登录
典例2 解下列方程：
答案
解 (1)原方程整理，得 $\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1} = 1$，
方程两边乘$(x-1)$，得 $1 - x = x - 1$。
解得 $x = 1$。
检验：当 $x = 1$ 时，$x - 1 = 0$，因此 $x = 1$ 不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
(2)方程两边乘$3(2x - 1)$，
得 $2x - 1 - 6 = 1$。
解得 $x = 4$。
检验：当 $x = 4$ 时，$3(2x - 1) ≠ 0$。
所以，原分式方程的解为 $x = 4$。
方程两边乘$(x-1)$，得 $1 - x = x - 1$。
解得 $x = 1$。
检验：当 $x = 1$ 时，$x - 1 = 0$，因此 $x = 1$ 不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
(2)方程两边乘$3(2x - 1)$，
得 $2x - 1 - 6 = 1$。
解得 $x = 4$。
检验：当 $x = 4$ 时，$3(2x - 1) ≠ 0$。
所以，原分式方程的解为 $x = 4$。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原方程分母为0（即是否为增根）。对于(1)，观察到两个分母$x-1$和$1-x$互为相反数，先将第二个分式变形统一分母，确定最简公分母为$x-1$，两边同乘公分母去分母得到整式方程，求解后检验即可；对于(2)，先将分母因式分解，确定最简公分母为$3(2x-1)$，两边同乘公分母去分母转化为整式方程，求解后检验即可。
【解析】
(1) 原方程整理，得 $\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1} = 1$，
方程两边乘$(x-1)$，得 $1 - x = x - 1$，
解得 $x = 1$。
检验：当 $x = 1$ 时，$x - 1 = 0$，因此 $x = 1$ 不是原分式方程的解，是增根。
所以原分式方程无解。
(2) 方程两边乘$3(2x - 1)$，得 $2x - 1 - 6 = 1$，
解得 $x = 4$。
检验：当 $x = 4$ 时，$3(2x - 1) ≠ 0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 无解；(2) $x=4$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的常规基础题，重点考查解分式方程的基本步骤，解题时要注意：处理互为相反数的分母时要正确变号，去分母时不要漏乘不含分母的常数项，解完后必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原方程分母为0（即是否为增根）。对于(1)，观察到两个分母$x-1$和$1-x$互为相反数，先将第二个分式变形统一分母，确定最简公分母为$x-1$，两边同乘公分母去分母得到整式方程，求解后检验即可；对于(2)，先将分母因式分解，确定最简公分母为$3(2x-1)$，两边同乘公分母去分母转化为整式方程，求解后检验即可。
【解析】
(1) 原方程整理，得 $\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1} = 1$，
方程两边乘$(x-1)$，得 $1 - x = x - 1$，
解得 $x = 1$。
检验：当 $x = 1$ 时，$x - 1 = 0$，因此 $x = 1$ 不是原分式方程的解，是增根。
所以原分式方程无解。
(2) 方程两边乘$3(2x - 1)$，得 $2x - 1 - 6 = 1$，
解得 $x = 4$。
检验：当 $x = 4$ 时，$3(2x - 1) ≠ 0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 无解；(2) $x=4$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的常规基础题，重点考查解分式方程的基本步骤，解题时要注意：处理互为相反数的分母时要正确变号，去分母时不要漏乘不含分母的常数项，解完后必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
典例3 科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务.下面是记者与该集团工程师的一段对话.
记者：“你们是用10天完成4 500米长的高架桥铺设任务的？”
工程师：“是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍.”
（1）通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度；
（2）该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？
记者：“你们是用10天完成4 500米长的高架桥铺设任务的？”
工程师：“是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍.”
