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8. 如图,将线段AB先向右平移5个单位长度,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转$90°$,得到线段$A'B'$,则点B的对应点B'的坐标是
$(1,-2)$
.答案
8.$(1,-2)$
解析
【分析】
解题需分两步完成：首先从平面直角坐标系中读出点B的原始坐标，根据“向右平移横坐标加，纵坐标不变”的平移规律，计算出平移后点B的坐标；再根据绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则，算出最终对应点B'的坐标即可。
【解析】
1. 确定点B的原始坐标：观察坐标系可得，点B的坐标为$\boldsymbol{(-3,1)}$。
2. 计算平移后的坐标：将点B向右平移5个单位长度，平移时横坐标增加5，纵坐标不变，因此平移后点B的坐标为$(-3+5,1)$，即$\boldsymbol{(2,1)}$。
3. 计算旋转后的坐标：将点$(2,1)$绕原点顺时针旋转$90°$，根据坐标变换规则：点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后对应点的坐标为$(y,-x)$，代入$x=2,y=1$，可得旋转后对应点B'的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
坐标与平移变换；坐标与旋转变换
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，核心考查平移和旋转变换对应的坐标变化规律，解题时只要按步骤计算，注意区分旋转方向对应的坐标变换规则，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题需分两步完成：首先从平面直角坐标系中读出点B的原始坐标，根据“向右平移横坐标加，纵坐标不变”的平移规律，计算出平移后点B的坐标；再根据绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则，算出最终对应点B'的坐标即可。
【解析】
1. 确定点B的原始坐标：观察坐标系可得，点B的坐标为$\boldsymbol{(-3,1)}$。
2. 计算平移后的坐标：将点B向右平移5个单位长度，平移时横坐标增加5，纵坐标不变，因此平移后点B的坐标为$(-3+5,1)$，即$\boldsymbol{(2,1)}$。
3. 计算旋转后的坐标：将点$(2,1)$绕原点顺时针旋转$90°$，根据坐标变换规则：点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90°$后对应点的坐标为$(y,-x)$，代入$x=2,y=1$，可得旋转后对应点B'的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
坐标与平移变换；坐标与旋转变换
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，核心考查平移和旋转变换对应的坐标变化规律，解题时只要按步骤计算，注意区分旋转方向对应的坐标变换规则，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图,小明用电脑制作了正方形的“丰”字卡片,正方形卡片的边长为10 cm,“丰”字每一笔的宽度都是1 cm,则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是
$63\ \mathrm{cm}^2$
.答案
9.$63\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
本题要求不规则空白区域的面积，若单独计算每个空白小块的面积会比较繁琐，我们可以利用平移的性质，将分散的空白区域拼接为规则的长方形简化计算。首先观察阴影构成：包含1条宽1cm的竖直阴影，3条宽1cm的水平阴影。拼接时，将所有空白向中间平移，去掉竖直阴影的宽度即可得到拼接后长方形的水平边长，去掉3条水平阴影的总宽度即可得到拼接后长方形的竖直边长，最后用长方形面积公式计算即可。
【解析】
利用平移法将空白区域拼接为规则长方形：
1. 计算拼接后长方形的水平边长：
竖直阴影宽度为1cm，因此水平边长 = 正方形边长 - 竖直阴影宽度 = $10 - 1 = 9\ \mathrm{cm}$
2. 计算拼接后长方形的竖直边长：
共有3条水平阴影，每条宽1cm，总宽度为$3×1=3\ \mathrm{cm}$，因此竖直边长 = 正方形边长 - 水平阴影总宽度 = $10 - 3 =7\ \mathrm{cm}$
3. 计算空白区域面积：
长方形面积 = 长×宽 = $9×7 = 63\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
