$BE=CE$，
在$△ ABE$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ AE=AE(\mathrm{公共边}) \\ BE=CE \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ ACE(\mathrm{SSS})$。
2. 证明$△ AEC≌△ CDA$：
在$△ AEC$和$△ CDA$中：
$\begin{cases} AE=CD \\ AC=AC(\mathrm{公共边}) \\ EC=AD \end{cases}$
所以$△ AEC≌△ CDA(\mathrm{SSS})$。
3. 证明$△ ABE≌△ CAD$：
因为$△ ABE≌△ ACE$，$△ AEC≌△ CDA$，根据全等三角形的传递性可得$△ ABE≌△ CAD$。
【答案】
共3对，分别是$△ ABE≌△ ACE$、$△ AEC≌△ CDA$、$△ ABE≌△ CAD$。
证明：在$△ ABE$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ AE=AE, \\ BE=CE, \end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ACE(\mathrm{SSS})$；在$△ AEC$ 和$△ CDA$ 中,$\begin{cases} AE=CD, \\ AC=AC, \\ EC=DA, \end{cases}$$\therefore △ AEC≌△ CDA(\mathrm{SSS})$；$\therefore △ ABE≌△ CAD$。
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的传递性，线段中点的定义
【点评】
本题重点考查三角形全等的SSS判定方法，解题时要注意挖掘公共边、中点对应的等线段这类隐含条件，同时不要忽略全等三角形传递性的应用，避免漏判全等对数。
【难度系数】
0.7