（1）通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度；
（2）该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？
答案
解 (1)设该建筑集团原来每天铺设高架桥$x$米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥$2x$米。
根据题意，得 $\frac{500}{x} + \frac{4500 - 500}{2x} = 10$。
解得 $x = 250$。
经检验，$x = 250$ 是原分式方程的解，且符合题意。
答：该建筑集团原来每天铺设高架桥250米。
(2) $\frac{4500}{250} - 10 = 18 - 10 = 8$（天）。
答：该建筑集团是提前8天完成铺设任务的。
根据题意，得 $\frac{500}{x} + \frac{4500 - 500}{2x} = 10$。
解得 $x = 250$。
经检验，$x = 250$ 是原分式方程的解，且符合题意。
答：该建筑集团原来每天铺设高架桥250米。
(2) $\frac{4500}{250} - 10 = 18 - 10 = 8$（天）。
答：该建筑集团是提前8天完成铺设任务的。
解析
【分析】
这是一道分式方程的工程类应用题，解题思路如下：
（1）求原来每天的铺设长度，首先找时间类等量关系：总施工时间10天=铺设前500米的时间+铺设剩余长度的时间。设原来每天铺设x米，则采用新技术后每天铺设2x米，分别表示出两个阶段的施工时间，相加等于10即可列出分式方程，求解后需检验根的合理性。
（2）求提前的天数，先计算按照原来的速度完成全部任务需要的总天数，再减去实际用的10天，差值就是提前的天数。
【解析】
(1) 设该建筑集团原来每天铺设高架桥$x$米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥$2x$米。
根据总时长为10天的等量关系，列方程得：
$\frac{500}{x} + \frac{4500 - 500}{2x} = 10$
化简方程得$\frac{500}{x}+\frac{2000}{x}=10$，合并得$\frac{2500}{x}=10$，解得$x=250$。
检验：当$x=250$时，分母$x≠0$、$2x≠0$，所以$x=250$是原分式方程的解，且符合实际施工的意义。
答：该建筑集团原来每天铺设高架桥250米。
(2) 按原来的速度完成全部任务需要的天数为$\frac{4500}{250}=18$（天），
提前的天数为原计划天数减去实际天数，即$18-10=8$（天）。
答：该建筑集团是提前8天完成铺设任务的。
【答案】
（1）250米；（2）8天
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题
3. 分式方程验根
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题核心是找准时间类等量关系列方程，需要注意分式方程求解后要进行双重检验，既要验证是原方程的根，也要验证符合实际意义，侧重考察学生列方程解应用题的基础能力。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的工程类应用题，解题思路如下：
（1）求原来每天的铺设长度，首先找时间类等量关系：总施工时间10天=铺设前500米的时间+铺设剩余长度的时间。设原来每天铺设x米，则采用新技术后每天铺设2x米，分别表示出两个阶段的施工时间，相加等于10即可列出分式方程，求解后需检验根的合理性。
（2）求提前的天数，先计算按照原来的速度完成全部任务需要的总天数，再减去实际用的10天，差值就是提前的天数。
【解析】
(1) 设该建筑集团原来每天铺设高架桥$x$米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥$2x$米。
根据总时长为10天的等量关系，列方程得：
$\frac{500}{x} + \frac{4500 - 500}{2x} = 10$
化简方程得$\frac{500}{x}+\frac{2000}{x}=10$，合并得$\frac{2500}{x}=10$，解得$x=250$。
检验：当$x=250$时，分母$x≠0$、$2x≠0$，所以$x=250$是原分式方程的解，且符合实际施工的意义。
答：该建筑集团原来每天铺设高架桥250米。
(2) 按原来的速度完成全部任务需要的天数为$\frac{4500}{250}=18$（天），
提前的天数为原计划天数减去实际天数，即$18-10=8$（天）。
答：该建筑集团是提前8天完成铺设任务的。
【答案】
（1）250米；（2）8天
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题
3. 分式方程验根
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题核心是找准时间类等量关系列方程，需要注意分式方程求解后要进行双重检验，既要验证是原方程的根，也要验证符合实际意义，侧重考察学生列方程解应用题的基础能力。
【难度系数】
0.7