$63\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
1. 平移的应用
2. 长方形面积计算
【点评】
本题是平移性质在面积计算中的典型应用，通过平移将不规则图形转化为规则图形大幅简化了计算，是解决等宽条纹类图形面积问题的常用方法，解题时注意准确统计水平、竖直方向阴影的条数。
【难度系数】
0.7
本题要求不规则空白区域的面积，若单独计算每个空白小块的面积会比较繁琐，我们可以利用平移的性质，将分散的空白区域拼接为规则的长方形简化计算。首先观察阴影构成：包含1条宽1cm的竖直阴影，3条宽1cm的水平阴影。拼接时，将所有空白向中间平移，去掉竖直阴影的宽度即可得到拼接后长方形的水平边长，去掉3条水平阴影的总宽度即可得到拼接后长方形的竖直边长，最后用长方形面积公式计算即可。
【解析】
利用平移法将空白区域拼接为规则长方形：
1. 计算拼接后长方形的水平边长：
竖直阴影宽度为1cm，因此水平边长 = 正方形边长 - 竖直阴影宽度 = $10 - 1 = 9\ \mathrm{cm}$
2. 计算拼接后长方形的竖直边长：
共有3条水平阴影，每条宽1cm，总宽度为$3×1=3\ \mathrm{cm}$，因此竖直边长 = 正方形边长 - 水平阴影总宽度 = $10 - 3 =7\ \mathrm{cm}$
3. 计算空白区域面积：
长方形面积 = 长×宽 = $9×7 = 63\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
$63\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
1. 平移的应用
2. 长方形面积计算
【点评】
本题是平移性质在面积计算中的典型应用，通过平移将不规则图形转化为规则图形大幅简化了计算，是解决等宽条纹类图形面积问题的常用方法，解题时注意准确统计水平、竖直方向阴影的条数。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$AB=4$,点D是直角边AC上一点,连接BD,将BD绕点B顺时针旋转$60°$得到BE,连接CE.
(1)若点D与点A重合,则CE的长为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$;
(2)点D在运动过程中,线段CE的最小值为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
(1)若点D与点A重合,则CE的长为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$;
(2)点D在运动过程中,线段CE的最小值为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
答案
10.(1)2 (2)1
解析
【分析】
本题结合旋转性质、全等三角形、直角三角形性质和垂线段最短求解，分两小问思考：
(1) 先计算Rt△ABC的基本边长和角度：已知∠A=30°，AB=4，可得BC=2，∠ABC=60°。当D与A重合时，BD即BA，旋转后BE=BA=4，旋转角60°刚好等于∠ABC，因此BE与BC共线，直接作差即可得CE长度。
(2) 求CE最小值时，通过构造全等三角形将CE转化为易求最值的线段：利用∠ABC和旋转角均为60°，可证∠ABD=∠CBE，在AB上取BM=BC，可证△MBD≌△CBE，得CE=MD，CE最小值即MD的最小值，结合垂线段最短和30°直角三角形性质计算即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，$AB=4$，
∴ $BC=\frac{1}{2}AB=2$，$∠ABC=90°-∠A=60°$，
当点D与A重合时，$BD=BA=4$，
由旋转性质得：$BE=BD=4$，旋转角$∠ABE=60°$，
∵ $∠ABC=60°$，
∴ 点C在线段BE上，
∴ $CE=BE-BC=4-2=2$。
(2) 在AB上取点M，使$BM=BC=2$，连接MD，
∵ $∠ABC=∠DBE=60°$，
∴ $∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC$，即$∠MBD=∠CBE$，
在$△ MBD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases} BM=BC \\ ∠MBD=∠CBE \\ BD=BE \end{cases}$
∴ $△ MBD≌△ CBE(SAS)$，
∴ $CE=MD$，
要使CE最小，只需MD最小，根据垂线段最短，当$MD⊥AC$时，MD最短，
∵ $AB=4$，$BM=2$，
∴ $AM=AB-BM=2$，
在$Rt△AMD$中，$∠A=30°$，$MD⊥AC$，
∴ $MD=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×2=1$，
