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4. 建立平面直角坐标系,在坐标平面内描出点$O(0,0),P(5,5),M(2,-1),N(-1,2)$.
(1)你知道射线$OP$与$∠ MON$的关系吗?
(2)你知道$OM$与$PM$以及$ON$与$PN$的位置关系吗?
(3)线段$OM,ON$的长短有什么关系?
(1)你知道射线$OP$与$∠ MON$的关系吗?
(2)你知道$OM$与$PM$以及$ON$与$PN$的位置关系吗?
(3)线段$OM,ON$的长短有什么关系?
答案
(1)OP是$∠MON$的平分线.
(2)$OM ⊥ PM$，$ON ⊥ PN$
(3)$OM = ON$
(2)$OM ⊥ PM$，$ON ⊥ PN$
(3)$OM = ON$
解析
【分析】
解决本题可结合勾股定理、勾股定理逆定理和角平分线的判定定理，通过计算各线段长度推导几何关系：①先通过勾股定理计算OM、ON、PM、PN、OP的长度；②第二问利用勾股逆定理判断△OMP、△ONP是否为直角三角形，即可得到OM与PM、ON与PN的位置关系；③第一问结合第二问得到的垂直关系，利用角平分线的判定定理判断OP与∠MON的关系；④第三问直接比较OM和ON的长度即可得出结论。
【解析】
根据平面直角坐标系中两点间距离的计算方法（勾股定理），先计算各线段长度的平方：
$OM^2=(2-0)^2+(-1-0)^2=4+1=5$，$ON^2=(-1-0)^2+(2-0)^2=1+4=5$；
$PM^2=(5-2)^2+(5-(-1))^2=9+36=45$，$PN^2=(5-(-1))^2+(5-2)^2=36+9=45$；
$OP^2=(5-0)^2+(5-0)^2=25+25=50$。
(1) 由(2)可知$OM⊥PM$，$ON⊥PN$，即PM是点P到OM的距离，PN是点P到ON的距离，又$PM^2=PN^2$，即$PM=PN$，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得射线OP是$∠MON$的平分线。
(2) 在$△ OMP$中，$OM^2+PM^2=5+45=50=OP^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ OMP$是直角三角形，且$∠ OMP=90°$，因此$OM⊥PM$；
同理，在$△ ONP$中，$ON^2+PN^2=5+45=50=OP^2$，$△ ONP$是直角三角形，$∠ ONP=90°$，因此$ON⊥PN$。
(3) 由计算得$OM^2=ON^2=5$，线段长度为正数，因此$OM=ON$。
【答案】
(1)OP是$∠MON$的平分线；
(2)$OM ⊥ PM$，$ON ⊥ PN$；
(3)$OM = ON$
【知识点】
勾股定理及逆定理，角平分线的判定，坐标系两点距离计算
【点评】
本题是数形结合的典型习题，将平面直角坐标系的坐标运算与几何定理结合，需要熟练掌握相关定理的应用条件，通过计算线段长度推导位置关系与数量关系，有助于提升综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
解决本题可结合勾股定理、勾股定理逆定理和角平分线的判定定理，通过计算各线段长度推导几何关系：①先通过勾股定理计算OM、ON、PM、PN、OP的长度；②第二问利用勾股逆定理判断△OMP、△ONP是否为直角三角形，即可得到OM与PM、ON与PN的位置关系；③第一问结合第二问得到的垂直关系，利用角平分线的判定定理判断OP与∠MON的关系；④第三问直接比较OM和ON的长度即可得出结论。
【解析】
根据平面直角坐标系中两点间距离的计算方法（勾股定理），先计算各线段长度的平方：
$OM^2=(2-0)^2+(-1-0)^2=4+1=5$，$ON^2=(-1-0)^2+(2-0)^2=1+4=5$；
$PM^2=(5-2)^2+(5-(-1))^2=9+36=45$，$PN^2=(5-(-1))^2+(5-2)^2=36+9=45$；
$OP^2=(5-0)^2+(5-0)^2=25+25=50$。
(1) 由(2)可知$OM⊥PM$，$ON⊥PN$，即PM是点P到OM的距离，PN是点P到ON的距离，又$PM^2=PN^2$，即$PM=PN$，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得射线OP是$∠MON$的平分线。
(2) 在$△ OMP$中，$OM^2+PM^2=5+45=50=OP^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ OMP$是直角三角形，且$∠ OMP=90°$，因此$OM⊥PM$；
同理，在$△ ONP$中，$ON^2+PN^2=5+45=50=OP^2$，$△ ONP$是直角三角形，$∠ ONP=90°$，因此$ON⊥PN$。
(3) 由计算得$OM^2=ON^2=5$，线段长度为正数，因此$OM=ON$。
【答案】
(1)OP是$∠MON$的平分线；
(2)$OM ⊥ PM$，$ON ⊥ PN$；
(3)$OM = ON$
【知识点】
勾股定理及逆定理，角平分线的判定，坐标系两点距离计算
【点评】
本题是数形结合的典型习题，将平面直角坐标系的坐标运算与几何定理结合，需要熟练掌握相关定理的应用条件，通过计算线段长度推导位置关系与数量关系，有助于提升综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示是一个动物园游览示意图.