即CE的最小值为1。
【答案】
(1)$\boldsymbol{2}$；(2)$\boldsymbol{1}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；垂线段最短
【点评】
本题是旋转与线段最值结合的典型题，第一问直接应用旋转性质即可求解，第二问的核心是通过构造全等三角形将未知线段转化为可求最值的线段，结合垂线段最短和特殊直角三角形的性质求解，解题关键是找准全等关系实现线段转化。
【难度系数】
0.6
本题结合旋转性质、全等三角形、直角三角形性质和垂线段最短求解，分两小问思考：
(1) 先计算Rt△ABC的基本边长和角度：已知∠A=30°，AB=4，可得BC=2，∠ABC=60°。当D与A重合时，BD即BA，旋转后BE=BA=4，旋转角60°刚好等于∠ABC，因此BE与BC共线，直接作差即可得CE长度。
(2) 求CE最小值时，通过构造全等三角形将CE转化为易求最值的线段：利用∠ABC和旋转角均为60°，可证∠ABD=∠CBE，在AB上取BM=BC，可证△MBD≌△CBE，得CE=MD，CE最小值即MD的最小值，结合垂线段最短和30°直角三角形性质计算即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，$AB=4$，
∴ $BC=\frac{1}{2}AB=2$，$∠ABC=90°-∠A=60°$，
当点D与A重合时，$BD=BA=4$，
由旋转性质得：$BE=BD=4$，旋转角$∠ABE=60°$，
∵ $∠ABC=60°$，
∴ 点C在线段BE上，
∴ $CE=BE-BC=4-2=2$。
(2) 在AB上取点M，使$BM=BC=2$，连接MD，
∵ $∠ABC=∠DBE=60°$，
∴ $∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC$，即$∠MBD=∠CBE$，
在$△ MBD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases} BM=BC \\ ∠MBD=∠CBE \\ BD=BE \end{cases}$
∴ $△ MBD≌△ CBE(SAS)$，
∴ $CE=MD$，
要使CE最小，只需MD最小，根据垂线段最短，当$MD⊥AC$时，MD最短，
∵ $AB=4$，$BM=2$，
∴ $AM=AB-BM=2$，
在$Rt△AMD$中，$∠A=30°$，$MD⊥AC$，
∴ $MD=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×2=1$，
即CE的最小值为1。
【答案】
(1)$\boldsymbol{2}$；(2)$\boldsymbol{1}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；垂线段最短
【点评】
本题是旋转与线段最值结合的典型题，第一问直接应用旋转性质即可求解，第二问的核心是通过构造全等三角形将未知线段转化为可求最值的线段，结合垂线段最短和特殊直角三角形的性质求解，解题关键是找准全等关系实现线段转化。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B与∠C互余,将AB,CD分别平移到EF和EG的位置,∠EGF=32°.
(1)求∠B的度数;
(2)若AD=4,BC=10,求FG的长.
(1)求∠B的度数;
(2)若AD=4,BC=10,求FG的长.
答案
11.解:(1)由平移,得$CD// EG,\therefore ∠ C=∠ EGF=32°.\because ∠ B$与$∠ C$互余,$\therefore ∠ B=90°-32°=58°$.
(2)由平移,得$AE=BF,DE=CG,\therefore BF+CG=AE+DE=AD=4$.
$\because BC=BF+FG+CG,\therefore AD+FG=BC.\therefore 4+FG=10.\therefore FG=6$.
(2)由平移,得$AE=BF,DE=CG,\therefore BF+CG=AE+DE=AD=4$.
$\because BC=BF+FG+CG,\therefore AD+FG=BC.\therefore 4+FG=10.\therefore FG=6$.
解析
【分析】
(1) 求∠B的度数可从已知条件入手：已知∠B与∠C互余，因此只需先求出∠C的度数。根据平移的性质，平移后对应线段平行，CD平移到EG后CD//EG，可推出同位角∠C=∠EGF，结合已知∠EGF=32°得到∠C的度数，再根据互余的定义即可计算∠B。
(2) 求FG的长可先分析线段的构成：BC由BF、FG、CG三段组成，因此只需算出BF+CG的长度即可。根据平移的性质，AB平移到EF可得AE=BF，CD平移到EG可得DE=CG，因此BF+CG=AE+DE=AD，代入已知的AD、BC长度即可求出FG。
【解析】
(1) 由平移的性质可得$CD// EG$，因此$∠C=∠EGF=32°$。