(1)试以南门为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,在图中画出来;
(2)在直角坐标系中,分别写出图中5处标记的坐标.
(1)试以南门为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,在图中画出来;
(2)在直角坐标系中,分别写出图中5处标记的坐标.
答案
解:(1)略
(2)各景点坐标分别是:南门$(0,0)$,飞禽馆$(3,4)$,两栖动物馆$(4,1)$,狮子馆$( - 4,5)$,马场$( - 3, - 3)$.
(2)各景点坐标分别是:南门$(0,0)$,飞禽馆$(3,4)$,两栖动物馆$(4,1)$,狮子馆$( - 4,5)$,马场$( - 3, - 3)$.
解析
【分析】
(1) 建立坐标系首先要确定原点为南门的位置，再以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向，画出两条互相垂直的数轴，规定每个小方格的边长为1个单位长度即可完成坐标系建立。
(2) 求点的坐标时，横坐标是点到y轴的距离，原点右侧为正、左侧为负；纵坐标是点到x轴的距离，原点上方为正、下方为负，数清每个点相对原点的水平、竖直格数，对应符号即可得到各点坐标。
【解析】
(1) 过南门所在点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，规定每个小方格边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系即可，画图略。
(2) 逐个确定各点坐标：
① 南门在原点位置，坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$；
② 飞禽馆在南门东侧3个单位、北侧4个单位，坐标为$\boldsymbol{(3,4)}$；
③ 两栖动物馆在南门东侧4个单位、北侧1个单位，坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$；
④ 狮子馆在南门西侧4个单位、北侧5个单位，坐标为$\boldsymbol{(-4,5)}$；
⑤ 马场在南门西侧3个单位、南侧3个单位，坐标为$\boldsymbol{(-3,-3)}$。
【答案】
(1) 略
(2) 南门$(0,0)$，飞禽馆$(3,4)$，两栖动物馆$(4,1)$，狮子馆$(-4,5)$，马场$(-3,-3)$
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标确定
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，核心是掌握坐标系的构成规则和点的坐标的确定方法，解题时注意区分横纵坐标的正负方向，数清格数即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 建立坐标系首先要确定原点为南门的位置，再以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向，画出两条互相垂直的数轴，规定每个小方格的边长为1个单位长度即可完成坐标系建立。
(2) 求点的坐标时，横坐标是点到y轴的距离，原点右侧为正、左侧为负；纵坐标是点到x轴的距离，原点上方为正、下方为负，数清每个点相对原点的水平、竖直格数，对应符号即可得到各点坐标。
【解析】
(1) 过南门所在点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，规定每个小方格边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系即可，画图略。
(2) 逐个确定各点坐标：
① 南门在原点位置，坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$；
② 飞禽馆在南门东侧3个单位、北侧4个单位，坐标为$\boldsymbol{(3,4)}$；
③ 两栖动物馆在南门东侧4个单位、北侧1个单位，坐标为$\boldsymbol{(4,1)}$；
④ 狮子馆在南门西侧4个单位、北侧5个单位，坐标为$\boldsymbol{(-4,5)}$；
⑤ 马场在南门西侧3个单位、南侧3个单位，坐标为$\boldsymbol{(-3,-3)}$。
【答案】
(1) 略
(2) 南门$(0,0)$，飞禽馆$(3,4)$，两栖动物馆$(4,1)$，狮子馆$(-4,5)$，马场$(-3,-3)$
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标确定
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，核心是掌握坐标系的构成规则和点的坐标的确定方法，解题时注意区分横纵坐标的正负方向，数清格数即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示,顺次连接$A(0,-2),B(4,-2),C(6,1),D(2,1)$得到一个四边形,把这个四边形向x轴负方向平移3个单位长度,$A,B,C,D$各点的对应点分别为$A',B',C',D'$,写出这四点的坐标.
答案
解:$A'( - 3, - 2),B'(1, - 2),C'(3,1),D'( - 1,1)$.
解析
【分析】
解决本题需要用到平面直角坐标系中点的平移规律：点沿x轴负方向（向左）平移时，横坐标减小平移的单位长度，纵坐标保持不变。本题中平移距离是3个单位，因此只需将A、B、C、D四个点的横坐标分别减去3，纵坐标和原坐标一致，即可得到对应平移后点的坐标。
【解析】
根据点沿x轴负方向平移3个单位的坐标变化规则：横坐标减3，纵坐标不变。
对各点分别计算：
点A原坐标为$(0,-2)$，平移后$A'$的横坐标为$0-3=-3$，纵坐标仍为$-2$，即$A'(-3,-2)$；
点B原坐标为$(4,-2)$，平移后$B'$的横坐标为$4-3=1$，纵坐标仍为$-2$，即$B'(1,-2)$；
点C原坐标为$(6,1)$，平移后$C'$的横坐标为$6-3=3$，纵坐标仍为$1$，即$C'(3,1)$；
点D原坐标为$(2,1)$，平移后$D'$的横坐标为$2-3=-1$，纵坐标仍为$1$，即$D'(-1,1)$。
【答案】
$A'( - 3, - 2),B'(1, - 2),C'(3,1),D'( - 1,1)$
【知识点】
坐标平移规律；平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标平移的基础题型，核心是掌握沿x轴方向平移时“横变纵不变”的规律，向左平移横坐标减，向右平移横坐标加，计算时注意符号即可正确求解。
【难度系数】
0.9
解决本题需要用到平面直角坐标系中点的平移规律：点沿x轴负方向（向左）平移时，横坐标减小平移的单位长度，纵坐标保持不变。本题中平移距离是3个单位，因此只需将A、B、C、D四个点的横坐标分别减去3，纵坐标和原坐标一致，即可得到对应平移后点的坐标。
【解析】
根据点沿x轴负方向平移3个单位的坐标变化规则：横坐标减3，纵坐标不变。
对各点分别计算：
点A原坐标为$(0,-2)$，平移后$A'$的横坐标为$0-3=-3$，纵坐标仍为$-2$，即$A'(-3,-2)$；
点B原坐标为$(4,-2)$，平移后$B'$的横坐标为$4-3=1$，纵坐标仍为$-2$，即$B'(1,-2)$；
点C原坐标为$(6,1)$，平移后$C'$的横坐标为$6-3=3$，纵坐标仍为$1$，即$C'(3,1)$；
点D原坐标为$(2,1)$，平移后$D'$的横坐标为$2-3=-1$，纵坐标仍为$1$，即$D'(-1,1)$。
【答案】
$A'( - 3, - 2),B'(1, - 2),C'(3,1),D'( - 1,1)$
【知识点】
坐标平移规律；平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标平移的基础题型，核心是掌握沿x轴方向平移时“横变纵不变”的规律，向左平移横坐标减，向右平移横坐标加，计算时注意符号即可正确求解。
【难度系数】
0.9