∵∠B与∠C互余，即$∠ B + ∠ C=90°$，
∴$∠ B=90°-32°=58°$。
(2) 由平移的性质可得：$AE=BF$，$DE=CG$，
因此$BF+CG=AE+DE=AD=4$。
又
∵$BC=BF+FG+CG$，
∴$FG=BC-(BF+CG)=BC-AD=10-4=6$。
【答案】
(1) $∠ B=58°$；(2) $FG=6$
【知识点】
平移的性质，余角的定义，平行线的性质
【点评】
本题是平移性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握平移前后对应线段平行且相等的性质，结合角的关系、线段和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠B的度数可从已知条件入手：已知∠B与∠C互余，因此只需先求出∠C的度数。根据平移的性质，平移后对应线段平行，CD平移到EG后CD//EG，可推出同位角∠C=∠EGF，结合已知∠EGF=32°得到∠C的度数，再根据互余的定义即可计算∠B。
(2) 求FG的长可先分析线段的构成：BC由BF、FG、CG三段组成，因此只需算出BF+CG的长度即可。根据平移的性质，AB平移到EF可得AE=BF，CD平移到EG可得DE=CG，因此BF+CG=AE+DE=AD，代入已知的AD、BC长度即可求出FG。
【解析】
(1) 由平移的性质可得$CD// EG$，因此$∠C=∠EGF=32°$。
∵∠B与∠C互余，即$∠ B + ∠ C=90°$，
∴$∠ B=90°-32°=58°$。
(2) 由平移的性质可得：$AE=BF$，$DE=CG$，
因此$BF+CG=AE+DE=AD=4$。
又
∵$BC=BF+FG+CG$，
∴$FG=BC-(BF+CG)=BC-AD=10-4=6$。
【答案】
(1) $∠ B=58°$；(2) $FG=6$
【知识点】
平移的性质，余角的定义，平行线的性质
【点评】
本题是平移性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握平移前后对应线段平行且相等的性质，结合角的关系、线段和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-3,1),C(-3,4).
(1)平移△ABC到△A₁B₁C₁,其中点A的对应点A₁的坐标为(3,1),请在图中画出△A₁B₁C₁;点B平移后对应点的坐标为
(2)请画出△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的△A₂B₂C₂;
(3)若△A₂B₂C₂绕某点旋转可以得到△A₁B₁C₁,则旋转中心的坐标为
(1)平移△ABC到△A₁B₁C₁,其中点A的对应点A₁的坐标为(3,1),请在图中画出△A₁B₁C₁;点B平移后对应点的坐标为
$(1,1)$
;(2)请画出△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的△A₂B₂C₂;
(3)若△A₂B₂C₂绕某点旋转可以得到△A₁B₁C₁,则旋转中心的坐标为
$(2,-2)$
.答案
12.解:(1)$△ A_1B_1C_1$略,$(1,1)$ (2)$△ A_2B_2C_2$略. (3)$(2,-2)$
解析
【分析】
(1) 平移的本质是所有点的平移方向和距离完全相同，先对比点A(-1,1)和对应点A₁(3,1)的坐标，可得平移规则为向右平移4个单位、纵坐标不变，将该规则应用到点B即可得到B₁的坐标，再按规则画出平移后的三角形即可。
(2) 平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律为：原坐标(x,y)对应旋转后坐标(-y,x)，按照该规律分别算出A、B、C三点旋转后的对应点坐标，依次连线即可得到旋转后的三角形。
(3) 根据旋转的性质，旋转中心到任意一组对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，分别求出两组对应点连线的垂直平分线解析式，联立求解即可得到旋转中心坐标。
【解析】
(1) 点A从(-1,1)平移到(3,1)，横坐标变化量为$3-(-1)=4$，纵坐标变化量为$1-1=0$，因此平移规则为：向右平移4个单位长度，纵坐标保持不变。
点B的坐标为(-3,1)，平移后横坐标为$-3+4=1$，纵坐标仍为1，因此点B平移后对应点的坐标为$(1,1)$，按此规则得到C₁坐标后依次连接A₁、B₁、C₁即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则为$(x,y)\to(-y,x)$，据此计算三个顶点的对应点坐标：
A(-1,1)旋转后为$A_2(-1,-1)$，B(-3,1)旋转后为$B_2(-1,-3)$，C(-3,4)旋转后为$C_2(-4,-3)$，依次连接A₂、B₂、C₂即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 取两组对应点$A_1(3,1)$与$A_2(-1,-1)$、$B_1(1,1)$与$B_2(-1,-3)$：
① 线段$A_1A_2$的中点为$(\frac{3+(-1)}{2},\frac{1+(-1)}{2})=(1,0)$，直线$A_1A_2$的斜率为$\frac{1-(-1)}{3-(-1)}=\frac{1}{2}$，因此其垂直平分线的斜率为$-2$，垂直平分线解析式为$y=-2(x-1)$，即$y=-2x+2$。
② 线段$B_1B_2$的中点为$(\frac{1+(-1)}{2},\frac{1+(-3)}{2})=(0,-1)$，直线$B_1B_2$的斜率为$\frac{1-(-3)}{1-(-1)}=2$，因此其垂直平分线的斜率为$-\frac{1}{2}$，垂直平分线解析式为$y+1=-\frac{1}{2}x$，即$y=-\frac{1}{2}x-1$。
联立两个解析式：$\begin{cases}y=-2x+2\\y=-\frac{1}{2}x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$，即旋转中心坐标为$(2,-2)$。
【答案】
(1) $(1,1)$，△A₁B₁C₁作图略；
(2) △A₂B₂C₂作图略；
(3) $(2,-2)$
【知识点】
坐标与平移变换；坐标与旋转变换；旋转中心的确定
【点评】
本题综合考查图形平移、旋转的作图与性质应用，解题核心是熟练掌握平移、旋转的坐标变换规律，理解旋转中心到对应点距离相等的性质，属于图形变换模块的基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 平移的本质是所有点的平移方向和距离完全相同，先对比点A(-1,1)和对应点A₁(3,1)的坐标，可得平移规则为向右平移4个单位、纵坐标不变，将该规则应用到点B即可得到B₁的坐标，再按规则画出平移后的三角形即可。
(2) 平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律为：原坐标(x,y)对应旋转后坐标(-y,x)，按照该规律分别算出A、B、C三点旋转后的对应点坐标，依次连线即可得到旋转后的三角形。
(3) 根据旋转的性质，旋转中心到任意一组对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，分别求出两组对应点连线的垂直平分线解析式，联立求解即可得到旋转中心坐标。
【解析】
(1) 点A从(-1,1)平移到(3,1)，横坐标变化量为$3-(-1)=4$，纵坐标变化量为$1-1=0$，因此平移规则为：向右平移4个单位长度，纵坐标保持不变。
点B的坐标为(-3,1)，平移后横坐标为$-3+4=1$，纵坐标仍为1，因此点B平移后对应点的坐标为$(1,1)$，按此规则得到C₁坐标后依次连接A₁、B₁、C₁即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则为$(x,y)\to(-y,x)$，据此计算三个顶点的对应点坐标：
A(-1,1)旋转后为$A_2(-1,-1)$，B(-3,1)旋转后为$B_2(-1,-3)$，C(-3,4)旋转后为$C_2(-4,-3)$，依次连接A₂、B₂、C₂即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 取两组对应点$A_1(3,1)$与$A_2(-1,-1)$、$B_1(1,1)$与$B_2(-1,-3)$：
① 线段$A_1A_2$的中点为$(\frac{3+(-1)}{2},\frac{1+(-1)}{2})=(1,0)$，直线$A_1A_2$的斜率为$\frac{1-(-1)}{3-(-1)}=\frac{1}{2}$，因此其垂直平分线的斜率为$-2$，垂直平分线解析式为$y=-2(x-1)$，即$y=-2x+2$。
② 线段$B_1B_2$的中点为$(\frac{1+(-1)}{2},\frac{1+(-3)}{2})=(0,-1)$，直线$B_1B_2$的斜率为$\frac{1-(-3)}{1-(-1)}=2$，因此其垂直平分线的斜率为$-\frac{1}{2}$，垂直平分线解析式为$y+1=-\frac{1}{2}x$，即$y=-\frac{1}{2}x-1$。
联立两个解析式：$\begin{cases}y=-2x+2\\y=-\frac{1}{2}x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$，即旋转中心坐标为$(2,-2)$。
【答案】
(1) $(1,1)$，△A₁B₁C₁作图略；
(2) △A₂B₂C₂作图略；
(3) $(2,-2)$
【知识点】
坐标与平移变换；坐标与旋转变换；旋转中心的确定
【点评】
本题综合考查图形平移、旋转的作图与性质应用，解题核心是熟练掌握平移、旋转的坐标变换规律，理解旋转中心到对应点距离相等的性质，属于图形变换模块的基础综合题。
【难度系数】
0.7
